2.6.1 菱形的性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.6 菱形 2.6.1 菱形的性质 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算. 2．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力. 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力. 4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想. 二、过程与方法 经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法. 三、情感、态度与价值观 培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观.并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点. 教学重点、 难点 教学重点：掌握菱形的定义和性质；掌握菱形面积的求法. 教学难点：灵活运用菱形的性质解决问题． 教学准备 多媒体课件、三角尺、剪刀、矩形纸片 教学过程 1.情境导入 如图，我们将一张长方形的纸如图(1)对折、再如图(2)对折，然后沿图(3)中的虚线剪下，打开，得到如图(4)这样的图形，你发现这是一个什么样的图形呢？ 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 这就是这节课我们要学习的另一类特殊的平行四边形——菱形. 2.讲授新课 1．矩形的定义： 下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？ 特点：它们的邻边相等. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 符号语言：∵在ABCD中，AB=BC， ∴ABCD是菱形. 2．菱形的性质 菱形也是特殊的平行四边形，由此可知菱形具有平行四边形的所有性质，同时也有自身特色的性质.由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，按照边、角、对角线及对称性四个方面去描述的，我们可以得出 菱形的性质1：菱形的四条边都相等，对角相等，对角线互相平分. 菱形的性质2：菱形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心. 思考：由前面菱形的折纸过程，我们还可以得到菱形的其他性质吗？ 可以得出：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角. 论证：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB相交于点O.对角线AC、DB的位置关系怎样？BD平分∠ADC和∠ABC、AC平分∠DAB和∠DCB吗？ 解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴DA=DC， ∴点D在线段AC的垂直平分线上， 又∵点O为线段AC的中点， ∴直线DO(即直线DB)是线段AC的垂直平分线， ∴AC⊥DB，∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC， 同理：BD平分∠ABC， 同理：AC平分∠DAB和∠DCB. 由此得到： 菱形的性质3：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角. 由上述定理可以得出： 菱形的性质4：菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 3．利用对角线计算菱形面积 ∵S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC，且AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， ∴S菱形ABCD=AC·DO+AC·BO=AC(DO+BO)=AC·BD. 例1：如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长. 解：菱形ABCD的面积为S=×4×3=6(cm2). 在Rt△ABO中，OA=AC=×4=2(cm)， OB=BD=×3=1.5(cm)， 所以AB====2.5(cm)， 因此，菱形ABCD的周长为2.5×4=10(cm). 3.课堂练习 1．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE=CF. 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE. ∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC. 方法总结：关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE//DB，过点B作BE//AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在直角△OCD中，OC===4(cm). (2)∵CE//DB，BE//AC，∴四边形OBEC为平行四边形， 又∵AC⊥BD，即∠COB=90°， ∴平行四边形OBEC为矩形. ∵OB=OD=4cm，∴S矩形OBEC=OB·OC=4×3=12(cm2)． 方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题． 3．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是( ) A．16 B．8 C．4 D．8 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=4，∴OB===2，∴BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×4×4=8. 故选B. 方法总结：菱形的面积为两对角线长的积的一半，菱形的对角线平分对角． 4．已知：如图①，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF. 探究：如图②，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由． 拓展：如图③，在ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数． 解：探究：△ADE和△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD.∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°.∵AE=DF，∴△ADE≌△DBF； 拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA=OD，∴∠DAO=∠ADB=50°，∴∠EAD=∠FDB.∵AE=DF，AD=DB，∴△ADE≌△DBF，∴∠DEA=∠AFB=32°，∴∠EDA=50°-32°=18°. 方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，比较综合，但难度不大，一定要熟悉相关的基础知识，才能更快地解决问题．. 4.课堂小结 1．菱形及其性质 菱形（特殊的平行四边形） 基本图形 定义 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 性 质 具有平行四边形的一切性质，即对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 定理 四条边都相等，即AB=BC=CD=AD. 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.即BD⊥AC,∠ADB=∠BDC，∠DAC=∠BAC等. 对称性 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 2．解题策略 (1)菱形的面积： ①面积=底×高； ②S菱形ABCD=4S△ABO=4×AO·BO=2×AC·BD=AC·BD， 即菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半. (2)若菱形有一个内角为60°，则60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 5.板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 2．菱形的面积 S菱形=边长×对应高=ab(a，b分别是两条对角线的长) 教学设计 反思 通过折纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数的我们加以引导．在整个新知生成过程中，这个活动起了重要的作用．学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维的状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气. 学科网（北京）股份有限公司 $$