第08讲 直线和圆的位置关系 （7个知识点+10种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第08讲 直线和圆的位置关系 （7个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点7．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级下·全国·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． （）当半径为 时，直线与相切； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为 ． 6．（23-24九年级·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 8．（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ． 9．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 题型四、求直线平移到与圆相切时运动的距离 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 11．（24-25九年级·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 12．（九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 题型五、切线的应用 13．（2020·江苏南京·一模）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（    ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 14．（21-22九年级下·北京·开学考试）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ． 15．（2022九年级·全国·专题练习）如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题： （1）a＝ ． （2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2； （3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点． 题型六、有关切线的概念辨析 16．（23-24九年级·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 17．（九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 18．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 题型七、切线的性质定理 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 20．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 21．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 题型八、切线的性质和判定的综合应用 22．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 23．（2024·广东湛江·二模）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点，且满足，连接，则的最大值是 ．    24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值； (3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 题型九、三角形内心有关应用 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为 ． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十、三角形内切圆与外接圆综合 28．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，则这个三角形周长是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 29．（2021·江苏盐城·二模）如图，在中，，当半径为1的在内自由移动时，圆心在内所能到达的区域面积为6，则的外接圆面积为 ． 30．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 分层练习 一、单选题 1．已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3．如图，在中，．先作的平分线交边于点,再以点为圆心，长为半径作．则与的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 4．如图，是的切线，为切点，与交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　） A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线 D．若，则AC是⊙O的切线 6．如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．若，则△PAC是等边三角形 D．若△PAC是等边三角形，则 7．如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A． B． C． D． 8．如图，已知是的内切圆，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么____s后，⊙P与直线CD相切(  ) A．4 B．8 C．4或6 D．4或8 10．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线l相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当直线l与x轴所成锐角为，，且时，的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 度． 12．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 ． 13．已知的面积为，所在的平面内有一点，若，则点在 ；若，则点在 ；若 ，则点在上． 14．△ABC内接于⊙O，且∠BAC=100°，点P为⊙O上一点（P不与A、B、C重合），则∠BPC= ． 15．如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是 ．（参考数据：，，） 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，BP的长为 ． 17．如图，在中，，，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点）．当与直线只有一个公共点时， ；当时，线段长度的最小值为 ． 18．小明遇到了这样一个题：如图1，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于D，AC＝4，CD＝1，求⊙O的半径是多少？ 小明想出了这样一个办法：如图2，设切点为E、F，连接OE、OF．他很容易证出了△DFO∽△OEA，再设半径为r，则AE=4－r，DF= （用含r的代数式表示），通过相似得出比例式，解出了半径r的长是= ．    三、解答题 19．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行． （1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：DE是⊙O的切线． 20．如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，则_______； (2)求证：与相切； (3)点F在上，，交于点N．若，求的长． 21．如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）． (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？ (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米． 22．机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．在车辆上使用该装置，可对各个车轮的给水温度、时间及水量大小进行独立自动控制，同时具有高温报警、一定范围内整车制动力不平衡报警功能，给行车带来方便、安全可靠．如图，是淋水器安装模型，已知是车轮的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切喷水嘴安装在车体上． (1)尺规作图：在上找一点，使得直线与相切．(保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1)的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．(结果保留根号) 23．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得的长为50cm，铁环的半径为25cm，推杆的长为75cm，求． 24．圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A， ∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 25．综合与实践： 任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度． 任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．    活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料       26．在平面坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，称线段长度的最小值为图形、的“最近距离”，记为．特别地，若图形、有公共点，规定值为0． (1)如图1，的半径为2， ①点，则_________． ②记反比例函数的图像为，则_________． (2)如图2，点，的半径为1，直线：，若，求的值． (3)如图3，直线：与轴交于点，与轴交于点，边长为2的正方形的中心为，将正方形沿着轴的正半轴向右平移个单位，记正方形为图形，若线段与正方形的“最近距离”满足，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线和圆的位置关系 （7个知识点+10种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点7．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级下·全国·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：∵的直径等于， ∴该圆的半径是，即， ∵圆心O到直线l的距离为，即， ∴， ∴直线和圆相交， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 【答案】0 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，属于基础题型，掌握判断的方法是关键根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系可判断直线和圆的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵圆心与直线的距离是，， ∴直线与圆相离，所以直线与圆没有公共点． 故答案为：0． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． （）当半径为 时，直线与相切； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为 ． 【答案】 / 或； 或． 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（ ）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图作于， 在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 6．（23-24九年级·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 8．（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ． 【答案】． 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果． 【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求， 直线与轴、轴分别交于 和点， ∴当时，， ∴点坐标是（0，-2）， ∴当时，， ∴点坐标是（-4，0）， ∴，， ∴， 又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切， ∴,， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键． 9．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 题型四、求直线平移到与圆相切时运动的距离 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 11．（24-25九年级·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 12．（九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 题型五、切线的应用 13．（2020·江苏南京·一模）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（    ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 【答案】A 【知识点】切线的应用 【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可． 【详解】如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为： BE+EC+CD+DA； ②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为： BE++DA； ∵EC+CD＞， ∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA， 即①＞②． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，数形结合是解题的关键．本题作为选择题，无需复杂计算，充分利用几何直观是快速解题的根本． 14．（21-22九年级下·北京·开学考试）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】切线的应用 【分析】分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：∵直线，为直线上一动点， ∴与直线相切时，切点为， ∴， 当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示： （）； 当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示： （）； ∴与直线相切，OP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟练掌握切线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 15．（2022九年级·全国·专题练习）如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题： （1）a＝ ． （2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2； （3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点． 【答案】（1）9；（2）x或x＝4；（3）x＝0或x＜2或2＜x≤3 【知识点】动点问题的函数图象、根据正方形的性质求线段长、切线的应用 【分析】（1）由题意可得Q运动3s达到B，即得BD=6，可知，从而a=AB•AD=9； （2）连接AC交BD于O，可得OA=AC=BD=3，根据△APQ的面积为6，即得PQ=4，当P在Q下面时，x=，当P在Q上方时，Q运动3s到B，x=4； （3）当x=0时，B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，同理t=6时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，当Q运动到BD中点时，以PQ为直径的圆与AQ相切，与△APQ的边有且只有三个公共点，x=，当P、Q重合时，不构成三角形和圆，此时x=2，当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意可得：Q运动3s达到B， ∴BD=3×2=6， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴a=AB•AD=9， 故答案为：9； （2）连接AC交BD于O，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=AC=BD=3， ∵△APQ的面积为6， ∴PQ•OA=6，即PQ×3=6， ∴PQ=4， 而BP=x，DQ=2x， 当P在Q下面时，6-x-2x=4， ∴x=， 当P在Q上方时，Q运动3s到B，此时PQ=3， ∴x=4时，PQ=4，则△APQ的面积为6； 综上所述，x=或x=4； （3）当x=0时，如图： B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点， 同理，当Q运动到B，P运动到D时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，此时t=6， 当Q运动到BD中点时，如图： 此时x=，以PQ为直径的圆与AQ相切，故与△APQ的边有且只有三个公共点， 当P、Q重合时，如图： 显然不构成三角形和圆，此时x=2， 当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，如图： 此时x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点， 综上所述，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，x=0或t=6或≤x＜2或2＜x≤3． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及函数图象、三角形面积、直线与圆的位置关系等知识，解题关键是画出图形，数形结合，分类思想的应用． 题型六、有关切线的概念辨析 16．（23-24九年级·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【知识点】有关切线的概念辨析 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 17．（九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【知识点】有关切线的概念辨析 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 18．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【答案】见详解 【知识点】切线的性质定理、有关切线的概念辨析 【分析】本题考查学生的发散思维，根据圆综合常考的知识点，举例：圆必考切线：切线判定方法有哪些；或者已知切线，怎样利用等类似考点进行作答，即可作答． 【详解】解：圆必考切线。切线判定方法有哪些? （1）最常用：切线判定定理(经过半径外端点，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线)。作辅助线-连接切点和圆心， 证明垂直。 （2）若未告知切线经过圆上的点(那么无法连切点和圆心)， 作辅助线一-过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 或者：已知切线，怎样利用? 必须利用切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 作辅助线一连接切点和圆心，得到垂直。（答案不唯一） 题型七、切线的性质定理 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．首先连接，可得，根据切线的性质可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， 是的切线， ， ， 故选：A． 20．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 21．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)①；②5或11 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可； （2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可； ②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长． 【详解】（1）解：过作于，如图： ，，， ， 在中，， ， 即点到的距离为4； （2）解：①连接，如图： 由（1）知，， ， ， ， ，，， ， 是的切线， ， ； ②过作于，如图：   ，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ； 同理，， 或11． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键． 题型八、切线的性质和判定的综合应用 22．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 23．（2024·广东湛江·二模）如图，在边长为6的正方形内部存在一动点，且满足，连接，则的最大值是 ．    【答案】2 【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质和判定等知识，判断出点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，证明与相切，得到，延长交于点F，则，，证明，则，由的长为定值6，则若要取最大值，则取最大值即可，求出的最大值为，即可得到答案． 【详解】解：∵点P在运动过程中始终满足，故点P的运动轨迹是以点D为圆心，的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长交于点E，连接，    ∵四边形为正方形， ∴，且， ∴与相切， ∴， ∴， 延长交于点F， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长为定值6， 故若要取最大值，则取最大值即可， ∴要取得最大值，则为直径时，可取得最大值为12， ∴的最大值为， 即的最大值为2， 故答案为：2 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值； (3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图，连接、，，由切线的性质得，由，，得，，从而得，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立； （2）证明，得，进而得，又，得，求解一元二次方程得，或（舍去），从而得，于是即可得解； （3）连接并延长交于，交于，连接，，，，证明，得，进而得，再证，得，，得，，得，从而，得，进而证明，，，在和中，利用勾股定理求解得，，，从而即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接、，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵和等高， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：连接并延长交于，交于，连接，，，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 由得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 题型九、三角形内心有关应用 25．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内心，熟练掌握三角形的内心的定义，三角形的内角和定理是解题的关键．由点是的内心，得出、分别平分、，结合计算出，进而得到，再利用三角形的内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：点是的内心， 、分别平分、， ，， ， ， ， ． 故选：A． 26．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为 ． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心．由内心到三角形三边的距离都相等，将三角形被分成的两部分图形面积分别用以这距离为高的三角形的面积和表示，可得结论． 【详解】解：通过图可看到，过内心的直线将的周长平分． 设的周长为，内切圆半径为，则左边部分的面积为， 同理右边部分的面积也为， 该直线分成的两个图形的面积相等， 该直线分所成的两个图形的面积之比为， 故答案为：． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】如图，点M即所求： 题型十、三角形内切圆与外接圆综合 28．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，则这个三角形周长是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】此题重点考查三角形的外接圆的定义、三角形的内切圆的定义、切线长定理、正方形的判定与性质、三角形的周长等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 设中，，是的外接圆，与分别相切于点E、F、G，则，求得，连接，则，可证明四边形是正方形，则，求得，进而得出答案． 【详解】解：如图，中，，是的外接圆，与分别相切于点E、F、G， 的半径是6，是的直径， 连接，则， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 这个三角形的周长是28， 故选：D． 29．（2021·江苏盐城·二模）如图，在中，，当半径为1的在内自由移动时，圆心在内所能到达的区域面积为6，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】先判断出是直角三角形，进而判断出的面积是6，再判断出，进而求出的三边，再用切线长定理得出，，，最后用，求出，，进而求出，，即可得出结论． 【详解】解：如图，， 设，，， ， 是直角三角形，且， 由题意，，，和的两边相切，此时，点所能到达的区域是，连接、、， 圆心在内所能到达的区域的面积为6， ， ，，， ，， ， ， 设，则，， ， 或（舍， ，，， 设切点分别为、、、、、， 连接、、、、、， 得矩形、矩形、矩形， ，，， 根据切线长定理四边形是正方形， ， 根据切线长定理， 设，， 则， ， ， ， ， 解得，， ，，， ， 的外接圆的半径， 的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，切线长定理，求出，是解本题的关键． 30．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、等边三角形的性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，    （2）解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）．    分层练习 一、单选题 1．已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵5cm＞4.8cm， ∴d> r. ∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0， 故选A． 【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 2．如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 3．如图，在中，．先作的平分线交边于点,再以点为圆心，长为半径作．则与的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据题意作图，再过M作MD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DM＝CM，再根据切线的判定定理即可得出答案． 【详解】如图，根据题意作图，再作MD⊥AB于D， ∵BM平分∠ABC，∠ACB＝90，MD⊥AB， ∴MD＝MC， ∴AB与⊙M相切 故选：B． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． 4．如图，是的切线，为切点，与交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据切线的性质，可得，即可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：是的切线，B为切点， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解决问题的关键． 5．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　） A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线 D．若，则AC是⊙O的切线 【答案】C 【分析】A、连接OE，根据同圆的半径相等得到OB＝OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE＝∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确； B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确； C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO＝OB，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH＝AO≠OB，于是得到C选项错误； D、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确． 【详解】A、如图，连接OE， 则OB＝OE， ∵∠B＝60° ∴∠BOE＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOE＝∠BAC， ∴OE∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OE⊥EF， ∴EF是⊙O的切线 ∴A选项正确，不符合题意． B、∵EF是⊙O的切线， ∴OE⊥EF， 由A知：OE∥AC， ∴AC⊥EF， ∴B选项正确，不符合题意． C、∵∠B＝60°，OB＝OE， ∴BE＝OB， ∵BE＝CE， ∴BC＝AB＝2BO， ∴AO＝OB， 如图，过O作OH⊥AC于H， ∵∠BAC＝60°， ∴OH＝AO≠OB， ∴C选项错误，符合题意． D、如C中的图，∵BE＝EC， ∴CE＝BE， ∵AB＝BC，BO＝BE， ∴AO＝CE＝OB， ∴OH＝AO＝OB， ∴AC是⊙O的切线， ∴D选项正确． 故选：C． 【点睛】本题为圆的综合题，掌握切线的判定和性质、平行线的判定和性质以及勾股定理是解答本题的关键． 6．如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中不正确的是（ ） A． B． C．若，则△PAC是等边三角形 D．若△PAC是等边三角形，则 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质，推出，进而推出，圆周角定理，得到，判断A，条件不足，无法得到，判断B，同角的余角相等，得到，进而推出，再根据，判断C，根据等边三角形的性质，圆周角定理，推出，，判断D，即可得出结论． 【详解】解析：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴．选项A正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，选项C正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，选项D正确； 条件不足，无法得到，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 7．如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，得到是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 8．如图，已知是的内切圆，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内切圆定义可知、是、的角平分线，所以可得到关系式，把对应数值代入即可求得的值． 【详解】解：∵是的内切圆， 、是、的角平分线， ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆．关键是要知道三角形内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么____s后，⊙P与直线CD相切(  ) A．4 B．8 C．4或6 D．4或8 【答案】D 【详解】分析：只要注意此题可分两种情况当点P在OA上时、当点P在OB上时，则易解． 解答：解：作PE⊥CD于E．若⊙P与直线CD相切，则PE=1， 当点P在OA上时，此时OP=2PE=2，则⊙P需要移动6-2=4cm，需要时间4秒； 当点P在OB上时，此时OP=2PE=2，则⊙P需要移动6+2=8cm，需要时间8秒． 故选D． 10．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线l相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当直线l与x轴所成锐角为，，且时，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出垂线段，表示出原点O与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案． 【详解】分别过半圆O1，半圆O2，…，半圆On的圆心作O1A⊥l于点A，O2B⊥l于点B，O3C⊥l于点C，如图， ∵半圆O1，O2，O3，…，On与直线l相切， ∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3， ∵， ∴α=30°， ∴当直线l与x轴所成锐角为30°时，OO1=2O1A=2， 在Rt△OBO2中，OO2=2BO2，即2+1+r2=2r2， ∴r2=3， 在Rt△OCO3中，OO3=2CO3，即2+1+2×3+r3=2r3， ∴r3=9=32， 同理可得，r4=27=33， ∴r2022=32021， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，规律型-图形的变化类，解直角三角形，找出规律是解题的关键． 二、填空题 11．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 度． 【答案】144 【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出∠AOC的度数． 【详解】解：正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°， ∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°． 【点睛】本题主要考查了五边形的内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算． 12．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 ． 【答案】8 【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A＝90°，根据切线的性质，可得四边形OFAE为正方形，设OE＝r，继而根据切线长定理求得，根据正方形的性质即可求解． 【详解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12， ∴， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F， ∴OF⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形OFAE为矩形， ∵OE=OF ∴四边形OFAE为正方形， 设OE＝r， 则AE＝AF＝r， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r， ∴5﹣r+12﹣r＝13， ∴r＝2， ∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×4＝8． 故阴影部分的周长是：8． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 13．已知的面积为，所在的平面内有一点，若，则点在 ；若，则点在 ；若 ，则点在上． 【答案】 外, ⊙O内, 5 【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，然后由点与圆的位置关系即可求解． 【详解】因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm． 若OP=6.5cm，因为6.5cm＞5cm，则点P在⊙O外； 若OP=4cm，因为4cm＜5cm，则点P在⊙O内； 若OP=5cm，则点P在⊙O上． 故答案为⊙O外；⊙O内；5． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r． 14．△ABC内接于⊙O，且∠BAC=100°，点P为⊙O上一点（P不与A、B、C重合），则∠BPC= ． 【答案】100°或80° 【详解】试题分析：分①点P在劣弧BC上和②点P在优弧BC上两种情况讨论： ①点P在劣弧BC上，如图： ∵∠BAC与∠BPC是弧BC对的圆周角， ∴∠BPC=∠BAC=100°； ②点P在优弧BC上， ∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形， ∴∠BPC=180°-∠BAC=180°-100°-80°． ∠BPC=100°或80°． 考点：圆周角定理及其推论． 15．如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是 ．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质定理，锐角三角函数与解直角三角形等知识，连接，由是的切线，得，然后根据解直角三角形即可求解，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，BP的长为 ． 【答案】或 【分析】BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，设⊙O的半径为r，先利用勾股定理计算出BD＝5，根据切线的判定方法，当OE＝OB时，⊙O与AD相切，根据平行线分线段成比例定理得＝，求出r得到BP的长；当OF＝OB时利用同样方法求出BP的长． 【详解】解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，如图所示： 设⊙O的半径为r， 在矩形ABCD中，AB＝3， ∴BD＝＝3， 当OE＝OB时，⊙O与AD相切， ∵OEAB， ∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝； 当OF＝OB时，⊙O与DC相切， ∵OFBC， ∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝； 综上所述，BP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆与矩形综合背景下的线段长求解，涉及到切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；也考查了平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是准确把握圆与矩形的相关性质． 17．如图，在中，，，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点）．当与直线只有一个公共点时， ；当时，线段长度的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理可得，设与直线的切点为点，连接，再根据圆的切线的性质可得，且，然后利用三角形的面积公式求出长即可得；连接，先根据圆的切线的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得当时，取得最小值，线段长度最小，同上可得的最小值为，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 当与直线只有一个公共点时，则与直线相切， 如图，设与直线的切点为点，连接， 则，且， ， ， 即； 如图，连接， 与的相切于点， ，， 在中，， 要使线段长度最小，则只需取得最小值即可， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 由上可知，的最小值为， 则线段长度的最小值为， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 18．小明遇到了这样一个题：如图1，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于D，AC＝4，CD＝1，求⊙O的半径是多少？ 小明想出了这样一个办法：如图2，设切点为E、F，连接OE、OF．他很容易证出了△DFO∽△OEA，再设半径为r，则AE=4－r，DF= （用含r的代数式表示），通过相似得出比例式，解出了半径r的长是= ．    【答案】 0.8 【分析】先证明四边形OECF是正方形，然后根据DF=CD-CF即可用含r的代数式表示出DF；根据相似三角形的性质列出比例式即可求出r的长． 【详解】解：∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， 又∵∠C=90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE =OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴CF=CE=OE=OF=r， ∴DF=CD-CF=1-r； 易证△DFO∽△OEA， ∴， 即， ∴， 解得：r=0.8． 故答案为：1-r，0.8． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定，相似三角形的性质，见到切线作出过切点的半径，构造出方程是解决此题的关键． 三、解答题 19．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行． （1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：DE是⊙O的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆； （2）延长AO交BC于G，如图，先判断AG垂直平分BC，再利用平行线的性质得到AG⊥DE，然后根据切线的判定定理可得到结论． 【详解】（1）如图，⊙O为所作； （2）延长AO交BC于G，如图，∵AB=AC，OB=OC，∴AG垂直平分BC． ∵DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DE是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 20．如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，则_______； (2)求证：与相切； (3)点F在上，，交于点N．若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）由，和M是的中点，利用三角函数可以得到； （2）只需证明，便可以得到与相切； （3）连接，，证明，，根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵是的直径，， ∴垂直平分， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）解：∵，是的直径， ∴， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （3）如图2，连接，， ∵于M， ∴M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， 在中，，，， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值，等比三角形的判定与性质的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力． 21．如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）． (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？ (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米． 【答案】(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米； (2)的长度应大于米． 【分析】本题考查了勾股定理、圆的切线、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会构造相似三角形求线段长度是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据勾股定理和等腰三角形的性质求得米，结合吊篮一定不会碰到点C，得出米，再利用可得，设设米，根据比例关系即可求出． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 由题意可知，米，米， 则由勾股定理可得：米． 答：西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米． （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， 米， 是等腰三角形， ，米， 米， 米； 滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交于点W， 由题意得，， ， 切点为J， ， ， ， ， ，即， 米， 米， 米， ，， ， ， 设米，则米， 米， 又米， ， 解得， 由题意得，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C ，则米． 答：的长度应大于米． 22．机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．在车辆上使用该装置，可对各个车轮的给水温度、时间及水量大小进行独立自动控制，同时具有高温报警、一定范围内整车制动力不平衡报警功能，给行车带来方便、安全可靠．如图，是淋水器安装模型，已知是车轮的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切喷水嘴安装在车体上． (1)尺规作图：在上找一点，使得直线与相切．(保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1)的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长．(结果保留根号) 【答案】(1)见解析 (2)机动车轮胎直径的长为 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质，圆周角定理及其推论，等边三角形的判定与性质． （1）连接，过作交于点，则点即为所求； （2）延长交于点，证明是等边三角形，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如解图所示，点即为所求． （2）如解图所示．延长交于点， 是的切线， ． ． ， ． ． ． 又． ，即是等边三角形． ． 是的直径 ． ． 答：机动车轮胎直径的长为． 23．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得的长为50cm，铁环的半径为25cm，推杆的长为75cm，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．首先证明，；再根据B是切点得出．然后证明出结论； （2）设，则，证明，可得两三角形相似比为，用含x的式子表示出，再在中根据勾股定理计算出x值，从而计算的值，即可解答问题． 【详解】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F． ∵与相切于点C， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵为的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴四边形为矩形， 设，则， ∵由（1）得 ∴ ∴，即 ∴ 在中，∵ ∴ 整理，得： 解得：（不符合题意，舍去）， ∴ ∴． 【点睛】本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线． 24．圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A， ∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE的长为 【分析】（1）先证，得，即可得答案； （2）结合（1）同理可得，所以 ，然后代入值即可求出 PD 的长，进而可得 DE 的长． 【详解】（1）证明：如图②，连接AB、AC、BO、AO， ∵PA切于点A， ∴，即， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴，         ∴； （2）由（1）， 同理， ∴，        ∴， ∴， ∴DE的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明 ． 25．综合与实践： 任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度． 任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．    活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料       【答案】任务一：， 任务二：见解析；任务三：矩形的边长为、． 【分析】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形， 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ， 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．    任务三：如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，    ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、， 26．在平面坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，称线段长度的最小值为图形、的“最近距离”，记为．特别地，若图形、有公共点，规定值为0． (1)如图1，的半径为2， ①点，则_________． ②记反比例函数的图像为，则_________． (2)如图2，点，的半径为1，直线：，若，求的值． (3)如图3，直线：与轴交于点，与轴交于点，边长为2的正方形的中心为，将正方形沿着轴的正半轴向右平移个单位，记正方形为图形，若线段与正方形的“最近距离”满足，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1，② (2)或 (3) 【分析】（1）①结合图形及“最近距离”定义得出即可； ②设与x轴交于点B，与y轴交于点C，过点B作轴，过C点作轴，与交于点D，根据D点坐标得出D点正好在反比例函数上，则“最近距离”为； （2）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过B点作于D，根据求出，利用三角函数求出，再根据坐标求出b的值即可； （3）根据图形的移动求出临界值的位置，然后求出m的值确定取值范围即可． 【详解】（1）解：①∵半径为2，， ∴， 故答案为：1； ②设与x轴交于点B，与y轴交于点C，过点B作轴，过C点作轴，与交于点D， ∴， ∵D点在函数图象上， 连接OD交于E， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过B点作于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或， ∴k的值为2或； （3）解：如下图所示，当正方形处在图中虚线两个位置时， 作于M，的运动路径交于P， ∴， 由平移可知：， ∴， 由直线解析式，得时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵正方形的边长为2，中心O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E平移到处，， 点H平移到右面虚线位置处，， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图形和性质，勾股定理，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$