30.4 第3课时 把二次函数问题转化为方程问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.4 二次函数的应用 第3课时 把二次函数问题转化为方程问题 课题 第3课时 把二次函数问题转化为方程问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P46-49 教学目标 1.进一步体会运用函数知识解决问题的步骤. 2.能熟练运用二次函数和其他知识相结合解决数学综合性问题. 3.经历一元二次方程和函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待问题的思考方法. 教学重难点 重点：把二次函数问题转化成方程问题解决综合性问题. 难点：把二次函数问题转化成方程问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. （板书课题：30.4 二次函数的应用 第3课时 把二次函数问题转化为方程问题） 回顾二次函数和一元二次方程的基本关系式，为本节课的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究1】把二次函数问题转化为方程问题 【做一做】 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离.刹车距离是分析和处理道路交通事故的一个重要因素.有一个道路交通事故案例： 甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方，同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了.事后经过现场勘察，测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离超过10m，但小于12m.根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为s乙=. (1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时?甲车是否违章超速? (2)乙车刹车前的行驶速度在什么范围内?乙车是否违章超速? 分析：根据刹车距离，求出两车的行驶速度，判断是否超速.即由y的值或y的取值范围，求出x的值或x的取值范围. 解：（1）由题意，s甲=0.1x+0.01x2，甲车刹车前的行驶速度就是当甲车的刹车距离为12m时的车速，即 0.1x+0.01x2=12， 解得 x=30或x=－40（舍去） 所以甲车刹车前的行驶速度为30km/h， 小于限速值 40km/h. 故甲车没有违章超速. （2）由题意，s乙=，乙车刹车前的行驶速度就是当乙车的刹车距离为10m到12m时的车速， 把10<s乙<12代入s乙=,得 解得，40<x<48. 乙车刹车前的行驶速度范围为40km/h＜x＜48km/h，大于限速值40km/h，故乙车违章超速. 【归纳总结】 已知二次函数 y=ax2+bx+c的某一个函数值y=m，就可利用一元二次方程ax2+bx+c=m确定与它对应的x的值. 【教材例题】 例4 如图，已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F. （1）CF的长可能等于吗？ （2）点E在什么位置时，CF的长为？ 解：设BE=x,CF=y. ∵ ∠BAE=∠CEF ,∴ Rt△ABE∽Rt△ECF. ∴，. ∴y=-x2+x=-（x-）2+. （1）∵y最大=， ∴CF的长不可能等于. （2）设-x2+x=， 即16x2-16x=3=0. 解得x1=，x2=. ∴ 当BE的长为或时，均有CF的长为. 二次函数与一元二次方程有着紧密的联系,已知函数y取某个值m,求相应的自变量x的值时,实际上就是把二次函数问题转化为一元二次方程问题.从图像上看,就是求直线y=m与二次函数图像的交点坐标. “做一做”中，经历“实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题”的过程,体会二次函数与一元二次方程的联系. 例4是一个几何问题,但需转化为代数问题来求解,本题是通过建立函数关系式,转化为二次函数问题,再进而转化为一元二次方程问题,其中(1)也可以转化为一元二次方程问题来求解. 3.学以致用，应用新知 考点 把二次函数问题转化为方程问题 【例1】一人乘雪橇沿一条直线形的斜坡滑下，滑下的路程s m与下滑的时间t s满足关系式s=10t+t2，当滑下的路程为200 m时，所用的时间为 . 解析：令s=200，则200=10t+t2， 解得t=10或t=-20（舍去）， 所以所用时间为10 s. 答案：10 s 通过例题讲解，巩固理解将二次函数问题转化为方程问题解决，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积为108cm2． 答案：3 2．一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？ 解：由函数关系可得： 85 =1.8t+0.064t2， 解方程得t1=25或t2 =－53.125(不符合实际舍去) 所以，他通过这段山坡需要25秒的时间. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 事物之间是相互联系的,数学知识之间的联系尤为紧密.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c,当y＝m时求x的值,就变为求解一元二次方程m＝ax2＋bx＋c. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P48-49习题中的A组T1—T2，B组T1. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.4 二次函数的应用 第3课时 把二次函数问题转换为方程问题 当已知某个二次函数的函数值y = m,求对应的x 的值的基本方法. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，常把二次函数问题转化为一元二次方程问题进行解决，如果给出的是函数值y的范围，则二次函数可以转化成一元二次不等式或一元二次不等式组求解.在授课时，充分发挥学生的主体地位. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$