30.5 二次函数与一元二次方程的关系-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.5 二次函数与一元二次方程的关系 课题 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P50-53 教学目标 1.进一步理解二次函数与一元二次方程的关系. 2.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.从解的精确度上初步体会逼近的思想. 教学重难点 重点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系,能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题. 难点：进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 1.一元二次方程根的判别式： 式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是什么 3. 你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系? 在上一节我们已经学习了已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝m,就可利用一元二次方程ax2＋bx＋c＝m确定与它相应的x的值,今天这一节我们就来具体探究二次函数与一元二次方程的关系. （板书课题：30.5 二次函数与一元二次方程的关系） 回顾上一节学到的把二次函数问题转化为一元二次方程问题，及一元二次方程的相关知识，为本节课的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究1】把二次函数图像与x轴个数与横坐标 【过渡语】二次函数和一元二次方程有着紧密的联系，现在，我们就来探究它们之间的关系. 【观察与思考】 如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3, y=x2-6x+9,y=x2-4x+6. (1)这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况分别是怎样的? (2)当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的? (3)上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系? 师生活动：学生进行观察、思考,小组交流,并让小组代表发表看法，教师进行必要指导. 预设答案： (1)有两个交点,有一个交点,不相交. (2)有两个不相等的根（-3和1），有两个相等的根（3和3），无解. (3)对应的关系. 【做一做】 不画图像，说明下列抛物线和x轴相交(或不相交)的情况. (1)y=x2-2x-1; (2)y=-2x2+7x-7; (3)y=4x2-12x+9. 预设答案：（1）有两个交点； （2）不相交； （3）有一个交点. 【归纳总结】 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系. 【探究2】借助二次函数图像求一元二次方程的近似解 根据抛物线和x轴相交(或不相交)的情况与其对应的一元二次方程根的情况的关系，以及二次函数随自变量增大而增大(或减小)的性质，可以借助二次函数来求一元二次方程根的近似值. 【教材例题】 例 求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1) 分析：一元二次方程 x²-2x-6=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-6与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图像法. 解：如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像. 观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x1<x2. (1)容易看出:当x=-2时,y>0;当x=-1时,y<0,且在-2<x<-1范围内,y随x的增大而减小,所以-2<x1<-1. (2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为), 代入表达式中试值. 当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2×(-1.5)-6=-0.75<0; 当x=-2时,y>0. 在-2<x<-1.5范围内,y随x的增大而减小, 所以-2<x1<-1.5. (3)取-2和-1.5的中间数-1.75,代入表达式中试值. 当x=-1.75时,y=(-1.75)2-2×(-1.75)-6=0.5625>0; 当x=-1.5时,y<0. 在-1.75<x<-1.5范围内,y随x的增大而减小, 所以-1.75<x1<-1.5. (4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代入表达式中试值. 当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2×(-1.625)-6=-0.109375<0; 当x=-1.75时,y>0. 在-1.75<x<-1.625范围内,y随x的增大而减小, 所以-1.75<x1<-1.625. x1≈-1.7即为精确到0.1的近似值. 【归纳总结】 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在哪个范围之间,另一个又在哪个范围之间(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程的解. 二次函数图像与x轴的交点的横坐标,就是当二次函数的值为0时自变量的值.这样,二次函数的问题就转化为一元二次方程问题了.因此,一元二次方程根的判别式也是判别二次函数图像与x轴交点情况的条件. “观察与思考”可以从图像上直观观察发现,也可以通过对表达式进行分析而得到. 一元二次方程的近似解法与用一元二次方程求根公式求解有本质上的区别,后者是把它的解用公式精确地表示出来,前者则是利用逐渐逼近的数学思想方法,对于一些无法用公式求解的方程,这种方法是很有效的,应让学生在“做”的过程中体会这种思想. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数图像与x轴的交点横坐标 【例1】小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图像如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 (　　) A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4 解析:因为抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(4,0),所以方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4. 答案：D 考点2 二次函数图像与x轴的交点个数 2.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:因为（-2）2-4×1×1=0，所以方程=x2-2x+1=0有两个相等的实根，所以抛物线与x轴有1个交点.当x=0时，y=0-0+1=1，所以抛物线与y轴有一个交点（0,1），所以抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数是2. 答案：C 考点3 利用二次函数图像求一元二次方程的近似值 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图可知抛物线与x轴正半轴的交点横坐标约为0.5，根据抛物线的轴对称型，可知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标约为-2.5. 答案：B 通过例题讲解，巩固理解将二次函数问题与一元二次方程的关系，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 易错提醒：此处注意问的是抛物线与坐标轴的交点个数，而不只是与x轴的交点个数. 4.随堂训练，巩固新知 1.下列函数的图像与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图像与x轴只有一个交点，故选D. 答案:D 2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图像如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D. 答案:D 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (3)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. 解: (1)由图像可知x1=1,x2=3. (2)由图像可知x＞2. (3)1＜x＜3. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根. 2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 【拓展】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根即为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集即为图像在x轴上方的点所对应的x的值组成的集合;不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集即为图像在x轴下方的点所对应的x的值组成的集合. 2.一元二次方程的图像解法体现了数形结合思想,我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系,一元二次方程是二次函数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P52-53习题中的A组T1—T2，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 提纲挈领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$