1.2 第1课时 勾股定理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第1章 1.2 直角三角形的性质和判定（II） 第1课时 勾股定理 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1．让学生体验勾股定理的探索过程； 2．掌握勾股定理； 3．学会用勾股定理解决简单的几何问题． 二、过程与方法  经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.  三、情感、态度与价值观  了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信. 教学重点、 难点 教学重点：勾股定理的证明及简单应用. 教学难点：勾股定理的证明. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 1．2002年国际数学家大会于8月20日～28日在我国北京召开，这是全球数学界水平最高的盛会．本届国际数学大会（ICM-2002）的会标图徽如下左图所示，取材于我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．你知道会标的含义吗？ 2．如上右图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？ 2.讲授新课 1．做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理. (1)让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a b c a2+b2 c2 3 4 5 25 25 6 8 10 100 100 5 12 13 169 169 2．议一议 I．你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图形交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. 这就是著名的勾股定理.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c，那么. 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来. II．分别以9cm和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？ III．想一想 已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a，b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置. 教师提出3个问题： (1)中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用a，b表示） 解：边长b-a；面积(b-a)2. (2)大正方形的面积可以看成哪几个图形面积之和？ 解：大正方形的面积可以看成中间小正方形和周围4个全等直角三角形的面积之和. (3)据(2)可以写出怎样一个关系式？ 解：(b-a)2+4×ba=c2，整理得a2+b2=c2. 化简后便验证了勾股定理. 可以启发学生利用课余时间尝试或查阅其他的验证方法. 4．用一用 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.通过例题的讲练使学生体验勾股定理应用的普遍性和广泛性. 练习1：已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a， AC=b. (1)如果a=1，b=2，求c； (2)如果a=15，c=17，求b. 让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述. 解：(1)在△ABC中，∵∠C=90°， ∴c===. (2)在△ABC中，∵∠C=90°， ∴b===8. 例1：如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC= 13cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ 解：在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC， ∴BD=BC=5. 在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2， ∴AD===12， 故AD的长为12cm. 3.课堂练习 探索与研究： 方法1：如图.对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE =90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程； 方法2：如图.任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？ 解：方法1：S正方形ACFD=S四边形ABFE=S△BAE+S△BFE，即b2=c2+(b+a)(b-a)，整理得2b2=c2+b2-a2，∴a2+b2=c2； 方法2：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，S四边形ABCD=S△ABD+ S△BCD，即S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD，即b2+ab=c2+ a(b-a)，整理得b2+ab=c2+a(b-a)，b2+ab=c2+ab-a2，∴a2+b2=c2. 方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理． 4.课堂小结 勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．即a2+b2=c2. 解题策略： 1．已知直角三角形两直角边a，b的长，求斜边c上的高h：先根据勾股定理求出斜边长c，再利用面积法得ab=ch，所以h=. 2．勾股图中的面积关系；如图，以直角三角形的三边为基础，向外作正方形、半圆、等腰直角三角形和等边三角形，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2. 易错提醒：运用勾股定理崇求长度时，若直角边、斜边不明确，需分类讨论，再运用勾股定理求第三条边. 5.板书设计 1．勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 2．勾股定理的应用 3．勾股定理与图形的面积 教学设计反思 课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点. 学科网（北京）股份有限公司 $$