3.1 第1课时 平面直角坐标系-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第3章 3.1 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．理解有序数对的意义. 2．能用有序数对表示实际生活中物体的位置. 3．理解平面直角坐标系的相关概念. 4．在给定的平面直角坐标系中，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置. 5．理解每个象限及坐标轴上的点的特征. 二、过程与方法 学生经历有序数对的学习过程，培养学生的概括能力，发展学生的数感，体会具体-抽象-具体的数学学习过程经历坐标概念的形成，培养学生的观察归纳能力，领会“数形结合”的思想. 三、情感、态度与价值观 通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神，经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段. 教学重点、 难点 教学重点：在给定的平面直角坐标系中，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置. 教学难点：理解每个象限及坐标轴上的点的特征． 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 1．请画一条数轴，并指出它的三要素. 数轴如图所示，数轴数轴三要素：原点、正方向、单位 长度. 2．说出下列数轴上的A、B、C点所表示的数. C A B 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 0 A、B、C三点表示的数分别为：-4、2、0. 对于数轴，我们已经学习过了，知道数轴上的点与实数一一对应，在建立了数轴之后，我们就可以确定直线上点的位置 那么，如何确定平面内点的位置呢？ 2.讲授新课 1．有序实数对 游戏：我们的教室共有54个座位，自前向后分为7排，自左向右分为8组，每位同学对应着一个位置，我们来个“点将”的游戏，你们是“将”，由我来点. 游戏规则：(1)老师报出学生姓名，学生起立并说出座位号；(2)老师说出座位号，对应的同学起立. 发现：从上面的游戏可以看到，为了确定物体在平面上的位置，我们经常用“第几组、第几排”这样含有两个数的用语来确定物体的位置.为了使这种方法更加简便，我们可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示.例如，张伟坐在教室里的第3组、第5排，则他的座位可以简单地记作(3,5). 思考：(1)(3,5)和(5,3)在同一个位置吗？ 不在同一个位置 (2)如果约定“排数在前，组数在后”，刚才那些被“点将”了的同学对应的有序实数对会变化吗？ 会变化 师生归纳： 有序数对：我们把有顺序的两个实数a与b组成的数对，叫做有序实数对.记作(a,b). 2．平面直角坐标系的有关概念 联想：由“点将”游戏（有序实数对）结合数轴展开思考，我们能不能想办法把平面内的点用数或数轴的方式表示出来？ 让学生阅读教材P83～P84后回答下列问题： (1)说一说组成平面直角坐标系的两条数轴具备什么特征？说出平面直角坐标系中两条数轴特征. 组成平面直角坐标系的两条数轴互相垂直，原点重合；一条数轴正方向水平向右，一条数轴正方向竖直向上. (2)什么是横轴？什么是纵轴？什么是坐标原点？ 正方向为水平向右的数轴称为横轴（简称x轴），正方向为竖直向上的数轴称为纵轴（简称y轴），横轴与纵轴重合的点（交点）是坐标原点. (3)坐标平面被两条坐标轴分成了哪几个部分，分别对应什么象限？ 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如右边图所示的I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 思考：平面上的点如何表示呢？ 平面内任意一点P，过P点分别向x、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横 坐标、纵坐标，则有序数对(a,b)叫做点P的坐标，记为P(a,b). 在建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应. 强调：平面直角坐标系中两条数轴特征：互相垂直，原点重合，通常取向上、向右为正方向，单位长度一般取相同的. 注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． 3．平面直角坐标系内点的坐标及各象限内点的坐标的特征 例1：如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标. 解：所求各点的坐标为：A(3,4)，B(-4,3)，C(-3,0)，D(-2,-4)，E(0,-3)，F(3,-3). 例2：在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5,4)，B(-3,4)，C(-4,-1)，D(2,-4). 解：如图，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x轴，y轴的垂线，垂线的交点就是点A.类似地，其他各点的位置如图所示.点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限. 归纳：结合例1、例2的解答，我们可以得出平面直角坐标系内各象限的点的特征如下表所示： 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 想一想：原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特征? 原点O的坐标是(0,0)；当点在x轴上时，纵坐标为0；当点在y轴上时，横坐标为0. 3.课堂练习 1．点(3,-2)在第 四 象限；点(-1.5,-1)在第 三 象限；点(0,3)在 y 轴上；若点(-5,a+1)在x轴上，则a= -1 . 2．在平面直角坐标系中，若点P(a,b)在第三象限，则点Q(-a,b-1)在第 四 象限. 3．在坐标平面内，已知A(1+a,a-2)是y轴上的点，则a的值为 -1. 4．已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是( ) A．(2,-1) B．(1,-2) C．(-2,-1) D．(1,2) 解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为-2；由点P到y轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1,-2)．故选B. 方法总结：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个． 5．设点M(a,b)为平面直角坐标系内的点． (1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？ (2)当ab>0时，点M位于第几象限？ (3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？ 解：(1)点M在第四象限； (2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)； (3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上． 方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：(＋，＋)表示第一象限内的点，(－，＋)表示第二象限内的点，(－，－)表示第三象限内的点，(＋，－)表示第四象限内的点． 6．如图是某教室学生座位的平面图： (1)请说出王明和陈帅的座位位置； (2)若用(3,2)表示第3排第2列的位置，那么(5,5)表示什么位置？王明和陈帅的座位位置可以怎么表示？ (3)请说出(3,3)和(4,8)分别表示哪两位同学的座位位置； (4)(3,4)和(4,3)表示的位置相同吗？一般地，若a≠b，(a,b)与(b,a)表示的位置相同吗？ 解：(1)王明的座位位置是第1排第2列；陈帅的座位位置是第5排第4列； (2)(5,5)表示的位置是第5排第5列；王明的位置可表示为(1,2)，陈帅的位置可表示为(5,4)； (3)(3,3)表示张军的座位位置；(4,8)表示夏凡的座位位置； (4)(3,4)表示的位置是第3排第4列，(4,3)表示的位置是第4排第3列，它们表示的位置不相同．一般地，若a≠b，(a,b)与(b,a)表示的位置不相同． 方法总结：用有序实数对来描述物体的位置，其中“有序”是指若a≠b，a与b的前后顺序不同，描述的位置一般不同．例如题中的(3,4)和(4,3)表示不同的两个位置．“数对”是指必须由两个数才能确定某点的位置． 7．下列是平面直角坐标系的是( ) 解析：根据平面直角坐标系的定义来判断．平面直角坐标系由x轴(横轴，取向右为正方向)、y轴(纵轴，取向上为正方向)和原点O(x轴与y轴的交点)组成．A选项中没有标明x轴、y轴；B选项中x轴、y轴的正方向取错了；D选项中x轴与y轴标反了．故选C. 方法总结：识别平面直角坐标系时要紧扣定义，抓住其中的要点，与数轴的三要素相参照． 8．在平面直角坐标系中，点P(m,m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________． 解析：根据第一象限内点的坐标符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组解得m＞2.故答案为m＞2. 方法总结：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 4.课堂小结 1．平面直角坐标系 2．解题策略 (1)平面内点的坐标特征： 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 + + 在第二象限 - + 在第三象限 - - 在第四象限 + - 在x轴上 在y轴上 在正半轴上 + 0 在负半轴上 - 0 在正半轴上 0 + 在负半轴上 0 - 原点 0 0 (2)平面内点到坐标轴的距离： 点(a,b)到x轴的距离是 |b| ，到y轴的距离是 |a| . 5.板书设计 平面直角坐标系 定义：原点，坐标轴 点的坐标： 描点 教学设计 反思 就学生掌握的情况来看，学生对于给出的数据去找对应的点或物体相对容易一些，而给出物体或点来确定它的位置要困难一些，并且大多数学生把到x轴的距离认为与横坐标有关，到y轴的距离认为与纵坐标有关，这是错误的，在今后的教学中，要通过实例让学生不断强化，逐步提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$