4.3 第1课时 正比例函数的图象和性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第4章 4.3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象和性质 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤. 2．能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用. 二、过程与方法 通过画正比例函数的图象，探索正比例函数图象的性质，培养观察能力，体会用数形结合的方式思考问题.培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想. 三、情感、态度与价值观 1．培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，在学习中学会主动参与、积极思考，并获得成功的体验，锻炼克服困难的意志. 2．通过动手操作，培养严谨的学习态度，并养成善于观察、善于归纳的学习习惯，培养学生的数学交流能力和团队协作精神. 教学重点、 难点 教学重点：正确理解正比例函数的图象及其性质. 教学难点：通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 前面，我们已经学习了用图象法表示函数，知道了可以用描点法画出函数的图象，也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用． 上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念及表达式，那么正比例函数的图象是什么样的？正比例函数又有哪些性质呢？ 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：y=x；y=3x；观察函数图象有什么特点？今天我们就一起来探究这些问题吧! 2.讲授新课 1．k>0时，y=kx的图象与性质 探究：画出正比例函数y=2x的图象. 思考：要想作出正比例函数y=2x的图象，我们首先应该怎么做，然后再怎么做？ 列表：先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格如下： x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y ··· -6 -4 -2 0 2 4 6 ··· 描点：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点，如下左图. 连线：观察描出的这些点的分布，我们可以猜测y=2x的图象是经过原点的一条直线，数学上可以证明这个猜测是正确的.因此，用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接，即可得到y=2x的图象.如下右图. 说明：类似地，数学上已经证明：正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，因此画正比例函数的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx”. 观察归纳得出性质：当常数k>0时，直线y=kx是一条经过原点的直线.直线y=kx经过第三、一象限从左向右上升，y随x的增大而增大. 2．k<0时，y=kx的图象与性质 例1：画出正比例函数y=-2x的图象. 解：当x=0时，y=0；当x=1时，y=-2.在平面直角坐标系中描出两点O(0,0)，A(1,-2)，过这两点作直线，则这条直线是y=-2x的图象，如图所示. 从图中可以看出，y=-2x的图象是经过原点的一条直线. 观察归纳得出性质：当常数k<0时，直线y=kx也是一条经过原点的直线.当k>0时，直线y=kx经过第二、四象限从左向右下减，y随x的增大而减小. 思考：为什么直线y=kx(k为常数，k≠0)都经过原点？ 因为对于任意y=kx(k为常数，k≠0)，当x=0时，y=0，所以直线y=kx(k为常数，k≠0)都经过原点(0,0). 例2：某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3m/s的速度上升，运行总高度为300m. (1)求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象. 解：(1)由路程=速度×时间，可知h=3t，0≤t≤100. (2)当t=0时，h=0；当t=100时，h=300，在平面直角坐标系中描出两点O(0,0)，A(100,300).过这两点作线段OA，线段OA即函数h=3t(0≤t≤100)的图象，如图. 3.课堂练习 1．在下列各图象中，表示函数y=-kx(k＜0)的图象的是( ) 解析：∵k＜0，∴-k＞0，∴函数y=-kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数，故选C. 方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限． 2．关于函数y=x，下列结论中，正确的是( D ) A.函数图象经过点(1,3) B.不论x为何值，总有y＞0 C.y随x的增大而减小 D.函数图象经过第一、三象限 3．一辆车从A地将一批物品匀速运往B地，如图，线段OP表示车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的关系，a表示A、B两地间的距离．现有以下四个结论：①车的速度为40km/h；②两地之间的距离为180km；③点P的坐标为(4.5,180)；④车到达B地后以原速度的1.5倍立即返回，可在出发7.5小时后回到A地．以上四个结论正确的是( ) A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 解析：∵车的速度为=40(千米/小时)，所以①正确；根据题意，得，解得a=180．∵点P的坐标为(4.5,180)，则②③正确；设甲车返回的时间为x小时，则180=40×1.5x，解得x=3，则总时间为4.5+3=7.5(小时)，经检验，x=3是方程的解并符合题意，则④正确．故正确的有①②③④.故选D. 方法总结：根据图象找到有用的信息，要注意横纵坐标表示的意义各是什么，再结合文字分析图中的图线所表示的实际意义是解题的关键． 4．点A(5,y1)和B(2,y2)都在直线y=-x上，则y1与y2的关系是( ) A．y1≥y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 解析：∵点A(5,y1)和B(2,y2)都在直线y=-x上，∴y1=-5，y2=-2，∵-5＜-2，∴y1＜y2.故选C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4.课堂小结 1．正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0) 图象 形状 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条过原点直线，我们称它为“直线y=kx” 画法 根据两点确定一条直线，画y=kx(k≠0)的图象时，一般选(0,0)和(1,k)两点比较简便 大致 图象 图象是从左向右上升的，经过第一、三象限 图象是从左向右下降的，经过第 二、四象限 越大，图象越陡（即越靠近y轴） 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 2．解题策略 (1)根据正比例函数的图象和性质，可求字母系数的取值范围，或结合正比例函数的定义，求字母的值； (2)根据正比例函数的增减性，已知两个点的横坐标的大小，可判断对应的纵坐标的大小. 5.板书设计 1．正比例函数的图象 2．正比例函数的性质 3．正比例函数图象的应用 教学设计 反思 经过学生的练习反馈，发现学生对图象画法掌握较好，而对于正比例函数的性质运用和在画实际问题中的函数图象时，大部分学生容易忽略自变量的取值范围，因此在今后的教学中要强调画实际问题的图象时，必须考虑函数自变量的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$