预习专题11 平行四边形的性质和判定（3知识点+12考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题11 平行四边形的性质和判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平行四边形的概念 2.掌握平行四边形的性质定理和判定定理 3.理解平行四边形的判定定理与性质定理的区别与联系，能综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决有关计算或证明问题 4.了解两条平行线的距离 平行四边形的定义及表示方法 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 提示：平行四边形是特殊的四边形，它的基本特征是两组对边平行 2.平行四边形的表示 平行四边形用符号“”表示 如图所示的平行四边形 ABCD 记作“”,读作“平行四边形 ABCD” 特别提醒： (1)平行四边形的概念包含两层含义:①是四边形:2两组对边分别平行.故只有一组对边平行的四边形不是平行四边形， (2)平行四边形的概念可以看成是判定，也可以看成是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行. (3)用代表顶点的字母表示平行四边形时，一定要按顺序书写，可以按顺时针方向书写，也可以按逆时针方向书写 平行四边形的性质 1．平行四边形的性质 如图所示，在 中，对角线相交于点． 类别 性质定理 符号语言 得到的结论 边 基本性质:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别平行.简述为:平行四边形的对边平行 在中， （可以用＂等底同高＂来说明） 边 定理1:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等.简述为:平行四边形的对边相等 在中， AB＝CD, AD＝BC 角 定理2:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等.简述为：平行四边形的对角相等 在中， ∠ABC=∠ADC ∠BAD=∠BCD 对 角 线 定理3:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分.简述为:平行四边形的两条对角线互相平分 在 对 称 性 定理4:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 是中心对称图形,点O是对称中心 提示 (1)平行四边形是特殊的四边形,它具备四边形的所有性质，如平行四边形的内角和为 360°、外角和为 360°等 (2)由平行四边形的对边平行，可得平行四边形的邻角互补 2.两条平行线间的平行线段 夹在两条平行线间的平行线段相等，符号表示:如图所示,， ,则. 3.两条平行线的距离 (1)概念:两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线的距离 (2)性质:两条平行线之间的距离处处相等 (3)符号表示：如图所示，由，得． 平行四边形的判定方法 如图所示，在 中，对角线相交于点． 类别 判定方法 符号语言 边 定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 在四边形中， ∴四边形是平行四边形 定理1:如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 在四边形中， ∴四边形是平行四边形 定理2:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 在四边形中， ∵且（或且， ∴四边形是平行四边形 对 角 线 定理3:如果一个四边形的两条对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.简述为:对角线互相平分的四边形是平行四边形 在四边形中， ∵， ∴四边形是平行四边形 角 定理4:如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 在四边形 是平行四边形 注意(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形（3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形(4)平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆 利用平行四边形的性质求解 例1在平行四边形中，若，则 ． 审题关键：平行四边形对角相等． 【答案】30 【详解】解：在平行四边形中，若，则． 故答案为：30． 【变式1-1】如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点间的距离等于平移距离的性质，根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得，然后解答即可． 【详解】解：向右平移后能与重合， 、是对应点，、是对应点， ， ， ． 故答案为：5． 【变式1-2】在中，，则 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先由平行四边形的性质可得、，进一步得到，再根据即可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 利用平行四边形的性质证明 例1 如图，已知在中，，求证：． 审题关键：结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论； 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，根据平行四边形的性质，得到，得到，，根据，，推出，利用，即可得证． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 平行四边形性质的其他应用 例3 为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 审题关键：平行四边形的性质． 【答案】B 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【变式3-1】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 【变式3-2】下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：证明：选择方法一： 如图，连接，     四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在与中， ， ， ， 即平行四边形的对角相等． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行． 判断能否构成平行四边形 例4 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 审题关键：根据平行四边形的判定定理解答． 【答案】C 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式4-2】下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 添一个条件成为平行四边形 例5 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 审题关键：根据平行四边形的判定定理逐项分析判断． 【答案】B 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【变式5-2】如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选∶C． 数图形中平行四边形的个数 例6 如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 【变式6-1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【答案】5，图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：    故答案为：5． 【变式6-2】如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例7 在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据题意画出图形即可解决问题． 【详解】解：根据题意、、、画图如下： A、将点先向左平移1个单位，再向上平移6个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； B、将点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； C、由可得将点先向左平移1个单位，再向上平移7个单位后，不能使、、、围成的四边形是平行四边形，符合题意； D、将点先向左平移11个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查平行四边形的判定，线段的平移． 作出图形，结合图形分析即可解答． 【详解】在平面直角坐标系中， 如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，    此时，点C的坐标为； 如图，将线段向下平移2个单位长度，得到，    此时，点D的坐标为； 如图，将线段向上平移2个单位长度，得到，    此时，点E的坐标为． 综上所述，可以作为第四个顶点的是或，． 故选：ABD． 【变式7-2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 证明四边形是平行四边形 例8 如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式8-1】如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式8-2】如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明． 【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 全等三角形拼平行四边形问题 例9 用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断． 【详解】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的含角的直角三角形不能拼成菱形和正方形； 矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图： 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的拼接图形的特点．以及特殊四边形的性质． 【变式9-1】图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形画图． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了图形的拼接，以及平行四边形和特殊平行四边形的概念和性质，要灵活运用小三角形进行拼接，可以动手试一试． 【变式9-2】如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案． 【详解】解：让三个相等的边互相重合各得到一个平行四边形， 让斜边重合还可以得到一个一般的平面四边形， 那么能拼出互不全等的四边形的个数是4个． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键． 利用平行四边形的判定与性质求解 例10 如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【变式10-1】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为； 故选：D． 【变式10-2】如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及平行四边形的判定与性质．当运动时间为时，，，先得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 利用平行四边形性质和判定证明 例11 已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形性质和判定，结合平行四边形性质题意证明四边形为平行四边形，进而即可证明． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 与相交于点O， . 【变式11-1】如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） (1)求证：是等边三角形； (2)如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），过点C作轴，交于点D，根据题意可知，再根据勾股定理求出，然后求出，可得结论； 对于（2），作，可知四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】（1）如图所示，过点C作轴，交于点D， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （2）过点D作，交于点F，过点C作于点G，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵轴， ∴轴. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线将两条线段的差转化为一条线段是解题的关键． 平行四边形性质和判定的应用 例12 实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、作图—平移变换、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握用无刻度直尺作图． （1）按照题目要求找到点和点平移后对应的格点后相连即可求解； （2）根据题目要求，连接、后，利用平行四边形的性质找到平行四边形的对角线交点与点相连即可．． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接、后，连接点和、交点即可得到符合条件的直线： 根据平移的性质，且， 四边形是平行四边形， 则根据平行四边形的性质可得，过对角线交点的直线能够平分该平行四边形面积， 点和对角线交点所在直线即为符合条件的直线． 【变式12-1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【变式12-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段，点A、B、C均在小正方形的顶点上．    (1)将线段绕着点C逆时针旋转得到线段（点A、B的对应点分别为点E、D），请画出线段； (2)在（1）的条件下，连接，以为对角线作平行四边形，画出平行四边形，并直接写出平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图——旋转变换、平行四边形的判定： （1）逆时针旋转得到，同理得到，连接，即可求解； （2）连接，，取格点，连接，，进而可作平行四边形，利用割补法即可求得平行四边形的面积； 熟练掌握旋转的性质及平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：逆时针旋转得到，同理得到，连接， 如图所示，线段即为所求． （2）连接，，取格点，连接，， ，且， 四边形是平行四边形， 如图所示，四边形即为所求，   ． 【例1】在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为　　 A． B． C． D．或 【解答】解：如图1，，， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 的周长为； 如图2，，， ， 同理可得， 的周长为， 故选：． 【防错警示】 把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况． 【例2】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是　　 A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】 【解答】解：如图①，直线在直线，外时， 与之间的距离为，与之间的距离为， 与之间的距离为； 如图②，直线在直线，之间时， 与之间的距离为，与之间的距离为， 与之间的距离为． 综上所述，与之间的距离为或． 故选：． 【防错警示】 分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．本题考查平行线间的距离：分①直线在直线，外，②直线在直线，之间两种情况讨论求解． 一．选择题（共2小题） 1．（2024春•嘉定区期末）如图，点为平行四边形内任意一点，联结、、、，如果将、、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别设、、、的、、、边上的高为、、、，可分别表示出其面积，再结合平行四边形的性质判断即可． 【解答】解：分别设、、、的、、、边上的高为、、、，设四边形的边上的高为，边上的高为， 则，， ，，，， 四边形为平行四边形， ，，且， ，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形平行四边形，②两组对边分别相等的四边形平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形平行四边形，④两组对角分别相等的四边形平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形平行四边形． 2．（2024春•金山区期中）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，那么下列结论中一定成立的个数是　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【解答】解：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故此选项正确； ②延长，交延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， 故错误； ④设，则， ， ， ， ， ，故此选项正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键． 二．填空题（共14小题） 3．（2024春•闵行区期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】画出图形，把点向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到点，据此推导出的坐标． 【解答】解：如图， 、和，四边形是平行四边形， 把点向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到点， 把点向下平移4个单位，再向右平移3个单位得到点， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确利用坐标系得出是解题关键． 4．（2024春•金山区校级月考）如图，已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，如果交边于点，那么的周长为 　15　． 【答案】15． 【分析】由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， ， 的周长． 故答案为：15． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（2024春•静安区期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点，平分，交边于点，如果，，那么　4　． 【答案】4． 【分析】首先利用平行四边形的对边相互平行得到；然后由平行线的性质和角平分线的定义以及等角对等边推知：，；最后由线段间的和差关系求得线段的长度． 【解答】解：在平行四边形中，，，则，． 平分，平分， ，． ，． ，． 又，， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及平行线的性质等知识点．解题的关键是推知，． 6．（2024春•浦东新区月考）在平行四边形中，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7．（2024春•浦东新区期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，且，那么的长为　4　． 【答案】4． 【分析】直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出，的长，进而得出答案． 【解答】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点， ，， ， ， ， ， 设，， 则， 解得：， 则， 故． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，正确掌握平行四边形的性质得出的值是解题关键． 8．（2024春•徐汇区期末）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】根据平行四边形的对称性和点的坐标直接写出点的坐标即可． 【解答】解：平行四边形对角线的交点恰好与坐标原点重合， 点和点关于原点中心对称， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质的知识，解题的关键是了解平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，难度不大． 9．（2024春•崇明区期中）已知平行四边形的周长是，和交于，的周长比的周长小，则　6　． 【答案】6． 【分析】由的周长为，对角线，相交于，若的周长比的周长小，可得，，然后解此方程组，即可求得答案． 【解答】解：的周长为， ，， 的周长比的周长小， ， ，． 故答案为：6． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 10．（2024春•金山区期中）如图，在平行四边形中，于，于，，且，则平行四边形的周长等于 　12　． 【答案】12． 【分析】由于，于，，得的度数，在平行四边形中，证得与是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【解答】解：， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 同理：， 平行四边形的周长． 故答案为：12． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得与是等腰直角三角形是关键． 11．（2024春•杨浦区期中）已知平行四边形中，已知，则　108　度． 【答案】108． 【分析】根据平行四边形对边平行对角相等即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 设，， ， ， ， ， 故答案为：108． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12．（2024春•松江区期中）如图，已知的对角线、交于点，过点的线段与、分别交于点、，如果，，四边形的周长为12．则　　． 【答案】． 【分析】由平行四边形的性质可得，，，，由“”可证，可得，，即可求解． 【解答】解：四边形平行四边形， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长， ， ， 故答案为：． 【点评】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解． 13．（2024春•青浦区期中）如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 　8　． 【答案】8． 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 14．（2024春•徐汇区期中）如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么　　． 【分析】延长到点，根据平行四边形的性质可得出，结合，即可得出，再根据翻折的性质即可得出，从而得出，由、互补即可得出结论． 【解答】解：延长到点，如图所示． 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 将沿直线翻折后，点落在点处， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等的角是关键． 15．（2024春•松江区期中）在平行四边形中，两邻角的度数比是，那么较小角的度数为　　． 【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和，再有两邻角的度数比是，得出较小角的度数． 【解答】解：设两邻角分别为、， 则， 解得：， 较小的角为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为． 16．（2024春•嘉定区期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于　30　度． 【分析】要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于30度． 【解答】 解：平行四边形的面积为矩形的一半且同底， 平行四边形的高是矩形宽的一半． 在直角三角形中，， ． 故答案为：30． 【点评】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质．平行四边形的面积等于底乘高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平行四边形的性质和判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平行四边形的概念 2.掌握平行四边形的性质定理和判定定理 3.理解平行四边形的判定定理与性质定理的区别与联系，能综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决有关计算或证明问题 4.了解两条平行线的距离 平行四边形的定义及表示方法 1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 提示：平行四边形是特殊的四边形，它的基本特征是两组对边平行 2.平行四边形的表示 平行四边形用符号“”表示 如图所示的平行四边形 ABCD 记作“”,读作“平行四边形 ABCD” 特别提醒： (1)平行四边形的概念包含两层含义:①是四边形:2两组对边分别平行.故只有一组对边平行的四边形不是平行四边形， (2)平行四边形的概念可以看成是判定，也可以看成是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的两组对边分别平行. (3)用代表顶点的字母表示平行四边形时，一定要按顺序书写，可以按顺时针方向书写，也可以按逆时针方向书写 平行四边形的性质 1．平行四边形的性质 如图所示，在 中，对角线相交于点． 类别 性质定理 符号语言 得到的结论 边 基本性质:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别平行.简述为:平行四边形的对边平行 在中， （可以用＂等底同高＂来说明） 边 定理1:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等.简述为:平行四边形的对边相等 在中， AB＝CD, AD＝BC 角 定理2:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等.简述为：平行四边形的对角相等 在中， ∠ABC=∠ADC ∠BAD=∠BCD 对 角 线 定理3:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分.简述为:平行四边形的两条对角线互相平分 在 对 称 性 定理4:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 是中心对称图形,点O是对称中心 提示 (1)平行四边形是特殊的四边形,它具备四边形的所有性质，如平行四边形的内角和为 360°、外角和为 360°等 (2)由平行四边形的对边平行，可得平行四边形的邻角互补 2.两条平行线间的平行线段 夹在两条平行线间的平行线段相等，符号表示:如图所示,， ,则. 3.两条平行线的距离 (1)概念:两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线的距离 (2)性质:两条平行线之间的距离处处相等 (3)符号表示：如图所示，由，得． 平行四边形的判定方法 如图所示，在 中，对角线相交于点． 类别 判定方法 符号语言 边 定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 在四边形中， ∴四边形是平行四边形 定理1:如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 在四边形中， ∴四边形是平行四边形 定理2:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 在四边形中， ∵且（或且， ∴四边形是平行四边形 对 角 线 定理3:如果一个四边形的两条对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.简述为:对角线互相平分的四边形是平行四边形 在四边形中， ∵， ∴四边形是平行四边形 角 定理4:如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 在四边形 是平行四边形 注意(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形（3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形(4)平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆 利用平行四边形的性质求解 例1在平行四边形中，若，则 ． 审题关键：平行四边形对角相等． 【变式1-1】如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 【变式1-2】在中，，则 ． 利用平行四边形的性质证明 例1 如图，已知在中，，求证：． 审题关键：结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论； 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【变式2-2】如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 平行四边形性质的其他应用 例3 为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 审题关键：平行四边形的性质． 【变式3-1】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【变式3-2】下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 判断能否构成平行四边形 例4 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 审题关键：根据平行四边形的判定定理解答． 【变式4-1】如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【变式4-2】下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 添一个条件成为平行四边形 例5 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 审题关键：根据平行四边形的判定定理逐项分析判断． 【变式5-1】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 数图形中平行四边形的个数 例6 如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【变式6-1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【变式6-2】如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例7 在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 【变式7-1】如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    证明四边形是平行四边形 例8 如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式8-1】如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式8-2】如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 全等三角形拼平行四边形问题 例9 用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【变式9-1】图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【变式9-2】如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 利用平行四边形的判定与性质求解 例10 如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【变式10-1】如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 利用平行四边形性质和判定证明 例11 已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：． 【变式11-1】如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （备用图） (1)求证：是等边三角形； (2)如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． 平行四边形性质和判定的应用 例12 实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）； (2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹． 【变式12-1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【变式12-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段，点A、B、C均在小正方形的顶点上．    (1)将线段绕着点C逆时针旋转得到线段（点A、B的对应点分别为点E、D），请画出线段； (2)在（1）的条件下，连接，以为对角线作平行四边形，画出平行四边形，并直接写出平行四边形的面积． 【例1】在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为　　 A． B． C． D．或 【防错警示】 把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况． 【例2】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是　　 A． B． C．或 D．以上都不对 【防错警示】 分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．本题考查平行线间的距离：分①直线在直线，外，②直线在直线，之间两种情况讨论求解． 一．选择题（共2小题） 1．（2024春•嘉定区期末）如图，点为平行四边形内任意一点，联结、、、，如果将、、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•金山区期中）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，那么下列结论中一定成立的个数是　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共14小题） 3．（2024春•闵行区期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 　 　． 4．（2024春•金山区校级月考）如图，已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，如果交边于点，那么的周长为 　 　． 5．（2024春•静安区期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点，平分，交边于点，如果，，那么　 　． 6．（2024春•浦东新区月考）在平行四边形中，，则的度数为 　 　． 7．（2024春•浦东新区期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，且，那么的长为　 　． 8．（2024春•徐汇区期末）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点的坐标是 　 　． 9．（2024春•崇明区期中）已知平行四边形的周长是，和交于，的周长比的周长小，则　 　． 10．（2024春•金山区期中）如图，在平行四边形中，于，于，，且，则平行四边形的周长等于 　 　． 11．（2024春•杨浦区期中）已知平行四边形中，已知，则　 　度． 12．（2024春•松江区期中）如图，已知的对角线、交于点，过点的线段与、分别交于点、，如果，，四边形的周长为12．则　 　． 13．（2024春•青浦区期中）如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 　 　． 14．（2024春•徐汇区期中）如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么　 　． 15．（2024春•松江区期中）在平行四边形中，两邻角的度数比是，那么较小角的度数为　　． 16．（2024春•嘉定区期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于　 　度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$