18.2.1 第1课时 矩形的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 课题 矩形的性质 课型 新授课 教学内容 教材第52-53页的内容 教学目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系． 2.探索并能证明矩形的性质，会用矩形的性质进行有关证明与计算． 3.理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论，会应用这一结论解决简单的问题. 教学重难点 教学重点：掌握矩形的性质． 教学难点：利用矩形的性质进行证明和计算． 教 学 过 程 备 注 1.提出问题，引入新课 对一类几何图形的研究，我们常常按照从一般到特殊的思路进行.比如，研究了一般三角形后，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形.对于平行四边形我们也延续这样的思路进行研究. 【问题1】把平行四边形的一个内角特殊化——变为90°，会有什么样的特殊图形产生呢?你能给这种图形下一个定义吗?生活中存在这种图形吗? 师生活动:教师展示教具，对平行四边形活动框架进行动态演示.让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程，得出矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 教师追问:矩形在实际生活中大量存在和应用，这是因为此类图形有一些特殊的性质，你认为矩形有哪些性质?我们如何研究矩形的性质? 2.探究性质，深化认知 【问题2】如图，作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质.此外，矩形还有一般平行四边形不具有的特殊性质吗? 教师追问1：对于矩形，我们仍然从边、角和对角线等方面进行研究. （1）矩形的边是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （2）矩形的角是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? （3）矩形的对角线是否有不同于一般平行四边形的特殊性质? 师生活动:在已有活动教具的基础上，将对角线用橡皮筋连接，通过动态观察，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系.并在矩形形状时停留，引导学生类比平行四边形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思考、讨论、交流，得出初步猜想并归纳整理成文字表述. 猜想1:矩形的四个角都是直角;猜想2:矩形的对角线相等. 教师追问2：你能证明这些猜想吗? 师生活动:性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可. 证明矩形的对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等，利用轴对称构造等腰三角形三线合一进行证明，等等.充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程.对于利用勾股定理与构造图形转化的证明思路由学生口述完成即可. 已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC＝BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°. ∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD. 教师追问3：矩形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 师生活动:引导学生通过对折实验把矩形性质归结为轴对称的有关性质:对应角相等(四个角都是直角)，对应线段相等(对角线相等). 【问题3】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有怎样的数量关系？为什么有这样的数量关系？ 师生活动:学生分小组讨论，根据平行四边形的性质“对角线互相平分”，及矩形的性质“对角线相等”得出AO＝CO＝BD，DO＝BO＝AC. OC为Rt△BCD的中线，从而得打结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教师追问:如图，三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样的队形对每个人公平吗?请说明理由. 师生活动:学生积极发言，教师适时点拨. 3.学以致用，应用新知 考点1 矩形性质的应用 【例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB. 又∵∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 【例2】两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2= ( ) A.α-90°　　B.α-45° 　C.180°-α 　D.270°-α 答案：C 考点2 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，求CD的长.  答案：8 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定正确的是 (　　) A.∠ABC=90°　 B.AC=BD　 C.OA=OB　 D.OA=AD 答案：D （2）在直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是( ) A.6 B．4 C．8 D．12 答案：A （3）在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为(　　) A．1cm　　B．2cm　　C．2.5cm　　D．4cm 答案：D （4）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD的度数为( ) A.60° B．62.5° C．65° D．67.5° 答案：B （5）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(　　) A. B. C. D. 答案：B （6）如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF＝AB. 证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE， ∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB. 又∠DAF=∠AEB，AD=EA，∴△AFD≌△EBA(AAS). ∴DF＝AB. 5.课堂小结，自我完善 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）矩形性质归纳 边的性质：对边平行且相等. 角的性质：四个角都是直角. 对角线的性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是轴对称图形. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （4）矩形中的相关计算或证明问题通常转化到直角三角形或等腰三角形中，需要综合应用三角形和四边形的知识. 6.布置作业 教材P53练习第1，2，3题； 教材P61习题18.2第9题. 借助实物的动态变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变，体会矩形是平行四边形角特殊化后的产物，自然引出矩形的概念. 调动已有学习经验，结合教具进行演示，使学生在动态中感知，在静态中思考，类比经验探究矩形的特殊性质. 引导学生证明猜想，得到定理，再次体会几何研究的“观察—猜想—证明”过程. 引导学生用轴对称观点探究矩形的性质. 理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质. 应用刚得到的结论解释其中的数学道理，巩固新知，体会定理的应用价值. 设置例题帮助学生掌握矩形的性质，并会运用矩形的性质来解决问题． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法.课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 矩形的性质 1.矩形的定义： 2.矩形的性质： 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半： 例题 练习 教学反思 教学中让学生充分经历从实际生活中抽象数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，注重知识的渗透，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，教学思路清晰，详略安排得当，练习合理. 学科网（北京）股份有限公司 $$