17.1 第3课时 利用勾股定理作图、计算-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图、计算 课题 利用勾股定理作图、计算 课型 新授课 教学内容 教材第26-27页的内容 教学目标 1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步感受数轴上的点与实数的一一对应关系． 2.了解利用勾股定理证明HL定理． 3.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，进一步体会数形结合思想与转化思想． 教学重难点 教学重点：运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算． 教学难点：理解实数与数轴的一一对应关系，在较复杂的图形中利用勾股定理进行计算． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入新课 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，…的点吗？ 现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题. 2.发现探究，学习新知 【问题1】在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程，思考哪些元素相等. 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只能找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC=，B'C'=，容易得到BC=B'C'. 证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得BC=，B'C'=. 又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 【问题2】怎样在数轴上画出表示的点? 师生活动：教师帮助学生逐步分析. 教师追问1：你能画出长度为的线段吗?怎样画？呢?呢? 师生活动：教材第27页的图17.1-11，学生们独立动手画图，先按照图17.1-11的方法画出长为，，，，…的线段，按照同样的方法在数轴上画出表示的点. 教师追问2：继续思考有没有其他方法呢? 师生活动：教师帮助学生分析，将13写成两个正整数a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，则a=2，b=3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边. 教师追问3：在数轴上怎样作出这个三角形呢？ 师生活动：教师指导学生画出图形，并在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下: (1)如图17-1-67，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3; (2)过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2; (3)连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点. 总结:在数轴上表示无理数时，将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步，利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方，注意一般拆分的两条线段的长是正整数；第二步，以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步，以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点 【例1】在数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留画图痕迹). 解：如图所示，点A即为所求． 考点2 勾股定理与网格中的点 【例2】如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，A，B都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交最上方的网格线于点D，则ED的长为 . 答案： 考点3 勾股定理与图形的计算 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长． 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△BCD中，BD＝＝6. 设AC＝AB＝x，则AD＝x－6， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82， 解得x＝.∴AC＝. 考点4 利用勾股定理最短路径问题 【例4】如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm，宽是4 dm，高是3 dm. (1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 解：(1)连接BD，∵AD＝12 dm，AB＝4 dm， ∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160. ∴CD＝＝＝13(dm). ∵13 dm>12.5 dm，∴长为12.5 dm的铁棒能放进去． (2)如图1所示，CD＝＝(dm). 如图2所示，CD＝＝(dm). 如图3所示，CD＝＝(dm). ∵>>，∴爬行的最短路程是dm. 　　　　 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( ) A.＋1　B．－1　C．－＋1　D．－－1 答案：B （2）在数轴上作出表示- 的点. 解：∵＝ =，∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图： （3）在长方形纸片ABCD中，AD＝10 cm，AB＝4 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长． 　 答案：cm. （4）如图，有一个圆柱，高为15 cm，底面半径为cm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，求爬行的最短路程． 答案：17 cm. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.怎样数轴上表示一个无理数？ 6.布置作业 教材P27练习第2题； 教材P28习题17.1第6，9，11，12题. 利用目标明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣. 通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力． 通过观察感知，讨论分析，规范作图，一步紧扣一步，让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．教学中注意规范学生的作图语言和作图． 通过操作探究，培养学生的动手操作能力、抽象概括能力，进一步巩固新知. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 此题意在考查学生的数学建模能力及解决实际问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 利用勾股定理作图、计算 1.利用勾股定理证明HL定理 例题 2.在数轴上画出表示无理数的点 练习 教学反思 授课过程中应找到各个环节之间的衔接点，使之过渡自然流畅.在教学过程中，学生接触的新题型较多，大多有一定难度，应精选典型题目，同时有效发挥学生的主体作用，引导学生积极参与，达到较好的学习效果. 学科网（北京）股份有限公司 $$