第12讲 直线和圆的位置关系+ 切线长定理（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦直线和圆的位置关系及切线长定理核心知识点，构建从位置关系（相离、相切、相交）的d与r关系，到切线性质与判定，再到切线长定理及三角形内切圆、圆外切四边形应用的递进式知识支架。 资料以“知识详解+典例分析+习题巩固”为框架，通过表格对比位置关系培养抽象能力，典例变式（如切线判定证明题）发展推理意识，结合《九章算术》等实例渗透应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识内化。

第12讲 直线和圆的位置关系+ 切线长定理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：直线和圆的位置关系 知识点02：切线的性质 知识点03：切线的判定 知识点04：三角形的内切圆 知识点05：切线长定理 知识点06：圆外切四边形 典例分析 （举三反三） 考点1：切线的判定 考点2：切线的性质 考点3：切线长定理 考点4：三角形内切圆 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 【知识点01】直线和圆的位置关系 1. 直线和圆有三种位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d＞r d=r d＜r 等价关系 d>r 直线l与⊙ O 相离 d=r 直线l与⊙ O 相切 d<r 直线l与⊙ O 相交 【知识点02】切线的性质 1. 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 2. 切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径. (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用). (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). (3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立. 【知识点03】切线的判定 1. 判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2. 判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. (3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【知识点04】三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 3. 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 【知识点05】切线长定理 1. 切线长定义 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2. 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 3. 示例 如图3-7-1 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；(3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD；(6)AC = BC等 【知识点06】圆外切四边形 1. 圆外切四边形的定义 四边形的四条边都与圆相切，这个四边形叫做圆外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆，如图3-7-4 所示，四边形ABCD 是⊙O的外切四边形，⊙O是四边形ABCD的内切圆. 2. 圆外切四边形的性质 圆外切四边形两组对边之和相等.如图3-7-4 所示，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别与⊙O相切于点E，F，G，H，则AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH， ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即(AE+BE)+(CG+DG)=(AH+DH)+(BF+CF)， ∴ AB+CD=AD+BC. 因此⊙O的外切四边形ABCD的两组对边之和相等. 【题型一】切线的判定 【典例1-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线，即直线与的位置关系为相切． 故选：B． 【典例1-2】（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定． 连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论； 【详解】证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； 【典例1-3】（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定与性质． （1）由题意证明半径，即可根据切线的判定定理证明是的切线； （2）根据题意连接，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形是矩形，最后结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：∵C，A，D，F在上，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵直径于E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了圆的切线判定、勾股定理的应用，利用弧中点性质与等腰三角形角的关系推导垂直是解题的关键． （1）连接，，由为的下半圆弧的中点得，可得，由得，由得，结合对顶角可得即，得出，结合是的半径即可证明是的切线； （2）由的半径，，得，，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径，， ∴，， ∴． 【变式1-3】（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 【题型二】切线的性质 【典例2-1】（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：∵如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 【典例2-2】（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查结合圆的性质与勾股定理计算． ①利用已知角度关系和三角形内角 和定理，推导出，根据等角对等边得出，结合，直接求出； ②先连接直径所对的圆周角， 利用切线性质和直径的圆周角定理推出角相等，得到，再在中用勾股定理求出，进而得到 的长度． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ②连接，则，∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理， ∴． 故答案为：． 【典例2-3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． (1)求切线的长； (2)若点C是圆O上一点，且，求的长． 【答案】(1)12 (2)8 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． （1）根据切线的性质得出，根据勾股定理求出结果即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得到，求出，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点A， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南洛阳·月考）如图，已知在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线性质、勾股定理，熟练掌握其性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 连接、，根据圆的切线的性质可得，由勾股定理可得及，当时，最小，即最小，利用三角形面积公式列方程，求解的最小值，当点与点重合时，最大，即最大，此时，据此求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，，，， 由勾股定理得， 是的切线， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， 解得， ， 即的最小值为； 当点与点重合时，最大，即最大， ， ， 即的最大值为， 故答案为：；． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 【题型三】切线长定理 【典例3-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 【典例3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知是圆O的切线（为切点），，求圆O的半径． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由切线长定理得到，由含30度角的直角三角形的性质得到． 由切线长定理得到，由切线的性质定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到的半径即可． 【详解】解：如图， 、是的两条切线， ，， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， 的半径等于． 【变式3-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 【变式3-2】（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：16． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】解：与相等 如图，连接、， ∵是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又∵是大圆的弦，， ，， ． 【题型四】三角形内切圆 【典例4-1】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．三角形的内心是三条边中垂线的交点 D．直径是弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，三角形的内心，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； C、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原说法错误，不符合题意； D、直径是弦，原说法正确，符合题意； 故选D． 【典例4-2】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，点为的内心，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4-3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 【答案】r为2，长 【分析】本题考查了三角形的外心与内心，勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的判定与性质，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而可得外心O在斜边的中点处，即，作和的平分线交于I，即I就是内心，作于D，于E，于F，则，证明四边形为正方形，得出，求出，，，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴为直角三角形， ∴外心O在斜边的中点处， ∴， 作和的平分线交于I，即I就是内心， 作于D，于E，于F， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∴，， ∴， ∴，， ∵， 在中，， 综上：r为2，长． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，． (1)若点O为的外心，求的度数； (2)若点I为的内心，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解∶∵点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． （2）解：为的内心， ，． ， ． ，即， ． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，，是的两条切线，切点是，．如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理可得，，，由，，可得，由直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】解： ，是的两条切线，切点是，， ，，． ，， ． ，， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，点是的内心，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由题意易得，分别是，的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知为的直径，切于点，切于点，交的延长线于点，，，则半径的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理、切割线定理等知识，综合性强，熟记并会综合运用定理是解决本题的关键． 根据切割线定理，结合已知条件，求出AE的长；再根据勾股定理、切线长定理求出BC的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点，切于点； ∴，，； ∵，， ∴ ∴在中， ∴； ∴ ∴，则， 解得， 故选：C. 5．（25-26九年级上·河北·月考）如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2． 嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．” 淇淇说：“图中的直线与圆相切．” 下列判断正确的是（    ）       A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，根据圆周角定理，切线的判定方法进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴图线段是圆的直径，故嘉嘉的说法正确； ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴直线与圆相切，故淇淇的说法正确； 综上可得：两人的说法都正确， 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键． 先根据切线长定理，得到，，，再根据线段之间的关系即可求解． 【详解】解：∵，分别和切于A、B， ， ∵过 C作的切线分别交，于D、E， ， ∵的周长为， ， ， ， 则， ，即． 故答案为． 7．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，根据切线的性质得出，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）在中，，点为三角形内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心即三角形角平分线的交点是解题的关键．根据内心的定义得到，，在和中，分别根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点为三角形内心， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键． 连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题． 【详解】解：连接、连接并延长交于点， ∵等边， ∴， 又∵是等边的内切圆， ∴是的角平分线，即，， ，， 又∵是的切线，的半径为2， ∴是切点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 三、解答题 10．（25-26九年级上·云南文山·月考）如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 由切线的性质，可得，证明，可得，即可证得结论． 【详解】证明：∵与相切于点， ∴， ∵点、在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ∵点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ∵点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 12．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 13．（25-26九年级上·河南周口·月考）（1）任意画一个及外任意一点P，过点P作的两条切线，切点分别为A、B（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； （2）连接． 若，，求的周长？ 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可． （2）连接，由切线的性质可得即， ，并推出；在 中，通过三角函数求出；由、，判定为等边三角形，进而计算其周长。 【详解】解：（1）如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接， 由圆周角定理可得，， ∵为的半径， ∴为的切线． 则即为所求； （2）解：连接， ∵为的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长． 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，先由平行的性质得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，，继而可得结论； （2）作于点，设的半径为，则，，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得、的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点，连接，，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图2 ∵，于点， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为内接三角形，为弧的中点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)如图2，连接、，是的内心． ①求证：； ②经过、、三点能否确定一个圆？理由是___________，若能确定圆，请仅用无刻度的直尺找出圆心． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②能，不在同一直线上的三个点可唯一确定一个圆，作图见解析 【分析】本题考查了切线的判定，三角形的内切圆，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）根据定理的推论得出，根据平行线的性质得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）①根据三角形内心的性质可得出，，根据圆周角定理得出，则，结合三角形外角的性质可得出，然后根据等角对等边即可得证； ②根据三角形内心的性质可求出，由三角形内角和定理知，则可判断，故A、I、C三点不共线，即可解答；连接并延长交于点P，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为弧的中点， ∴， ∵， ∴， 又是的半径， ∴与相切； （2）①证明：∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴ 又，， ∴， ∴； ②：∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴A、I、C三点不共线， ∴A、I、C三点能确定一个圆，（不在同一直线上的三个点可唯一确定一个圆） 作图如下： 理由：连接、， 同①可证，， ∴， ∴点A、I、C在以P为圆心，为半径的圆上． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 直线和圆的位置关系+ 切线长定理（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：直线和圆的位置关系 知识点02：切线的性质 知识点03：切线的判定 知识点04：三角形的内切圆 知识点05：切线长定理 知识点06：圆外切四边形 典例分析 （举三反三） 考点1：切线的判定 考点2：切线的性质 考点3：切线长定理 考点4：三角形内切圆 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 【知识点01】直线和圆的位置关系 1. 直线和圆有三种位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d＞r d=r d＜r 等价关系 d>r 直线l与⊙ O 相离 d=r 直线l与⊙ O 相切 d<r 直线l与⊙ O 相交 【知识点02】切线的性质 1. 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 2. 切线的性质 (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径. (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用). (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). (3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立. 【知识点03】切线的判定 1. 判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2. 判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. (3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【知识点04】三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 3. 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 【知识点05】切线长定理 1. 切线长定义 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2. 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 3. 示例 如图3-7-1 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；(3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD；(6)AC = BC等 . 【知识点06】圆外切四边形 1. 圆外切四边形的定义 四边形的四条边都与圆相切，这个四边形叫做圆外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆，如图3-7-4 所示，四边形ABCD 是⊙O的外切四边形，⊙O是四边形ABCD的内切圆. 2. 圆外切四边形的性质 圆外切四边形两组对边之和相等.如图3-7-4 所示，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别与⊙O相切于点E，F，G，H，则AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH， ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即(AE+BE)+(CG+DG)=(AH+DH)+(BF+CF)， ∴ AB+CD=AD+BC. 因此⊙O的外切四边形ABCD的两组对边之和相等. 【题型一】切线的判定 【典例1-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【典例1-2】（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．求证：是的切线． 【典例1-3】（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 【变式1-3】（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【题型二】切线的性质 【典例2-1】（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【典例2-2】（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． 【典例2-3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆O的半径为5，点P是圆O外一点，且，过点P作圆 O的切线（A为切点），连接（为圆O的直径）． (1)求切线的长； (2)若点C是圆O上一点，且，求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南洛阳·月考）如图，已知在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型三】切线长定理 【典例3-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ． 【典例3-3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知是圆O的切线（为切点），，求圆O的半径． 【变式3-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【题型四】三角形内切圆 【典例4-1】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．三角形的内心是三条边中垂线的交点 D．直径是弦 【典例4-2】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，点为的内心，，则的度数是 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【变式4-2】（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，． (1)若点O为的外心，求的度数； (2)若点I为的内心，求的度数． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，，是的两条切线，切点是，．如果，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，点是的内心，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知为的直径，切于点，切于点，交的延长线于点，，，则半径的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 5．（25-26九年级上·河北·月考）如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2． 嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．” 淇淇说：“图中的直线与圆相切．” 下列判断正确的是（    ）       A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为 ． 7．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）在中，，点为三角形内心，则 ． 9．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为 ． 三、解答题 10．（25-26九年级上·云南文山·月考）如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 12．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 13．（25-26九年级上·河南周口·月考）（1）任意画一个及外任意一点P，过点P作的两条切线，切点分别为A、B（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； （2）连接． 若，，求的周长？ 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为内接三角形，为弧的中点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)如图2，连接、，是的内心． ①求证：； ②经过、、三点能否确定一个圆？理由是___________，若能确定圆，请仅用无刻度的直尺找出圆心． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $