29.3 切线的性质和判定-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

29.3 切线的性质和判定 课题 29.3 切线的性质和判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P8-10 教学目标 1.探索切线与过切点的半径之间的关系. 2.了解切线的性质,能判断一条直线是不是圆的切线. 3.在探究切线的性质和判定的过程中,培养学生的探究意识,进一步发展学生的数学思考与表达能力. 教学重难点 重点：1.利用切线的性质解决于圆有关的问题． 2.会判断一条直线是否为圆的切线． 难点：会判断一条直线是否为圆的切线. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，引入课题 师生活动：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 转动雨伞，砂轮转动，雨滴和火花飞出的方向极为相似，都有什么共同点你呢？不妨看一看，说一说. 教师：圆的切线有哪些性质呢?这就是本节所要探究的内容——切线的性质和判定. （板书课题：29.3 切线的性质和判定） 通过砂轮转动产生的火花为背景，引入本节课关于切线的探究，激发学生学习兴趣，也使抽象内容更形象化. 2.实践探究，学习新知 【探究1】切线的性质 【过渡语】我们知道，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径圆的切线还有哪些性质?如何判定一条直线是圆的切线呢? 在我们的生活中，经常会遇到直线与圆相切的情形，如沿直线行驶的自行车车轮与车印，可以看成直线与圆相切的具体实例. 师生活动：可鼓励学生多举出与切线有关的生活情境，加深学生对知识的理解. 直线与圆相切时，还有哪些性质呢？ 【一起探究】 如图，直线l为⊙O的一条切线，切点为T，OT为半径.在直线l上任取一点P，连接OP.观察OT和OP的数量关系，猜想OT与切线l具有怎样的位置关系. 师生活动：通过观察、测量等活动,发现OT的长等于圆心O到直线l的最短距离,从而得到 OT⊥l. 事实上，OT⊥l. 如图，假设OT与不垂直.过点O作OPl，垂足为P.因为OP是垂线段，所以OP<OT(垂线段最短)，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，由此得到直线l与⊙O相交，这和直线1与⊙O相切矛盾，所以OT⊥l. 【归纳总结】圆的切线垂直于过切点的半径. 【探究2】切线的判定 【观察与思考】如图，OA为O的半径，直线过点A，且l⊥OA. (1)如果用r表示⊙O半径的长，d表示圆心O到直线l的距离，那么r与d具有怎样的数量关系呢? (2)直线l是⊙O的切线吗? 预设答案： （1）∵l⊥OA, ∴半径 OA 就是圆心O到直线l的垂线段， ∴d=r. (2)直线l是⊙O的切线. 师生活动：师生共同总结 因为l⊥OA，垂足为A，所以d=r，因此l与⊙O相切. 【归纳总结】 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【探究3】切线的画法 【做一做】如图，P为⊙O上的一点，请你用三角尺画出这个圆过点P的切线. 师生活动：学生交流动手操作，教师进行必要指导. 连接OP，再过点P作直线l⊥OA,直线l就是过点P的切线. 对于问题情境,要引导学生把车轮看做圆、把“车印”看做圆(车轮)的切线、把过切点的辐条看做圆的半径,使学生感受过切点的半径与切线之间的关系. 关于“一起探究”,在教学中,要引导学生通过观察、测量、推理等活动,总结出“圆的切线垂直于过切点的半径”. 关于“观察与思考”,在教学中,要引导学生有条理地思考,进一步认识圆的切线与半径之间的关系. “过圆上一点画圆的切线”在今后的学习中经常用到,在教学中,要关注学生的画法. 3.学以致用，应用新知 考点1 切线的性质 例1 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3，即⊙O的半径为3. 考点2 切线的判定 例2 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. 分析：由点O向AC作垂线段OF，d=OF,r=OE，因此只需要证明OF=OE. 证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E. ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB, ∴ OE＝OD. ∵ OD是⊙O的半径, ∴ AC是⊙O的切线. 通过例题讲解，巩固理解切线的性质和判定方法及应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1、如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP＝2．∠APO＝30，则⊙O的半径为 ． 答案：1 2、如图，CD为⊙O的直径，点A在DC的延长线上，直线AE与⊙O相切于点B，∠A＝28，则∠DBE＝ ． 答案：59 3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB. 证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD，又∵CD⊥AD， ∴OC∥AD， ∴∠1＝∠3.又∵OA=OC， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2. 即AC平分∠DAB. 4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E. 求证：CD与小圆相切. 证明：连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F，如图． 　　∵AB与小圆O切于点E，∴OE⊥AB． 　　又∵AB=CD， 　　∴OF=OE，又OF⊥CD， 　　∴CD与小圆O相切． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.切线的性质： （1）切线和圆有且只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于经过切点的半径； （4）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （5）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.判定切线的方法 （1）与圆有唯一公共点 （2）与圆心的距离等于圆的半径 （3）经过半径外端且垂直这条半径 3.常见的与切线有关的辅助线作法 （1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线.（连半径，证垂直） （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径.（作垂直，证半径） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P10习题中的A组T1—T3，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 29.3 切线的判定和性质 提纲挈领，重点突出. 教后反思 在教学中,应关注以下活动: （1）引导学生通过观察、测量、推理等活动进行切线性质与判定的探究，发挥学生主观能动性. （2）切线的画法在以后学习中经常遇到，注意关注学生的画法，引导学生理解并掌握切线的画法. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$