19.2.2 第2课时 一次函数的图象和性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

19.2.2 一次函数 第2课时 一次函数的图象和性质 课题 一次函数的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第89-90页的内容 教学目标 1.会画一次函数的图象；能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系． 2.能根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)，理解k>0和k<0时图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性． 3.通过函数图象、类比正比例函数性质概括一次函数性质的活动，体会数形结合的思想，发展几何直观． 教学重难点 教学重点：一次函数的图象和性质. 教学难点：由一次函数图象归纳出一次函数的性质. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，导入新课 【问题1】前面我们初步学习了一次函数，你能写出两个具体的一次函数解析式吗?什么叫一次函数? 师生活动:学生随便写出两个一次函数解析式，如y=2x-3，y=-3x＋1等. 【问题2】前面我们还学习了正比例函数，能说说正比例函数y=kx的性质吗?是怎样获得这些性质的? 师生活动:教师引导学生说出正比例函数的性质及其研究步骤：画图象→观察图象→解释变量(坐标)意义. 【问题3】针对函数y=kx+b，大家想研究什么?应该怎样研究? 师生活动:教师引导学生自然合理地提出要研究的问题——研究函数的增减性，研究步骤:画图象→观察图象→解释变量(坐标)意义. 2.合作交流，探究性质 【问题4】让我们从一次函数y=2x-3的性质开始研究，首先要画出一次函数y=2x-3的图象，那么怎样画出图象呢? 师生活动:在学生说出画图象的步骤(列表、描点、连线)后，学生独立画出图象. 教师追问1:看一看，画出的图象是什么? 教师追问2:为什么说画出的图象是一条直线?你能说明理由吗? 师生活动:类比正比例函数y=2x的图象，直观发现函数y=2x-3的图象是平行于直线y=2x的一条直线.再比较一次函数y=2x-3与y=2x的解析式，发现当x分别取-2，-1，0，1，2，…时，一次函数y=2x-3的函数值都比正比例函数y=2x的函数值对应小3，这个规律对自变量的任何取值都成立.这反映在图象上是将直线y=2x向下平移3个单位长度就得到函数y=2x-3的图象，因此，函数y=2x-3的图象确实是一条直线. 教师追问3：对于一般的一次函数y=kx+b(k≠0)，它的图象的形状是什么? 师生活动:引导学生比较解析式y=kx+b(k≠0)和y=kx(k≠0)，把函数值之间的关系通过坐标转化为图象的平移关系，从而由函数y=kx(k≠0)的图象是直线得到函数y=kx+b(k≠0)的图象也是直线. 教师追问4：在几何中怎样确定一条直线？由此，你能得到画一次函数图象的简便方法吗？ 师生共同总结:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，画一次函数图象可以用“两点法”. 【问题5】学习正比例函数时，我们通过画k的符号不同的若干具体函数图象，观察发现了函数增减性与系数k的符号之间的关系，在一次函数中我们能否也这么办?试一试! 师生活动:教师引导学生类比正比例函数性质的研究，提出一次函数性质的研究目标(增减性与k的符号的关系)和研究方法，然后教师布置任务:用简便方法分别在同一坐标系中画出下列一次函数的图象:(1)y=x+1，y=3x+1;(2)y=-x+1，y=-3x+1. 教师追问1:结合对上面函数图象的观察，你能用自己的语言说出一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的特征吗? 教师追问2:你能进一步说出一次函数y=kx+b(k≠0)中的函数值是怎样随着自变量x的变化而变化的吗? 师生活动:在学生得到结论后，教师用动画展示(当k>0且固定时，让x变化，看y怎样变化;当k<0且固定时，让x变化，看y怎样变化)这种变化规律，在此基础上，通过让k的值从正变到负，引导学生观察发现，当k的正负号不变时，函数的增减性是一致的;当k的正负号变化时，函数的增减性也随之变化，固定k的值，让b的值变化，发现函数的增减性不变，从而在直观上验证一次函数的增减性只与k的正负有关. 总结：归纳出一次函数图象的特点： （1）在一次函数y=kx+b(k≠0)中， 当k>0时，y随x的增大而增大，当b>0时，直线必过第一、二、三象限;当b<0时，直线必过第一、三、四象限. 当k<0时，y随x的增大而减小，当b>0时，直线必过第一、二、四象限;当b<0时，直线必过第二、三、四象限. （2）当k>0时，k的值越大，直线与x轴所夹的锐角越大. （3）同一平面内，有两条不重合的直线l1:y1=k1x+b1(k1≠0)与l2:y2=k2x+b2(k2≠0)，当k1=k2时，l1∥l2;当k1≠k2时，l1与l2相交. 3.学以致用，应用新知 考点1 一次函数的图象 【例1】 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象． 解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值如下： x … －1 0 1 … y＝－6x … 6 0 －6 … y＝－6x＋5 … 11 5 －1 … 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象如图所示． 师生活动：教师提示，可用“两点法”画. 考点2 一次函数的性质 【例2】直线y=2x-3与x轴的交点坐标为　(1.5,0)　;与y轴的交点坐标为　(0,-3)　;它经过第　一、三、四　象限,y随x的增大而　增大　.  【例3】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 解：(1)把(0，0)代入y＝(2m＋1)x＋m－3，得m＝3. (2)由题意，得2m＋1＝3，解得m＝1. (3)由题意，得2m＋1＜0，解得m＜－. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列函数图象中，表示直线 y=2x+1的是 （ ） 答案：B （2）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( ) A.y＝2x＋8 B．y＝3x－2 C.y＝－2－4x D．y＝4x 答案：C （3）已知直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第三象限，则k，b的取值范围是( ) A.k＞0，b≥0 B．k＞0，b≤0 C.k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0 答案：C （4）对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论正确的是( ) A.函数值随自变量的增大而增大 B.函数的图象经过第三象限 C.函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象 D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4) 答案：C （5）在一次函数 y=-2x+5 图象上有（2，y1）和（1， y2）两点，则y1________y2 （填“>”“<”或“=”）. 答案：< （6）画出函数y＝2x-6的图象，结合图象回答问题： ①随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？ ②函数图象经过哪几个象限？ ③写出函数图象与y轴的交点坐标． 解：函数y＝2x-6的图象如图： ①随着自变量x的增大，函数值y增大，图象从左向右上升． ②函数图象经过第一、三、四象限． ③(0，-6). 5.课堂小结，自我完善 (1)一次函数的图象是过点(0，b)，(－，0)的直线，当k>0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当k<0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小． (2)根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过哪些象限． 6.布置作业 教材P99习题19.2第4，5，10，12题． 先让学生写几个一次函数解析式，既是为了帮助学生回顾一次函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数. 通过回顾和类比正比例函数的性质及其研究过程，引导学生自然合理地提出一次函数的研究任务和研究方法. 根据画函数图象的步骤，引导学生先用描点法画出一次函数的图象.类比正比例函数y=2x，分析y=2x-3的图象与y=2x的图象之间的联系. 把研究一次函数y=2x-3图象形状得到的结论推广到一般的一次函数. 结合“两点确定一条直线”，引导学生发现“两点法”画一次函数图象. 通过类比正比例函数的性质的研究方法,引导学生先画出若干个一次函数的图象,同时巩固两点法画一次函数图象. 为了让学生更深刻地理解函数增减性与系数k的关系，采用几何画板软件制作动画，让学生通过动态的视觉感知和语言表征，进一步理解系数k对一次函数y=kx+b的增减性的影响. 通过例题及时巩固巩固一次函数的图象和性质. 充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展． 通过随堂练习，巩固课堂所学内容，检测学习效果. 帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 一次函数的概念 1．一次函数的图象 2．一次函数的性质 3．一次函数图象的平移规律 例题 练习 教学反思 本节课设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状，二是两点法画一次函数的图象，三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果． 学科网（北京）股份有限公司 $$