30.2 第3课时 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 课题 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P35-38 教学目标 1.会运用配方法将二次函数一般式化为顶点式并能确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴. 2.经历实践、观察、思考等数学活动,发展学生合情推理能力,学生能条理地、清晰地阐述观点. 教学重难点 重点：运用配方法将二次函数一般式化为顶点式. 难点：配方法将二次函数一般式化为顶点式的过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? (函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质? (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1) （板书课题：30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质） 通过复习上节课学过的y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质,为本节课的学习做铺垫，本节课中y=ax2+bx+c转化为y=a（x-h）2+k的形式来判断对称轴和顶点坐标. 2.实践探究，学习新知 【探究1】y=ax2+bx+c与y=a（x-h）2+k的相互转化 师生活动：（1）对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？ （2）配方的过程中，二次项系数a如何处理？ 每个二次函数y=ax2+bx+c都可以通过配方化成 y=a（x-h）2+k 的形式. 配方过程： y＝ax2＋bx＋c ＝a(x2＋x)＋c 　　　↑ ＝a[x2＋2·x＋()2－()2]＋c 　　　　　　　　　　↑ 　 ＝a[x2＋2·x＋()2]－a·＋c ＝a(x＋)2＋. 由此可以看出，h=－，k= 【归纳总结】 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方式； (3)“化”：化成顶点式. 【探究2】二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 对比二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质，能得出二次函数y=ax2+bx+c的相关问题. y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，所以抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是（－，），对称轴是直线x=－. 表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x的变化情况 最大（或最小）值 y=ax2＋bx＋c (a>0) 向上 x=－ （－，） 当x<－时,y随x的增大而减小; 当x>－时,y随x的增大而增大 当x=－时,y最小= y=ax2＋bx＋c (a<0) 向下 x=－ （－，） 当x<－时,y随x的增大而增大; 当x>－时,y随x的增大而减小 当x=－时,y最大= 为方便起见，我们把二次函数y=ax2+bx+c也称为抛物线y=ax2+bx+c. 【教材例题】 例2 求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像. 解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2. ∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2). (1)列表: x … -3 -2 -1 0 1 … y=x2+2x-1 … 2 -1 -2 -1 2 … （2）在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图所示. 例3 根据下列条件,确定抛物线的表达式. (1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5). (2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6). 解:(1)∵y=-2x2+px+q=-2（x-）2+. ∴ =-3，=5. ∴p=-12,q=-13. 故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13. (2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式,即 解得 故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6. 对二次函数的表达式y=ax2+bx+c进行配方与一元二次方程配方不同,因两边不能同时除以二次项系数，这是学生容易产生困惑的地方,应让学生搞清楚. 将学生容易犯错的地方,用设问和框图的形式提出来,使学生注意在以后解题的过程中尽量避免犯类似错误. 函数y=ax2+bx+c的图像和性质可由y=a（x-h）2+k的图像和性质得出，因此配方法是重点，需要掌握的. 例2用顶点坐标式求出二次函数的对称轴和顶点坐标. 例3是根据已知条件求二次函数的表达式，是待定系数法的运用. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数与的关系 【例1】二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4 答案：B 考点2 二次函数的图象和性质 【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B. 答案：B 通过例题讲解，巩固理解二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.二次函数y=x2+6x+4图象的对称轴是直线（　　） A. x=-3 B．x=-6 C．x=6 D．x=4 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2﹣2x﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c的函数表达式为（　　） A．y＝x2+2x+4 B．y＝x2+4x﹣3 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣8x+13 3.若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 D．c的值为﹣3 4.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x=t. （1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c,求t的取值范围及x0的取值范围. 参考答案 1.A 2.B 3.C 4.解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，得m＝a+b+c，n＝9a+3b+c. ∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c. 整理，得b=-4a, ∴抛物线的对称轴为x=-=-=2，∴t=2. ∵c=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c, ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c,解得-4a＜b＜-3a, ∴3a＜-b＜4a, ∴＜-＜，即＜t＜2． 当t=时，x0=2； 当t=2时，x0=3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． ． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.能用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象. 2．用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P38习题中的A组T1—T3，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．对二次函数的表达式 y=ax2+bx+c进行配方与一元二次方程配方不同,因两边不能同时除以二次项系数，这是学生容易产生困惑的地方,应让学生搞清楚,因此教学时,可以先对数字系数的二次函数进行配方,然后再对一般的二次函数进行配方,这只是对二次函数图像的一个研究过程不要求学生掌握. 2.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$