1.4 第2课时 角平分线的综合运用-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第1章 1.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的综合运用 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题． 二、过程与方法 通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力.  三、情感、态度与价值观  经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程.发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、 难点 教学重点：角平分线的性质及其应用. 教学难点：灵活应用两个性质解决问题. 教学准备 多媒体课件、三角尺、剪刀、纸 教学过程 1.情境导入 1．问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 2．引入：上节课我们学习了角平分线的两个性质，它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等． 2.讲授新课 1．动脑筋：如图，已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF的中点，需添加一个什么条件，就可以使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线？ 解：可以添加条件MN=ME(或MN=MF) 证明：∵ME⊥CD，MN⊥CA，MN=ME， ∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线. 例2：如图，△ABC的外角平分线AP上有一点P，且PE⊥BE，PD⊥AC，E、D分别为垂足，则EB+PD=PB吗？说明理由. 解：∵ AP是∠DAC的平分线，且PE⊥DB，PF⊥AC，∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， ∴ BE+PF>PB. 2．动脑筋：如图，你能从△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图. 由此我们可以得出三角形的内心（三角形三条角平分线的交点）性质定理： 三角形的三条角平分线的交点到三角形的三边距离相等. 3.课堂练习 1．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB=18cm，BC=12cm，DE=2.4cm，求△ABC的面积． 解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF， ∴DE=DF. ∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=BC·DF+AB·DE =(BC+AB)·DE=×30×2.4=36(cm2)． 方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和 2．如图，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明． 解：∠BPF＝∠CPF，理由如下： 过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，如图， ∵∠DAB=∠EAC， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE. 在△BAE和△DAC中， ∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE=DC，S△BAE=S△DAC. ∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴BE·AN=DC·AM， ∴AN=AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA=∠APE， 又∵∠DPA=∠CPF，∠EPA=∠BPF， ∴∠BPF=∠CPF. 方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定． 4．如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)． 解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×=0.015(m)=1.5(cm)． 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置． 方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决． 4.课堂小结 角平分线性质的应用 (1)利用角平分线的性质比较线段的大小关系 (2)角平分线性质的综合应用 5.板书设计 角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 教学设计 反思 在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$