安徽省桐城市第二中学2024-2025学年九年级上学期五科总分赛数学试卷

安徽省桐城市第二中学2024-2025学年九上五科总分赛数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置图，图中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为当时，(    ) A. B. C. D. 2.在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.如图，斜边的两端恰好在抛物线上，点在轴上，且若，两点的横坐标分别为，，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在边长为的正方形中，点是边上的一点，点是点关于直线对称的点，连接、，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在等腰中，，，，点在第四象限，与轴交于点，轴恰好平分，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.是边长为的等边三角形，其中点为高上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，则周长的最小值是(    )  A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共40分。 7.若关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的非负整数的值为______． 8.已知，，，那么的值等于______． 9.已知函数，点在该函数的图象上，若这样的点恰好有三个，则的值为          ． 10.某公司生产一种饮料是由，两种原料液按一定比例配成，其中原料液的原成本价为元千克，原料液的原成本价为元千克，按原售价销售可以获得的利润率，由于物价上涨，现在原料液每千克上涨，原料液每千克上涨，配制后的饮料成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现在饮料成本的做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高______元千克． 11.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是          ． 12.如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则___________________． 13.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点若的面积为，则的值为_____． 14.如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为          ． 三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.12分如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．求证： 是的外接圆的切线； ． 16.分我们知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． 4分【问题】方程的解是，          ，          ； 4分【拓展】用“转化”思想解方程：； 8分【应用】如上图，已知矩形草坪的宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，且，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点求的长． 17.分【提出问题】正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ 【探索发现】 为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形正三角形入手 如图，是正三角形，边长是，是内任意一点，到各边距离分别为、、，确定的值与的边及内角的关系． 解：设的面积为，显然 设的中心正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心为，连接、、，它们将分成三个全等的等腰三角形，过点作，垂足为，易知 ， 所以 那么，所以 6分如图，五边形是正五边形，边长是，是正五边形内任意一点，到五边形各边距离分别为、、、、，参照的探索过程，确定的值与正五边形的边及内角的关系． 类比上述探索过程： 3分正六边形边长为内任意一点到各边距离之和_________； 3分正八边形边长为内任意一点到各边距离之和_________； 4分【问题解决】正边形边长为内任意一点到各边距离之和_________． 18.1分如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点不与点重合，过点作于点． 4分当点是中点时，求的面积； 4分连接，若平分，求此时点的坐标； 平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围； 平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标． 19.分 在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，若抛物线与轴交于、两点， 4分求抛物线对应的函数表达式； 6分如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、，连接、求证：平分； 8分当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点若的最大值为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ， ， ，， ， ． 故选：． 利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由，，列出方程求得便可． 本题考查了列代数式，正确表示出阴影部分面积是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：， ， 的值为，， ， 故选：． 根据题中的新定义将已知等式左边化简，再利用多项式相等的条件即可确定出的值． 此题考查了规律探索，整式的加减法，正确掌握整式的运算法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 依据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，于是可得，，再根据，得出得出，，然后根据列出、的关系式即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 在中，，， ， ， ， ，， 点、的横坐标分别为、，且， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：过点作于点，并延长交于点， ， ， ， ， ， 设，则， ， 点是点关于直线对称的点， ，， ， ≌， ， ， ， 舍，， ，， ， ， ， ，即， ， ． 故选：． 过点作于点，并延长交于点，设，则，则，由对称的性质得出，，证明≌，得，由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义可得出答案． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 如图，作轴于，轴交的延长线于由≌，推出，由≌，推出，推出，由此即可解决问题． 【解答】 解：如图，作轴于，轴交的延长线于． ，， ， 平分， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点在第四象限， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题；证明≌，得，可知点在外，边下方，使的射线上，根据轴对称最短路径问题求得的最小值便可求得本题结果． 【解答】 解：是等边三角形， ，， ， ， ， ≌， ， 是等边三角形，是高， ，， 过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，， 则，， ， 为等边三角形， ， 垂直平分， ，， ， ， 当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：， 的周长的最小值为． 故选：． 7.【答案】或  【解析】解：， ， ， ， ， 满足条件的非负整数的值为、、， 时，解得，符合题意； 时，解得，不符合题意； 时，解得，符合题意． 满足条件的非负整数的值为或． 故答案为：或． 首先解分式方程，然后根据方程的解为非负数，可得，据此求出满足条件的非负整数的值为多少即可． 此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解． 8.【答案】  【解析】解：，，， ． 故答案为：． 对提公因式，进而进行因式分解，再将、、的值代入即可． 本题是因式分解的应用，解题的关键是会对所求代数式进行变形． 9.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，把界点值代入函数解析式计算即可，难点在于点只在第二个函数图象上，不在第一个函数图象上分别求出当时的函数值，然后根据两函数图象都开口向上确定值即可． 【解答】 解： 作出示意图如图所示． 点恒在直线上． 函数图象中，当时，． 当动直线过点或与曲线相切时，满足条件的点恰好有三个． 若动直线过点，则 动直线与曲线相切，则 ， 解得：另一解不满足题意，舍去． 综上所述：的值为或． 故答案为：或 10.【答案】  【解析】解：设配制比例为：，由题意得： ， 解得， 则原来每千克成本为：元， 原来每千克售价为：元， 此时每千克成本为：元， 此时每千克售价为：元， 则此时售价与原售价之差为：元． 故答案为：． 设配制比例为：，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 11.【答案】  【解析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ，， 由得，， 代入得， 解得：， ， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】设，，求出小正方形的边长，可得结论． 【解答】解：设，， 则， ，， ， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，三角形中位线的性质，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键过点，分别作轴于，轴于，先证是的中位线，从而得，设，则，然后求出点，点，进而得，则，再求出点，根据的面积为得，则，将代入得，由此根据可得出的值． 【解答】 解：过点，分别作轴于，轴于，如图所示： ， ， 是的中位线， ， 设，则， 对于，当时，，当时，， 点，点， 点，在反比例函数的图象上， ， ， 对于，当时，， 点的坐标为， ， 的面积为， ， 即， ， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可。 【详解】解：连接，如下图：    ， ， 又点为的中点， ， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ，， 又， ， 扫过的部分的面积就是， 故答案为： 15.【答案】解：， ， ． 同理，． 故点是的外心． 连接，， 是的中点，且， ，即． 是外接圆的切线． 由可得： 的中点是的内心， ， 又， ∽， ， 同理可得： ．  【解析】根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得是的外心，然后证得，即可证得是的外接圆的切线； 根据可以得到，，即可证得． 本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得是的外心是关键． 16.【答案】解：，； ， 方程的两边平方，得， 即， ，， 当时，， 不是原方程的解，  的解是； 四边形是矩形， ，， 设，则，， ， 两边平方得，  解得：，  经检验，是方程的解． ， 答：长为．  17.【答案】解：设正五边形的面积为，显然 设正五边形的中心为，连接、、、、，它们将正五边形分成五个全等的等腰三角形，过点作，垂足为， 易知， 所以 那么， 所以； ， ， 【问题解决】．  【解析】【分析】 本题主要考查的是正多边形和圆；解直角三角形，图形的变化类的有关知识． 设正五边形的边长是，面积为，得到，为正五边形的中心，连接、、、、，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点作，垂足为，中表示出、、后即可表示出的值． 利用上题总结的规律表示出其他的正多边形即可． 【解答】 解：见答案； 正六边形边长为内任意一点到各边距离之和； 故答案为； 正八边形边长为内任意一点到各边距离之和， 故答案为； 【问题解决】 正边形边长为内任意一点到各边距离之和． 故答案为． 18.【答案】解：如图，连接， 直线交轴于点，交轴于点， 点，点， ，， ， 点是中点， ， ， ， ， ； 如图，连接， 平分， ， 又，， ≌， ，， ， ， ， ， ； 过点作轴于点． 由得，，， ， ， ， ， 的取值范围； 设点，过点作轴于点， 则， 同理可得：，， 当时，即，解得或舍去； 当时，同理可得； 当时，同理可得或， 故点的坐标为或或或．  【解析】连接，先求出点，点，可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解； 由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的值，即可求点坐标； 由得，若平分，，由面积法可的长，由勾股定理可求的长，即可得的取值范围； 分、、三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可． 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 19.【答案】解：抛物线与轴交于、两点， 分别将，代入中， 得， 解得， 抛物线对应的函数表达式为． 证明：连接，如图， ， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 解：设，则，， 当时，， 过直线上一点作轴的平行线， 令， 解得，． ， ， 点在的上方，如图， 设，则， 其对称轴为，且， 当时，即， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得或舍去， 当时，得， 由图可知， 当时，取得最大值， 解得舍去， 综上所述，的值为．  【解析】利用待定系数法求解即可； 连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； 设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$