30.2 第2课时 二次函数y=a（x-h）²与y=a（x-h）²+k的图像和性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.2 二次函数的图像和性质 第2课时 二次函数y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质 课题 第2课时 二次函数y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32-35 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像,并能通过图像认识其性质. 2.掌握二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2、y＝a(x－h)2＋k图像之间的联系. 3.会求二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴. 4.经历探索二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像画法和性质的过程,在探究过程中,知道a,k,h对二次函数图像的影响,体会图像平移的规律,积累解决问题的经验和方法. 教学重难点 重点：1.二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像及性质. 2.二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像之间的联系. 难点：1.理解a,k,h对二次函数图像的影响. 2.二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的性质的应用 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 问题情境： (1)快速画出函数y＝x2的图像. (2)画函数y＝x2的图像的最关键步骤是什么？二次函数y＝ax2的图像有什么性质？ 老师启发引导,检查提问,最后补充完善. （板书课题：30.2 二次函数的图像和性质 第2课时 二次函数y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质） 通过复习上节课学过的y＝ax2的图像和性质的研究过程,让学生用类比的方法来研究本节课中函数图像和性质，为本节课及后续的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=a（x-h）2的图像和性质 【观察与思考】小颖在同一直角坐标系中，对二次函数y=x2 ，y=(x-3)2 和y=(x+2)2采用如下列表、秒点、连线的方式画出了它们的图像. 仔细观察图，从形状上看,二次函数y=(x-3)2, y=(x+2)2的图像与二次函数y=x2的图像的形状和位置有什么关系? 学生自主观察并交谈自己的发现. 从形状上看,二次函数y=(x-3)2, y=(x+2)2的图像与二次函数y=x2的图像是完全相同的，但它们的位置不同. 【归纳总结】 【探究2】二次函数图像的平移 思考并回答： (1)函数y＝(x－3)2的图像可以由函数y＝x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到？它的对称轴与顶点坐标分别是什么？ (2)函数y＝(x＋2)2的图像可以由函数y＝x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到？ 师生活动：学生观察图像，小组交流，教师进行必要指导. 预设答案： (1)沿x轴向右平移3个单位长度. (2)沿x轴向左平移2个单位长度. 【归纳总结】 可以知道，二次函数 y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时，向右平移h个单位长度;当h<0时，向左平移|h|个单位长度. 【做一做】由函数y=-2x2的图像，分别经过怎样的平移可以得到下列函数的图像? (1)y=-2(x+1)2；(2)y=-2(x-4)2；(3)y=-2()2. 预设答案：(1)向左平移1个单位长度； (2)向右平移4个单位长度； (3)向右平移个单位长度. 【探究3】二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质 【一起探究】 在图中的直角坐标系中，已经画出了二次函数y=(x-3)2的图像. (1)请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2的图像. (2)试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到. (3)请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标. 师生活动：先由学生自己探究，教师适当提供帮助，小组讨论，师生交流形成统一的认识. 预设答案： （1）图略 （2）先向右平移3个单位长度,再分别向上平移1个单位长度,向下平移3个单位长度. （3）直线x=3,(3,1)；直线x=3,(3,-3). 【大家谈谈】 （1）请说出将二次函数y=-2x2的图像，分别经过怎样的平移，可以得到兩数 y=-2(x-4)²+6 和 y=-2(x+)2-4的图像. （2）指出函数 y=-2(x-4)2+6和y=-2(x+)2-4的图像的对称轴与顶点坐标，并说明是如何确定的. 师生活动：学生先根据平移规律说明平移的方式，教师给出图象验证. 预设答案： (1)先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度;先向左平移个单位长度,再向下平移4个单位长度. （2）直线x=4,(4,6);直线x=，（，-4）.是由平移确定的. 【归纳总结】 【教材例题】 例1 （1）求函数y=(x+5)2-2的最大(或最小)值. （2）先将函数y=x2的图像向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,请写出平移后得到的图像的函数表达式. 解:（1）由<0,知该函数有最大值. 当x=-5时,函数取得最大值,y最大=-2. （2）平移后得到的图像的函数表达式为y=(x+2)2-3. 对于 y=(x-3)2和 y=(x+2)2的图像,由于涉及到对称性,还是先由教师给出画图像的过程,然后学生观察图像. 几个图像形状相同，但位置不同，由此总结得出函数y=a（x-h）2的图像和性质. 图象的平移规律通过图像容易得到，再结合函数表达式总结得出，如果学生感到困惑，可引导学生观察上面列出的表格，或再给出几个图像供学生观察. 图像平移的规律可以先由学生进行探究，教师进行必要指导. 该探究涉及图像的两次平移，也是可以先由学生探究，教师必要指导. 对于“大家谈谈”,可以根据得到的平移规律说明怎样平移,然后再给出图像,以验证发现规律的正确性. 教师可引领学生回顾前面学过的图像的性质，合并总结，学生发现一般规律. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象与性质 【例1】 已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值． 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)， ∴h＝－2. 又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)， ∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝. 考点2 二次函数的图象和性质 【例2】 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确． 答案：B 通过例题讲解，巩固理解二次函数y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.对于任何非零实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．都有最低点 答案：C 2.将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A. 答案：A 3.在二次函数y=（x-1）2+5中，当x＞2时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）. 答案：增大 4.已知二次函数y=2（x-m）2-2（m是常数）的图象经过点P（a,b）． （1）若a=3，b=6，求m的值； （2）若点P到对称轴的距离为1，求b的值． 解：（1）把点P（3，6）代入解析式， 得2（3-m）2-2=6，解得m=5或1， ∴m的值为5或1. （2）∵二次函数y=2（x-m）2-2的图象的对称轴为x=m,点P到对称轴的距离为1， ∴a=m+1或m-1， 当a=m+1时，b=2（m+1-m）2-2=0， 当a=m-1时，b=2（m-1-m）2-2=0， ∴b的值为0． 5.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：（1）如图，抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A（5，0）. x＝0时，y＝5，∴点B为（0，5）. ∵对称轴为直线x＝5， ∴点C的坐标为（10，5）. （2）S△ABC＝×10×5＝25. （3）AB＝AC＝5，BC＝10， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.在同一直角坐标系中，理解函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别. 2.理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系. 3．探究并掌握函数函数y＝a(x－h)2与y=a(x－h)2＋k的图象与性质. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P35习题中的A组T1—T2，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.2 二次函数的图像和性质 第2课时 二次函数y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像和性质 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2与y=a（x-h）2+k的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法. 2.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,引导学生仿照以前学过的一次函数和反比例函数的研究过程进行探究，实现知识和方法的迁移，体现知识的连贯性和整体性. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$