32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图 课题 直棱柱和圆锥的侧面展开图 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P106-109 教学目标 1.经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动，了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,进一步发展空间观念. 2.能根据展开图想象和制作实物模型. 3.能运用直棱柱和圆锥的侧面展开图的知识解决实际问题. 教学重难点 重点：理解基本几何体与其展开图的联系,由几何体的展开图还原成几何体. 难点：利用直棱柱、圆锥的侧面展开图，建立转化的思想以及相关计算. 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 蒙古包是草原游牧民族使用的民居形式，因为大多为蒙古族使用而得名。蒙古包所使用的材料主要是毛毡。从剖面上看，蒙古包是一个近似半球形的穹顶，其平面为圆形，空间呈筒锥形，可使用最少的建筑材料，获得最大的居住面积，并且具有很好的抗风功能。 教师活动：教师多媒体展示背景材料，并提问：同学们知道装修这样一个蒙古包大约需要多少布料吗？ 学生活动：学生思考并回答。 预设：需要计算蒙古包的表面积。 教师追问：那如何进行计算呢？蒙古包的可以看作哪种几何体呢？ 预设：可以看作上面是圆锥下面是圆柱的组合体,，可以先将圆锥和圆柱展开成平面图形再进行计算。 这节课，我们来学习直棱柱和圆锥的侧面展开图。（教师板书课题： 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图） 通过用多媒体展示实际生活中的例子,通过提出生活中可能遇到的常见问题,引发学生思考，激发学生的求知欲及学习兴趣，为新课的学习做好情感铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 如图，底面为正六边形的六棱柱，沿它的一条侧棱展开，就得到了这个六棱柱的侧面展开图。 图（1） 图（2） 观察与思考： 1.在图（1）中，六棱柱的侧面展开图为长方形。这个长方形的长和宽分别与棱柱底面的周长和侧棱长有什么关系? 2.如图（2）底面为多边形的棱柱侧面展开图是长方形吗?如果是长方形，那么它的长和宽分别与棱柱底面的周长和侧棱长有什么关系? 教师活动：先让学生观察、思考并猜想，教师可以借助模型，或者多媒体（几何画板播放动画--六棱柱的侧面展开） 学生活动：学生观看，形成几何直观，小组交流讨论总结。 预设： 1.这个长方形的长等于直棱柱底面的周长，宽等于直棱柱的侧棱长。 2.是长方形，它的长等于直棱柱底面的周长，宽等于直棱柱的侧棱长。 教师活动：教师引导学生对棱柱的侧面展开图进行总结。 【归纳总结】 棱柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的宽等于棱柱的侧棱长，长等于棱柱底面的周长。 大家谈谈： 如图，已知三个棱柱的侧面展开图，请说说它们分别是什么样的棱柱。 教师活动：教师引导学生观察思考，建议学生可以动手操作，借助纸片折叠还原实物模型。 学生活动：观察、思考并操作。 预设：（1）长方体；（2）三棱柱；（3）五棱柱。 【探究2】 做一做： (1)在硬纸片上画一个半径为6 cm，圆心角为216°的扇形，将这个扇形剪下来，按如图所示围成一个圆锥的侧面.指出这个圆锥的母线长. (2)用一块硬纸片剪出这个圆锥的底面，和(1)中圆锥的侧面一起做成一个圆锥.（黏合部分忽略不计） 师生活动：教师引导学生观察思考，让学生动手操作，制作出符合条件的圆锥模型。教师巡视，针对学生制作情况适时指导点拨。（注意：圆锥底面不能随意剪出，需要根据扇形的圆心角及半径，计算出底面半径）。 学生活动：动手操作，制作圆锥模型。根据模型回答（1）（2）的问题。 预设：（1）圆锥的母线长为6 cm （即等于扇形的半径） （2） 组内交流展示。 教师活动：教师根据学生的制作情况进行点评，并借助几何画板播放动画--六棱柱的侧面展开/还原，引导学生对棱柱的侧面展开图进行总结。 【归纳总结】 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 【教材例题】 例 如图所示的为一个正方体，按棱画出它的一种表面展开图。 师生活动：教师引导学生先独立思考，再组内交流合作，并找代表小组在讲台上展示展开成果，交流碰撞，发现多种展法。 教师利用几何画板播放动画--正方体的展开。学生观看，建立几何直观。教师布置任务：课下总结正方体的展开的规律，可得到哪几种图形。 解：按棱展开的方式有多种，其中一种如图所示。 【拓展】 正方体的表面展开图（11种）： 【探究3】 如图，已知一个长方体纸箱的长、宽和高分别为30cm，20cm，10cm.一只昆虫从纸箱的顶点A处沿纸箱表面ACDE和表面GEDB爬到另一个顶点B处.它沿哪条路线爬行的距离最短?请说明理由，并求出这个最短距离.(结果保留两位小数) 师生活动：教师建议学生首先寻求哪条路线是最短距离的路线，通过对长方体的多种展开方式进行探究，再通过比较，让学生生回答提出的问题。 学生活动：学生画长方体的展开图。（学生通过画图发现六种展法，得到三种情况。学生在分析中运用分类讨论的数学思想）。 教师活动：强调分类讨论思想在解决问题中的重要意义，要求学生根据展示的情况，写出解题过程。 学生写解题过程，发现三种情况结果并不一致，从中找到最短路径。 教师用多媒体展示三种解题过程，并总结：六种路径，三个结果中，比较计算结果，得到最短路径：较短两条棱组成一条直角边，最长的棱作为一条直角边时，距离最短。 解：如图，将这个长方体纸箱的表面展开，连接AB. 根据“两点之间线段最短”，可知线段AB就是昆虫爬行距离最短的路线。 在Rt△ABC中，AC=30 cm，BC=BD+CD=20+10=30(cm)。 根据勾股定理，得 即昆虫最短爬行距离的路线约为42.4。 【归纳总结】 求几何体表面的最短路径问题时，基本思路是将立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短求得最小值。 目的是探索直棱柱的侧面展开图与直棱柱底面的周长和侧棱长的关系。教师可以让学生观察模型获得直观感受，通过独立思考、小组合作得出结论。 目的是由棱柱的侧面展开图想象实物模型，考察了学生的空间想象力。 目的是培养学生动手操作的能力及空间观念，提高学生对几何体和它的展开图之间关系的认识。 教师应给予学生充足的时间与空间，尽可能 正方体的表面展开图可以简单氛围“一四一”型，“二三一”型，“二二二”型，“三三”型 考察直棱柱展开图的实际应用，培养学生动脑猜想，动手试验的良好习惯及合作交流的精神。 3.学以致用，应用新知 考点1 直棱柱的展开与折叠 例1 下列不是三棱柱展开图的是（　　） A. B. C. D. 答案：A 变式训练 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 答案：A 考点2 圆锥的展开与折叠 例2 生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（　　） A. B. C. D. 答案：D 变式训练 圆锥的展开图可能是下列图形中的（　　） A. B. C. D. 答案：D 考点3 直棱柱和圆锥的展开图的相关计算 例3 如图是一个 的展开图，它的底面积是   平方厘米，它的体积是 立方厘米． 答案：长方体 40 80 变式训练 如图所示是一棱长为3cm的正方体，把其中两面（下底面和右面）分别均分成3×3个小正方形，其边长都为1cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B处，最少要用 s。 答案：2.5 通过例题的讲解，巩固本节所学内筒，加深学生对知识的理解，提高知识的应用能力. 4.随堂训练，巩固新知 1.一个立体图形的侧面展开图如图所示，则该立体图形的底面形状是（　　） A. B. C. D. 答案：C 2.列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A. B. C. D. 答案：C 3. 小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） A. B. C. D. 答案：B 4. 如图，从一张长13厘米、宽9厘米的长方形硬纸板的四个角分别剪去一个边长为2厘米的正方形，沿着虚线折叠成一个无盖的长方体容器，容器的长是 厘米，宽是 厘米，高是 厘米，容积是 立方厘米．（纸板厚度忽略不计） 答案：9，5，2，90 5.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长． 解：蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是； 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是 ； ∴所以最短路径的长是. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.直棱柱的侧面展开图 直棱柱的侧面展开图是长方形，长=棱柱的底面周长，宽=棱柱的侧棱长 2. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是扇形，半径=圆锥的母线长，弧长=圆锥底面的周长。转化 3.应用：立体图形 平面图形，数学分类讨论思想。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P108-109练习T1、T2，习题A组T1~T3，B组T2 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图 1.直棱柱的侧面展开图 2.圆锥的侧面展开图 3.应用 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节内容以学生亲自动手制作模型为主，几何直观与想象相结合. 通过“观察与思考”和“大家谈谈”两个活动，使学生发现直棱柱和它的展关系。学生通过观察模型获得直观感受，通过独立思考、小组合作得出结论.“做一做”中让学生经历观察思考、动手操作的活动过程，制作的圆锥模型，提高学生对几何体和它的展开图之间关系的认识. 对于例题的教学，应给予学生充足的时间与空间，尽可能地让学生经过独流合作，研讨出多样的结果，提高交流能力，发展空间观念.对于“一起探究”的教学，首先由学生独立寻求哪条路线是最短距离的以小组的形式进行操作试验,先大胆猜想,再操作确认,通过对长方体的多种展开方式进行探究，再通过比较，让学生回答提出问题，一培养学生动脑思考、动手试验的良好习惯及合作交流的精神。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$