30.4 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.4 二次函数的应用 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 课题 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P41-43 教学目标 1.会利用二次函数的性质解决抛物线型实际问题. 2.使学生体验建模思想、数形结合思想. 教学重难点 重点：利用二次函数解决抛物线型问题. 难点：建立模型的过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，引入课题 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ （板书课题：30.4 二次函数的应用 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题） 二次函数在运动路线、拱桥等抛物线型问题中的应用十分广泛.由实际情境引入本课时的学习，提高学生的学习兴趣，由图形也较为明显的提示这是二次函数问题. 2.实践探究，学习新知 【探究1】建立二次函数模型解决抛物线型问题 【教材例题】 例1 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 分析：由于篮球在空中运行的路线为一条抛物线，所以可以建立恰当的直角坐标系，求出该抛物线的表达式，借助表达式来解决所求问题.由题设，已知抛物线的顶点，建立顶点在y轴上的直角坐标系，可使所得的函数表达式较简单. 师生活动：将实际问题转化为数学问题，欲求点的坐标，需建立合适的坐标系，你认为怎样建比较合适？ 将篮球出手时的位置看做点C，那么求运动员出手时的高度，即求点C的纵坐标.建立如图所示的坐标系，由题得顶点B（0,3.5）,A（1.5,3.05）. 解：如图所示,建立直角坐标系,篮圈中心为点A (1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5).以点C表示运动员投篮球的出手处. 设以y轴(直线x=0)为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k,即y=ax2+k,而点A,B在这条抛物线上,所以有 解得 所以抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5. 当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25. 答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. 【归纳总结】建立二次函数模型解决抛物线型问题 1.建立合适的坐标系：通常以对称轴为坐标轴或将已知点放到坐标轴上； 2.将实际数据转化为点的坐标； 3.设合适的二次函数的形式，求出表达式：给出顶点坐标时，通常设顶点式； 4.将x代入求v，或将y代入求r； 5.将点的坐标转化为实际问题中的数据. 【探究2】建立合适的坐标系解决问题 【做一做】如图所示,某喷灌器AB的喷头高出地面1.35 m,喷出的水流呈抛物线形从高1 m的小树CD上面的点E处飞过,点C距点A 4.4 m,点E在直线CD上,且距点D 0.35 m,水流最后落在距点A 5.4 m远的点F处.喷出的水流最高处距地面多少米? 水流最高处到地面的距离，即为抛物线顶点到地面的距离.为求抛物线的表达式,小亮和小惠分别建立了如下图所示的直角坐标系,并写出了相关点的坐标. 小亮 小惠 (1)请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式; (2)根据以上两种表达式,求出水流最高处到地面的距离. 预设答案： 解:(1)小亮的方法： 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 将点B(0,1.35),E(4.4,1.35),F(5.4,0)代入, 得解得 ∴y=-0.25x2+1.1x+1.35. 小慧的方法： 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 将点B(-.2.2,1.35),E(2.2,1.35),F(3.2,0)代入,得 解得 ∴y=-0.25x2+2.56. (2)对于y=-0.25x2+1.1x+1.35，当 时，y最大=2.56. 对于y=-0.25x2+2.56，当x=0时，y最大=2.56. 【归纳总结】 在建立二次函数模型解决抛物线型问题时，要选择建立合适的坐标系，以使运算简便. 篮球在空中运行轨迹是一条抛物线，因此可以建立合适的坐标系，用二次函数解决问题. 可以提醒学生或者根据学生不同的操作方式，建立不同的坐标系，这样求出的点的坐标是不同的，表达式也是不同的，肯定学生的不同答案. 也可以以运动员起跳处为坐标原点建立坐标系. 解决问题后学生教师进行交流，最后可以由教师总结步骤，学生体会. 水流呈抛物线形，可以用二次函数解决问题.结合“做一做”后的练习，实际建立了三种不同的直角坐标系.比较这三种建立直角坐标系的方法，体会建立适当的直角坐标系对解决问题的方便性. 通过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k不同的形式,让学生学会运用待定系数法求二次函数表达式的同时,提高了学生学习数学知识的兴趣. 学生互相交流并实际操作，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正. 3.学以致用，应用新知 考点 建立二次函数模型解决抛物线型问题 【例1】　如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米． 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2. 答案：2 【例2】（石家庄期末）如图，一小球 M 从斜坡 OA 上的点 O 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数 y=x 的图像刻画.若小球到达的最高点的坐标为 (4,8) ，解答下列问题： （1） 求抛物线的表达式； （2） 小球的落点为点A，求点A的坐标； （3） 在斜坡OA上的点B有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明； （4） 求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度. 解：（1）∵小球到达的最高点的坐标为 (4,8) ， ∴设抛物线的表达式为 y=a(x−4)2+8 . 把 (0,0) 代入，得 0=(0−4)2a+8， 解得 a=−， ∴抛物线的表达式为 y=(x−4)2+8 . （2）解方程 (x−4)2+8=x ， 得 x1=0 ， x2=7 . 当 x=7 时， y=， ∴A(7,) . （3）当 x=2 时， y=x=1 ， y=(x−4)2+8=6 . ∵6−1>4 ， ∴小球 M 能飞过这棵树. （4）设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为 ℎ ，则 ℎ=(x−4)2+8−x=(x−)2+， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡 OA 的最大高度为 . 通过例题讲解，巩固理解建立二次函数模型解决抛物线型问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是___s. 答案： 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？ 解：(1)能投中； (2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功． 3.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，水面宽度为20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 解:(1)设所求抛物线的表达式为y=ax2. 设点D的坐标为(5，b)，则点B的坐标为(10，b-3). 把D，B的坐标分别代入y=ax2，得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2. （2）∵b=-1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1 m.10÷2=5(小时)， ∴再持续5小时到达拱桥顶. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P42-43习题中的A组T1—T2，B组T1. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.4 二次函数的应用 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．本节课是二次函数的应用,重点是能将实际问题“数学化”，鼓励学生先独立思想，再分组交流，充分发挥学生的主观能动性. 2.教学过程中，由于建立的直角坐标系不同，得到的点的坐标和函数的表达式也不同，有些学生得到的表达式与其他学生不同学生会认为自己的是错的，要鼓励学生的自信心，告知学生点的坐标和表达式就是有不同的现实. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$