1.4 第1课时 角平分线的性质和判定-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第1章 1.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1．让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理，探究并理解角平分线的性质. 2．灵活运用角平分线的性质解决有关问题． 二、过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.  三、情感、态度与价值观  激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力. 教学重点、 难点 教学重点：领会角平分线的两个互逆定理. 教学难点：角平分线两个互逆定理的实际应用. 教学准备 多媒体课件、三角尺、剪刀、纸 教学过程 1.情境导入 1．复习：(1)角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.(2)点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 2．操作及思考：拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成相等的两个角．角的平分线有什么性质呢？这节课我们来研究角平分线的性质？ 2.讲授新课 1．探究：如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗? 解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO，∴PD=PE. 2．归纳：于是我们得角的平分线的性质： 角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 3．逆向思考：到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 如图，P是∠AOB内部任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?(提示：运用三角形全等的判定公理的推论来证明) 解：如图，过点O，P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO(HL），∴∠AOC=∠BOC. ∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 通过证明得出OC为∠AOB的平分线，于是我们得出了角平分线性质定理的逆定理. 4．归纳： 角平分线角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 例1：如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证： (1)点B在∠ADC的平分线上； (2)BD是∠ABC的平分线. 证明：(1)在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC， 又∵BA⊥AD，BC⊥CD， ∴点B在∠ADC的平分线上. (2)在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD， ∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线. 5．应用 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=DC，求证：BE=CF. (提示：证明线段相等的常见方法有：1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等. 2.(同一三角形中)等角对等边. 3.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等.) 证明：∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF，∠BED=∠DFC=90°， 又∵BD=DC，∴△BED≌△DFC(HL)，∴BE=CF. 3.课堂练习 1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是 4cm . 2．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点D是△ABC三个内角平分线的交点，则点D到AB的距离是 1 . 3．如图，已知点C在∠A的内部，B、D分别是∠A两边上的点，且AB=AD，CB=CD，CE⊥AB边于点E，CF⊥AD于点F，求证：CE=CF. 证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD. 又∵ CE⊥AB，CF⊥AD，∴ CE=CF. 4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论. 解：垂直．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 又∵ AD=AD，∴ Rt△AED≌Rt△AFD(HL)， ∴ AE=AF. 在△AEG和△AFG中， ∴△AEG≌△AFG，∴∠AGE=∠AGF=90°， ∴AD⊥EF. 4.课堂小结 1．角平分线的性质 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 解题策略：角平分线与等积法—三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等，如已知大三角形的面积及三边长，可以利用大三角形的面积等于三个小三角形的面积和，求出这个距离. 2．角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 解题策略：应用角平分线作图解决实际问题：尺规作图题中，只要涉及两边距离相等时，由角平分线的性质定理的逆定理可知需作这两条直线夹角的角平分线. 5.板书设计 角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 教学设计 反思 在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$