2.6.2 菱形的性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.6 菱形 2.6.2 菱形的判定 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．经历利用菱形的定义探究菱形其他判定方法的过程，培养学生的动手实验、观察、推理意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力. 2．根据菱形的判定定理进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力. 二、过程与方法 尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效的解决问题，尝试评价不同判定方法之间的差异，通过对菱形判定过程的反思，获得灵活判定四边形是菱形的经验. 三、情感、态度与价值观 在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点、 难点 教学重点：理解和掌握菱形的判定方法. 教学难点：合理利用菱形的判定方法进行论证和计算． 教学准备 多媒体课件、三角尺、4支长度相等的铅笔、活动“十字架”木条 教学过程 1.情境导入 我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？ 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角． 类比矩形的性质与判定的联系，菱形的这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？ 2.讲授新课 1．利用边的关系判定矩形 动脑筋：如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？ 把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？下面我们来证明这个结论. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∵AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形. 又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 由此得到菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形. 例2：如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵线段BD垂直平分AC， ∴BA=BC，DA=DC，OA=OC. 在△AOB和△COD中， ∵∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD，∴AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). 动动手：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形? 发现：当两根木条互相垂直时，四边形就变成菱形. 用几何语言怎样描述？对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 动脑筋：菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？ 如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，我们来进行证明： 由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 又由于DB是线段AC的垂直平分线，因此，DA=DC. 从而ABCD是菱形. 由此得到菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 思考：对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 例3：如图，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8， AD=5.求AB的长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=AC=3，OD=BD=4， 又∵AD=5，满足AD2=OA2+OD2， ∴△DAO是直角三角形， ∴∠DOA=90°，即DB⊥AC， ∴ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)，∴AB=AD=5. 3.课堂练习 1．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵DE//AC，DF//AB，即DE//AF，DF//AE， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF. ∵AD平分∠EAF，∴∠EAD=∠DAF， ∴∠DAF=∠ADF，∴AF=DF，∴AEDF是菱形. 2．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形AECF是菱形． 解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD. ∵CF//AB，∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED. 在△AED与△CFD中， ∴△AED≌△CFD(ASA). (2)∵△AED≌△CFD，∴AE=CF. ∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形． 方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定． 3．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”) 解析：∵AD∥BC，∴∠FAD=∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=FAD，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，同理ED=CD.∵AD=BC，AB=CD，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF. 方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证： (1)AC⊥BD； (2)四边形ABCD是菱形． 证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠BCA=∠BAC，∴△BAC是等腰三角形.∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD. (2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB=CB，又∵BC∥AD，∴∠CBD=∠ABD=∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB=AD，∴DA=CB，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形． 方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 5．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F. (1)如图①，求证：CE=CF； (2)如图②所示，若∠ABC=90°，G是EF的中点，分别连接DB、DG，求∠BDG的度数； (3)如图③所示，若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB，DG，求∠BDG的度数． (1)证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F，∴CE=CF. (2)解：连接GC、BG，如图④所示，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°.∵∠DCB= 90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形.∵G为EF的中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，又∵∠ABC=90°，∠BAF=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BE，又AB=DC，∴BE=DC. ∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°.在△BEG与△DCG中， ∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∠BGA=∠DGC. ∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，∴∠BGE+∠DGE= 90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°. (3)解：延长AB、FG交于H，连接HD，如图所示，∵AD∥CE∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形．∵∠ABC=120°，∴∠BAC=60°，又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∴∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形．∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°.∵AD∥BC，∴∠CEF=∠DAF=30°，∴∠CEF=∠CFA，∴CE=CF. ∵AH-AB=DF-CD，∴BH=CF，又∵FG=CE，∴BH=GF. 在△BHD与△GFD中， ∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF， ∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°. 方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 4.课堂小结 1．菱形的判定 2．解题策略 (1)判定一个四边形是菱形可分为两种情况： ①以四边形为起点进行判定：四条边都相等的四边形或对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ②以平行四边形为起点进行判定：一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (2)判定一个四边形是菱形可分为两种思路： ①从边考虑进行判断，一组邻边相等的平行四边形或四条边都相等的四边形是菱形. ②从对角线考虑进行判断，对角线互相垂直的平行四边形或对角线互相垂直平分的四边形是菱形. (3)解题技巧：菱形的每一条对角线把菱形分成一对全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形中的许多证明与计算都可以转化到等腰三角形或直角三角形中解决. 5.板书设计 1．菱形的判定 有一组邻边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是菱形 2．菱形的性质和判定的综合应用 教学设计 反思 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用. 学科网（北京）股份有限公司 $$