1.2 第2课时 勾股定理的应用-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第1章 1.2 直角三角形的性质和判定（II） 第2课时 勾股定理的应用 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1．会用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值． 2．经历“问题——数学建模——问题解决”的过程，培养分析，解决问题的能力． 二、过程与方法 1．放手学生从多角度地了解勾股定理. 2．增强学生的动手能力.  三、情感、态度与价值观  1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值. 2.尽可能的给学生提供机会展示他们查阅有关的勾股定理，进行交流，并在与他人交流的过程中敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验. 教学重点、 难点 教学重点：应用勾股定理有关知识解决有关问题. 教学难点：灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 1.勾股定理的内容是什么？ 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 2.如下左图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 把侧面展开（如右图），沿展开图AB路线走最近. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一. 勾股定理应用非常广泛，这节课我们来学习这个定理的应用. 2.讲授新课 探究1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么？ 全班分组合作探究： 解：在Rt△ABC中，AC==≈2.236. ∵ AC大于木板的宽，∴薄木板能从门框通过. 学生进行练习： 1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ∠B=90°. ①已知a=20，b=29，求c； ②已知a=5，c=12，求b. （请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2=c2，要根据本质来看问题） 解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B=90°， ∴c====21. (2)在Rt△ABC中，∵∠B=90°， ∴b===13. 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 解：①当6cm和8cm分别为两直角边时， 斜边==10，∴周长为6+8+10＝24(cm). ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时， 另一直角边==(cm)， 周长为6+8+=14+(cm). 探究2：如图，一架2.5米梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米? 解：由题意有∠AOB=90°， 在Rt△ABO中，AO==2.4(米)， 又∵下滑了0.4米，∴OC=2.0米. 在Rt△ODC中，∴OD==1.5(米)， ∴ 外移BD=0.8米. 答：梯足将外移0.8米. 例2：来看一道古代名题——“引葭赴岸”问题 现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求水深与芦苇的长各有多少尺？ 解：由题意有DE=5尺，DF=FE+1. 设EF=x尺，则DF=(x+1)尺， 由勾股定理有x2+52=(x+1)2， 解得x=12. 答：水深12尺，芦苇长13尺. 练习：如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 解：由题意有BC=12米，AC=16-11=5(米). 在Rt△ABC中，AB===13(米). 答：小鸟至少要飞13米. 3.课堂练习 1.如图，铁路和公路PQ在点O处交汇，∠QON= 30°.公路PQ上A处距O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿O方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为________. 解析：如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米. ∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米. 当火车到B点时对处产生噪音影响，此时AB=200米. ∵AB=200米，AC=120米， 由勾股定理得BC=160米，CD=160米，即BD=320米. ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是320÷20=16（秒）. 方法总结：作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键． 2.由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以10km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间． 解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题意得∠ABC=90°-60°=30°，∴AC=AB=×300=150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，则AD=200km.由勾股定理得CD==＝50(km)，∴受影响的距离为2CD=100km，受影响的时间位100÷10=10(h)． 方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键． 3.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是(　) A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 解析：设AM=x，连接BM，MB′， 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2， 在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2， ∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2， 即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2.故选B. 方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答． 4.如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？ 解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM==5，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM==25(cm)． ∵5＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM==5(cm).∵5＞25，∴最短距离为25cm. 答：需要爬行的最短距离是25cm. 方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可． 4.课堂小结 1．勾股定理的实际应用 步骤：1.画出图形.2.明确已知量和未知量之间的关系.3.适当的设元，将几何问题转化为代数问题求解. 解题策略：对于非直角三角形问题，可通过作垂线构造直角三角形求解. 2．直角三角形应用的几种常见类型 5.板书设计 1．勾股定理在实际生活中的应用 2．勾股定理在几何图形中的应用 教学设计 反思 就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2+b2=c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$