专题16.11 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.11 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【题型1】根式变形法..........................................................1 【题型2】平方法..............................................................1 【题型3】分母有理化法........................................................2 【题型4】分子有理化法........................................................2 【题型5】作差比较法..........................................................3 【题型6】倒数法..............................................................3 【题型7】二次根式大小比较综合................................................3 【题型8】中考链接............................................................4 【题型9】拓展延伸............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】根式变形法 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）与． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【题型2】平方法 【例2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”、“=”或“<”）． 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型3】分母有理化法 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式1】（19-20八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式2】（16-17八年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则（  ） A． B． C． D．无法确定 【题型4】分子有理化法 【例4】（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（18-19八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（     ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【题型5】作差比较法 【例5】（20-21八年级上·福建漳州·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2015·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关 【题型6】倒数法 【例6】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【变式2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【题型7】二次根式大小比较综合 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 第三部分【链接中考与延伸拓展】 【题型8】中考链接 【例1】（2021·湖北恩施·中考真题）从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2021·湖南怀化·中考真题）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【题型9】拓展延伸 【例1】（20-21八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【例2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： （1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． （2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.11 二次根式大小比较的几种方法（6种方法9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【题型1】根式变形法..........................................................1 【题型2】平方法..............................................................3 【题型3】分母有理化法........................................................5 【题型4】分子有理化法........................................................6 【题型5】作差比较法..........................................................7 【题型6】倒数法..............................................................9 【题型7】二次根式大小比较综合...............................................10 【题型8】中考链接...........................................................10 【题型9】拓展延伸...........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】根式变形法 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）与． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可； （2）把各数变形后，比较二次根式被开方数的大小即可． 解：（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 【变式3】（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 解：且 即 故选：A． 【点拨】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 【题型2】平方法 【例2】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 解：（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）比较大小： （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的乘法运算，先比较，的平方，从而可得答案． 解：，，， ． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【变式3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型3】分母有理化法 【例3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【变式1】（19-20八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将，进行分母有理化，再比较即可． 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式2】（16-17八年级上·陕西西安·阶段练习）若，，则（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 解：∵; ∴a-b=; ∴a-b<0; ∴a<b; 故选C． 【题型4】分子有理化法 【例4】（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论． 解：= ∵＞＞ ∴＞＞ ∴ 故选A． 【点拨】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键． 【变式1】（18-19八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（     ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 解：∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点拨】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 【题型5】作差比较法 【例5】（20-21八年级上·福建漳州·阶段练习）比较与大小，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将两式相加，再判断结果的符号，从而得到结果． 解： = = ∵， ∴原式=＜0， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握作差法比较大小． 【变式1】（19-20八年级上·河北石家庄·期末）、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法，分别比较与，与的大小，即可得到答案. 解：∵（）-（）=3-2=3-=->0， ∴， ∵（）-（）=-=-=>0， ∴， ∴， 故选D. 【点拨】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键. 【变式2】（2015·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关 【答案】C 解：x-y=， ∵0＜a＜b， ∴＜4b ∴＜0， ∴x-y＜0． 故选C． 考点：二次根式的化简求值． 【题型6】倒数法 【例6】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 解： ， ∵， ∴． 故答案为： 【题型7】二次根式大小比较综合 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）比较大小： ①                 ② 【答案】 【分析】①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． 解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 第三部分【链接中考与延伸拓展】 【题型8】中考链接 【例1】（2021·湖北恩施·中考真题）从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解． 解：由题意得： ， ∴所有积中小于2的有两个； 故选C． 【点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． 【例2】（2021·湖南怀化·中考真题）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大． 解：， ∴， 故答案为：＞． 【点拨】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（20-21八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【答案】（1）＞；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案； （2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案； （3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可． 解：（1）∵， >， ， ， …， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） = =； （3）原式 ． 【点拨】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算． 【例2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： （1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． （2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【答案】（1）①；②；③；（2）见分析 【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果； ②根据二次根式的性质可得②的结果； ③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系. （2）选择其中任意一种解答即可. 解：（1）① 故答案为：    . ②， 故答案为：. ③∵ ∴ ∴ 故答案为：>． （2）选择①．推导思路如下： 由，且，得．    配方，得， ∴ 即   ∴   选择②．推导思路如下： 由，得， 则，即．     因为， 所以，即． 【点拨】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$