17.1 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(人教版)

17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用 课题 勾股定理在实际生活中的应用 课型 新授课 教学内容 教材第25页的内容 教学目标 1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想． 2.会从实际问题中抽象出直角三角形模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去． 教学重难点 教学重点：运用勾股定理解决实际问题． 教学难点：勾股定理的灵活运用． 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】上节课我们学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么？ 【问题2】公式a2+b2=c2的变形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.则 (1)c＝；(2)a＝；(3)b＝． 师生活动:教师提出问题，学生抢答，教师补充、完善，指出在直角三角形中，已知两边，求第三边，可应用勾股定理求解. 2.思考探究，学习新知 【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 教师追问1：木板横着能否通过？ 教师追问2：木板竖着能否通过？ 教师追问3：在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？ 师生活动：教师引导学生从实际的角度去考虑，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过： (1)木板的宽是2.2 m，大于1 m，所以横着不能通过； (2)木板的宽是2.2 m，大于2 m，所以竖着不能通过； (3)AC＞BC＞AB. 小组讨论、交流、补充、展示.注意过程要书写规范： 解：连接AC， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. AC＝≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． 总结:木板进门问题的解决需要综合考虑木板的长、宽和门的长、宽、对角线. 【问题2】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 师生活动：引导学生分析，利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即求BD的长，而BD=OD-OB，从而需要根据勾股定理先计算OD，OB的长度. 解：可以看出，BD=OD-OB. 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， 所以OB==1. 在Rt△COD中，根据勾股定理， 得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15， 所以OD=≈1.77， 所以BD=OD-OB ≈1.77-1=0.77. 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m. 总结：梯子靠在竖直的墙上，构成直角三角形，当梯子移动的时候又构成另一个直角三角形，利用勾股定理可以直接求线段长度. 3.学以致用，应用新知 考点1 直接利用勾股定理求边长 【例1】如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是 ( ) A.8 m　　　　B.10 m　　　　C.16 m　　　　D.18 m 答案：C 【例2】长方体盒内长、宽、高分别为3 cm，2.4 cm和1.8 cm，盒内可放的棍子最长为　 　cm.  答案： 考点2 利用勾股定理建立方程解决实际问题 【例3】有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿长与门高. 解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺. 根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2， 即x2+16=x2+2x+1，解得x=7.5.x+1=8.5. 故门高为7.5尺，竹竿长为8.5尺. 4.随堂训练，巩固新知 （1）小刘将一架长2.5米的木梯斜靠在一面竖直的墙上，木梯的顶端与地面的距离为2.4米，则梯脚与墙脚的距离应为 ( ) A.0.7米 　　　B.0.8米 　　　C.0.9米 　　　D.1.0米 解析：由题意知，木梯、地面、墙刚好形成一个直角三角形，木梯为斜边，利用勾股定理求解即可.梯脚与墙脚的距离为=0.7(米).故选A. （2）如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是 . 答案： （3）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝ 米． 答案：1.5 （4）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)，如图.设门高AB为x尺.根据题意，可列方程为　 　.  答案：(x-6.8)2+x2=102 5.课堂小结，自我完善 运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，谈谈你的收获与体会. 6.布置作业 教材P26练习第1，2题； 教材P28-29习题17.1第4，5，10题. 通过提问，学生回忆并回答，为突破本节难点做准备. 让学生从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题． 在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难学生给予帮助. 通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，做到“堂堂清”. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 勾股定理在实际生活中的应用 1.木板进门问题： 例题 2.梯子问题： 练习 教学反思 在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述. 学科网（北京）股份有限公司 $$