2.5.1 矩形的性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系. 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 二、过程与方法 经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点. 三、情感、态度与价值观 培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值. 教学重点、 难点 教学重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论；会用矩形的性质定理及推论进行推导证明. 教学难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算． 教学准备 多媒体课件、三角尺、平行四边形演示器 教学过程 1.情境导入 如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点A，你会发现什么？ 可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状． 我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角（如图），就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形． 2.讲授新课 1．矩形的定义： 观察与思考：在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？说一说. 回答(1)：我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形. 回答(2)：我发现这些四边形的四个角都是直角. 回答(3)：我发现在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形). 2、 矩形的性质： 四边形、平行四边形、矩形的关系如图. 矩形是特殊的平行四边形，由此可知矩形具有平行四边形的所有性质，同时也有自身特色的性质.按照边、角、对角线及对称性四个方面去描述的，我们可以得出 矩形的性质1：矩形的四个角都是直角 ，对边相等，对角线互相平分. 矩形的性质2：矩形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心. 动脑筋：如图，ABCD变成矩形时，两条对角线的长度有什么关系？ 通过观察，猜想：两条对角线相等. 度量：两条对角线相等. 论证：已知矩形ABCD，对角线AC和BD相交于点O.求证：AC=BD. 证法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=∠DCB， ∴△ABC≌△DCB，∴AC=BD. 证法二：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD， ∴AC2=BC2+AB2，BD2=BC2+CD2，∴AC=BD. 矩形的性质3：矩形的对角线相等. 例1：如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°.求BC的长. 解：∵□ABCD是矩形，∴OA=OB=AC=2cm， 又∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2cm. ∵∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC===2(cm) 做一做：画出一个矩形ABCD(如下左图)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴?你的猜测正确吗？ 如上右图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.由于OB=BD=AC=OC，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线. 由于AD//BC，因此EF⊥AD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线，因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴. 类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 由此得到： 矩形的性质4：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 3.课堂练习 1．如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE. 证明：在矩形ABCD中，AD//BC，∠A=90°， ∴∠AEB=∠FBC. ∵CF⊥BE，∴∠BFC=∠A=90°. 由作图可知，BC=BE， 在△BFC和△EAB中， ∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF=AE. 方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC≌△EAB是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD， ∴∠BEF+∠BFE=90°. ∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°， ∴∠BFE=∠CED，∴∠BEF=∠EDC. 在△EBF与△DCE中， ∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE=CD，∴BE=AB， ∴∠BAE=∠BEA=45°，∴∠EAD=45°， ∴∠BAE=∠EAD，即AE平分∠BAD. 方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决. 3．如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(　　) A. B. C. D. 解析：∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO.在矩形ABCD中，OB=OD. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE=S△DOF， ∴阴影部分的面积=S△AOB=S矩形ABCD.故选B. 方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积=S△AOB是解题的关键． 4.课堂小结 1．矩形及其性质 定义：有一角是直角的平行四边形叫作矩形，也叫长方形. 性质：具有平行四边形的一切性质；四个角都是直角.即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；对角线相等且互相平分.即AC=BD，AO=BO=CO=DO. 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴，即有两条对称轴；矩形也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点. 2．解题策略 (1)因为矩形的四个角都是直角，所以常把矩形中的问题转化到直角三角形中解决. (2)矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，所以也常用到等腰三角形的性质. (3)计算与矩形有关的阴影部分的面积时，常利用矩形的轴对称及中心对称性将阴影部分转化为一个整体来计算. 5.板书设计 矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 教学设计 反思 平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上. 学科网（北京）股份有限公司 $$