2.2.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.2 平行四边形 2.2.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定定理3 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．使学生掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算. 2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算. 二、过程与方法 经历观察、归纳等教学活动过程，培养学生的合作精神和有条理的思考和探究的能力. 三、情感、态度与价值观 通过生动有趣的数学活动，让学生主动探索、敢于表达、乐于合作交流，进一步体验数学在生活中的应用，体验因学习而带来的快乐. 教学重点、 难点 教学重点：掌握平行四边形的判定定理3. 教学难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题． 教学准备 多媒体课件、三角尺、活动“十字架”木条 教学过程 1.情境导入 1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？ 两组对边分别平行 2．用所学的判定方法1判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？ 两组对边分别平行或一组对边平行且相等或两组对边分别相等 3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？ 逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形.逆命题是否为真命题，待探讨. 2.讲授新课 1．利用对角线的关系判定平行四边形 设问：“对角线互相平分的四边形是平行四边形.”这一命题的条件是什么？结论又是什么？ 条件：四边形的对角线互相平分； 结论：这个四边形是平行四边形. 动脑筋： 观察下图，将两根细木条的中点重叠，用钉子钉在一起，从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？ D C B A O 抽象几何作图：过点O画两条线段AC，BD，使得OA= OC，OB=OD.连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图. 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD， ∴△OAB≌△OCD(SAS)，∴AB=CD，∠ABO=∠CDO， ∴AB//DC，∴四边形ABCD是平行四边形. 由此得到： 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 例7：如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E，F在BD上，且OE=OF. 求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC， 又∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形. 2．利用角的关系判定平行四边形 例8：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A+∠B==180°，∴BC//AD， 同理，AB//DC，∴四边形ABCD是平行四边形. 议一议： 1．两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗?如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例. 2．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗?如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例. 3.课堂练习 1．如图，延长△ABC的中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE，求证：∠BAE=∠BCE. 证明：∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD，又∵DE=BD， ∵四边形ABCE是平行四边形， ∴∠BAE=∠BCE. 2．如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形 证法一：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF. ∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF，∠AEB=∠CFD， ∴∠BEF=∠DFE，∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形. 证法二：连接BD，交AC于点O，如图. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵AE=FC，∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)． 思考：本例把结论改成“求证：∠EBF=∠FDE.”怎么证明？ 3．如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，点G、H分别在AB、CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O. 求证：(1)EG//FH；(2)EF与GH互相平分． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠GAE=∠HCF， 又∵AE=CF，AG=CH，∴△AGE≌△CHF， ∴∠AEG=∠CFH， ∴180°-∠AEG=180°-∠CFH，即∠OEG=∠OFH，∴EG//FH. (2)连接FG、EH. ∵△AGE≌△CHF，∴EG=FH， 又∵EG//FH，∴四边形GFHE是平行四边形， ∴EF与GH互相平分． 方法总结：综合运用平行四边形的性质和判定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题. 4．如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC=8，AD=6，求AB+CD的长． 解：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD，CE=AD=6，由CE∥AD得∠BCE=∠BOA= 90°，∴BE===10.∵BE=AB+AE= AB+CD，∴AB+CD=10. 方法总结：求线段长度之和时，如果不能求出各条线段的长度，一般通过作辅助线，将两条线段转化到同一条线段上，再放到一个直角三角形内，利用勾股定理求解． 4.课堂小结 1．利用对角线、角的关系判定平行四边形 2．平行四边形的性质与判定总结： 3．解题策略 证明一个四边形是平行四边形的方法： (1)如果已知一组对边平行，则可通过证明另一组对边平行，或证明这组对边相等的方法判定该四边形是平行四边形； (2)如果已知一组对边相等，则可通过证明另一组对边相等，或证明这组对边平行的方法判定该四边形是平行四边形； (3)如果已知一组对角相等，则可通过证明另一组对角相等的方法判定该四边形是平行四边形； (4)如果已知对角线的条件，则首选用证明对角线互相平分的方法判定该四边形是平行四边形. 5.板书设计 1．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 教学设计 反思 大部分学生都能根据已知条件判断平行四边形，但对于平行四边形的性质与判定在综合运用过程中所表现出来的灵活度还不够，特别是少数同学还不知从何处着手，在今后的教学中，应适时专项重点强化，使学生不断提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$