第08讲 解直角三角形与用锐角三角函数解决问题（5个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 解直角三角形与用锐角三角函数解决问题（5个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一、解直角三角形的相关计算 1．（2024·江苏苏州·二模）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 3．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 题型二、解非直角三角形 4．（22-23九年级下·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 5．（江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ． 6．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．（江苏无锡·一模）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，取BC的中点F，过点F作一直线与AB平行，且交弧DE于点G，则∠AGF的度数为         （ ） A．110° B．120° C．135° D．150° 8．（江苏苏州·中考真题）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号) 9．（江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 10．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为（） A．米 B．米 C．米 D．米 11．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 题型五、方位角问题(解直角三角形的应用) 13．（2020·江苏苏州·模拟预测）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A与B的距离分别是(    ) A．海里，海里 B．海里，海里 C．海里，海里 D．海里，海里 14．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 海里． 15．（2024·江苏泰州·二模）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求的距离．（结果精确到，参考数据： ， ）    题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 16．（2024·江苏无锡·二模）小明沿着坡角为的斜坡向上走了，则他升高了（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高，则坡面的长度是 ． 18．（2024·江苏苏州·一模）有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）    (1)水果放置区的水平宽度； (2)求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 题型七、其他问题（解直角三角形的应用） 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）2022年12月4日晚，神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，标志着我国空间站运营常态化，也意味着我国是当今世界上唯一拥有独立建设空间站能力的国家，也预示着中国载人航天再上新的台阶，如图是神舟十四号载人飞船返回舱在降落过程中某时刻的画面，若伞绳米，，则点O到的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 20．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；，，） 21．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 分层练习 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（       ）    A． B． C． D． 2．如图，已知点C与某建筑物底端B相距220米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　 　） A．13米 B．14米 C．36米 D．37米 3．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠BED＝30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是(　　) A．4 B．4 C．2 D．23 5．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（　　） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．如图1，在中，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作于点D，设点运动的路程为x，PD长为y，y与x之间的函数关系图象如图2所示，当时，y的值是（  ） A．6 B． C． D．2 8．△ABC中，BC＝6，AB＝2，∠ABC＝30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为（　　） A． B． C． 或 D．或 9．如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 10．如图，中，，，点D，E分别在，，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（　　）    A．2或3 B．2或 C．3或 D．2或4 二、填空题 11．在中，，，，则的面积等于 ． 12．如图，在中，，，点M从点C出发沿线段向点A移动，连接，交边于点N．若，那么线段 ． 13．如图，和分别是的直径和弦，且，交于点，若，则 ．        14．如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ． 15．如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 16．抛物线的顶点为P，点M、点N为抛物线上的点，若为等边三角形，则的面积为 ． 17．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AB，BC上，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，连接DF，EF，若，则 ．（结果用含n的代数式表示） 18．如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题 19．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为，测角仪的高度为1.6m．参考数据：，，，．    (1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差． 20．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树.当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段,米. (1)求树根到地面的距离. (2)求树的高度.（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 21．如图，两条互相平行的高速公路之间有一条L形乡村公路相连接，已知：千米，千米，求之间的距离．（精确到．参考数据：） 22．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线． （1）求证：∠BAC＝2∠CDE； （2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径． 23．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，并且测得．轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方向匀速航行，它们的速度分别为和．经过，轮船甲航行至B处，轮船乙航行至D处，测得，此时B处距离码头O有多远？（精确到）（参考数据：） 24．高架塔式滑雪台已经成为滑雪大跳台项目的重要训练场所，如下图所示，滑道分为，两段，已知，，米，米，图中所有点均在同一平面内（计算结果均四合五人至整数）． 坡角 坡度 初级道： 中级道： 高级道： (1)根据表格判断段滑道属于______（填“初级道”“中级道”或“高级道”）； (2)求滑道的长度； (3)在多次训练的过程中，安全员发现运动员的着陆点大多在与点相距米的点，为了保证高架塔的稳定性，相关团队准备用钢材(即和)加固高架塔，点在点的正下方，点，，，在同一直线上．通过计算说明至少需要钢材和多少米？（参考值：，，，，，） 25．已知，A为射线上一定点，B为射线上动点（不与点O重合）连接，取的中点C，连接．在射线上取一点D，使得． （1）若， ①如图1，当时，在图1中补全图形，并写出的值； ②如图2，当时，猜想的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）如图3，若，直接写出的值． 26．流感主要的发病季节在春季，因为春季正值季节的交换，气候温差大，使人的身体抵抗能力降低，从而引起流感的发生，所以我们要有健康的生活意识，时刻关注自己身体的变化情况，积极地进行预防，某地发生流感，第x天（）的新增病人y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 9 10 y 4 11 20 31 …… 116 139 (1)前10天流感发病人数符合二次函数，根据上表，求出二次函数的解析式； (2)将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线如图一所示，与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．则该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图二，在（2）的抛物线中，点Q是线段上的动点，连接，过点O作，在射线上取一点N，使得，连接，，求周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 解直角三角形与用锐角三角函数解决问题（5个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一、解直角三角形的相关计算 1．（2024·江苏苏州·二模）若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论． 要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出满足条件的只有2个时满足的条件． 【详解】解：设， 当，即，即时，三角形无解； 当，即，即时，三角形有1解； 当，即，即时，三角形有2个解； 当，即时，三角形有1个解． 综上所述：当时，恰好有两个， 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键． 连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得． 【详解】解：连接，并延长交于点Q， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况， 则点M，点N分别是边上的中点， ∴点E为等边的重心， ∴，Q为中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，，．点D是边上一点，且满足．若点E在上运动，过点D作交边于点F． (1)证明：的形状不变； (2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边的中点M的运动路径长． 【答案】(1)证明过程详见解答 (2) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，作于，可求得和长，进而得出的正切值，可得出共圆，从而得出，进一步得出结论； （2）以所在的直线为轴，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于，可得出，从而得出，可设，从而得出，进而得出坐标，从而求得点坐标，进而得出点在一条线段上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，连接，作于， ， ， ， ， ， 点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的形状不变； （2）解：如图2，以所在的直线为轴，以点为两坐标轴交点，过点与垂直的直线为轴建立坐标系，作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设， ， ， ∴点运动路线是一条线段， 当点在处时，， ， 当点在处时，作于， ， 即， ， ， ， ∴的中点的运动路径长为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线，求出点的运动轨迹． 题型二、解非直角三角形 4．（22-23九年级下·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解非直角三角形 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 5．（江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解. 【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N， , , 设 解得：   故答案为 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键. 6．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)存在， 【知识点】四边形其他综合问题、相似三角形——动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长、解非直角三角形 【分析】（1）求出，，过点作于，则四边形是矩形，得出，，证明是等腰三角形，得出，，分两种情况： ①当时，，得出，即可得出结果； ②当时，，得出，即可得出结果； （2）连接，过点作于，于，过点作于，则四边形、四边形都是矩形，得出，，，，则，求出，，，，由题意得，且，则，由，即可得出结果； （3）时，求出，代入、的值即可得出结果； （4）延长交于，过点作于，证明，，，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解： ，， ， 设，，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， ，， 过点作于，如图1所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰三角形， ，， 分两种情况：①当时，， ， ， ，， ， 解得：； ②当时，， ， ，即， 解得：； 故答案为：或； （2）解：连接，过点作于，于，过点作于，如图2所示： 则四边形、四边形都是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，且， ， ； （3）解：若，则， ， ， ， ，， ， 解得：； （4）解：存在，延长交于，过点作于，如图3所示： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积的计算、分类讨论等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数定义是解题的关键． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 7．（江苏无锡·一模）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，取BC的中点F，过点F作一直线与AB平行，且交弧DE于点G，则∠AGF的度数为         （ ） A．110° B．120° C．135° D．150° 【答案】D 【详解】试题分析：作GM⊥AB于点M，利用矩形的性质，首先求出AG=AD，GM=BF=BC=AD．利用三角函数求出∠GAB的值，继而求出∠AGF的值． 作GM⊥AB于点M 可得到AG=AD，GM=BF=BC=AD， ∴sin∠GAB= ∴∠GAB=30°． ∵GF∥AB， ∴∠AGF=150°． 故选D． 考点：矩形的性质，锐角三角函数的定义 点评：锐角三角函数的定义是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键. 8．（江苏苏州·中考真题）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号) 【答案】 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可 【详解】如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边 由题意： ∴      =cm ∴小等腰直角三角形的直角边为cm ∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2 小等腰直角三角形面积为=36-16cm2 ∴   【点睛】本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算 9．（江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用; （2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【详解】 （1）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴， ∴，即， ∴， 由，∴， ∴，即， ∴． 又，∴， ∴，即， ∴， 即到岸边的距离为． （2）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴，∴， 即，∴． 由，∴，∴， 即，∴． ∴， ∴， 即点到岸边的距离为． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． 题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 10．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角，俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题． 作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出和的长，根据即可求解． 【详解】作于点， 依题意得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ， 同理， ， 故选D． 11．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 12．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 【答案】． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查解直角三角形得应用，过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．则，．在中，利用含30度角的直角三角形的性质得，则可得，在中，求得，即可得． 【详解】解：过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．如图， 则，． 在中，，， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∴． 答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了． 题型五、方位角问题(解直角三角形的应用) 13．（2020·江苏苏州·模拟预测）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A与B的距离分别是(    ) A．海里，海里 B．海里，海里 C．海里，海里 D．海里，海里 【答案】A 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【详解】试题分析：如图，过点B作，交AP的延长线于H，，∴海里，，∵，∴，∴海里，∴海里，∵，∴海里，∴海里，故答案选A． 考点：构造直角三角形，三角函数． 14．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 海里． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， 在中，海里， （海里），（海里）， 在中，（海里）， 海里， 轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里， 故答案为：． 15．（2024·江苏泰州·二模）泰州溱湖（姜堰溱湖旅游景区），位于江苏中部里下河地区，是江苏省三大锅底洼之一，溱湖的主体湖泊是喜鹊湖，在喜鹊湖上有诸多小岛．如图，小明在湖面上划船游玩，在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向，借助三角板在图中标出点B，连结，并求的距离．（结果精确到，参考数据： ， ）    【答案】487.9m 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，方向角，解直角三角形等知识，如图，过C作，由题意可得，通过正切值得到，从而得到，在中，利用正弦值得到即可得出结果． 【详解】解：作图如下，过C作，    ∵在A处观测到小岛C在其东北方向，向正东方向航行546m后到达B处，发现小岛C在其北偏西方向， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：的距离约为． 题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 16．（2024·江苏无锡·二模）小明沿着坡角为的斜坡向上走了，则他升高了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设他升高了米，根据坡角的概念，直角三角形中所对直角边等于斜边一半的性质计算即可，掌握坡角的概念是解题的关键． 【详解】解：设他升高了米， ∵斜坡向上走了， ∴根据所对直角边等于斜边一半，则， 故选：． 17．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高，则坡面的长度是 ． 【答案】/米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在中，已知了坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出坡面的长． 【详解】解：中，，； ， ． 故答案为：． 18．（2024·江苏苏州·一模）有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）    (1)水果放置区的水平宽度； (2)求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 【答案】(1) (2) 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，可求，进而可得； （2）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，即，可求，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于，            又∵，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴水果放置区的水平宽度为； （2）解：如图1，过点作于， 又，， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴顶棚端点F离地面的高度为． 题型七、其他问题（解直角三角形的应用） 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）2022年12月4日晚，神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，标志着我国空间站运营常态化，也意味着我国是当今世界上唯一拥有独立建设空间站能力的国家，也预示着中国载人航天再上新的台阶，如图是神舟十四号载人飞船返回舱在降落过程中某时刻的画面，若伞绳米，，则点O到的距离为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，掌握正弦函数公式是解决此题的关键．直接利用正弦函数进行解答即可． 【详解】解∶∵米，， （米）， 即点到的距离为米． 故选：A． 20．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；，，） 【答案】6.2 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．根据题意和锐角三角函数可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：在中， ， （米， 答：大厅两层之间的距离的长约为6.2米． 故答案为：6.2 21．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作交于点，由平行线的性质及入射角等于反射角得，由正切函数得，即可求解；理解实际意义，掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 点在点正下方， ，即， 房顶与水平地面平行，为墙面， 四边形为矩形． ， ， ， 地面上的点经过平面镜反射后落在点，结合物理学知识可知： ， ， ， 在中， ， ， ， 即水平地面上最远处到小强的距离是． 分层练习 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（       ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知余弦求边长 【分析】由再把已知条件代入即可得到答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的含义，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 2．如图，已知点C与某建筑物底端B相距220米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　 　） A．13米 B．14米 C．36米 D．37米 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数进行计算即可． 【详解】解：过点D分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N， 在Rt△CDM中， ∵i=1：2.4=， 设DM=x米，则CM=2.4x米， 在Rt△CDM中，由勾股定理得， DM2+CM2=CD2， 即x2+(2.4x)2=1302， 解得x=50， ∴CM=2.4x=120（米）， ∴BM=DN=220-120=100（米）， 在Rt△ADN中， AN=DN•tan20°≈100×0.364=36.4（米）， ∴AB=NB-AN=DM-AN=50-36.4=13.6≈14（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确计算的前提． 3．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】在中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：A． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠BED＝30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是(　　) A．4 B．4 C．2 D．23 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】根据垂径定理和三角函数求解． 【详解】，则 根据OD⊥AB，则在直角△OAC中, 则 故选:B. 【点睛】考查垂径定理以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键. 5．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（　　） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用矩形的性质证明 【分析】如图，过点D作DE⊥OC于点E，根据矩形的性质可得∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，根据平角的定义及直角三角形两锐角互余的性质可得∠CDE＝∠BCO＝x，再根据三角函数的定义得出OC、CE的长，即可得答案． 【详解】如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b， ∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b， ∴∠BCO+∠DCE=90°， ∵∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠CDE＝∠BCO＝x， ∴OC＝BC•cosx＝bcosx，CE＝CD•sinx＝asinx， ∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx． ∴点D到OB的距离等于bcosx+asinx． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和各三角函数的定义． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E为中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 7．如图1，在中，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作于点D，设点运动的路程为x，PD长为y，y与x之间的函数关系图象如图2所示，当时，y的值是（  ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据图2可判断AC=6，BC=8，则可确定x=12时BP的值，利用sinB的值，可求出PD． 【详解】由图2可得，AC=6，BC=8， 由勾股定理得，AB=10. 当x=12时，如图所示： ， 此时AC+CP=12，故BP=AC+BC-AC-CP=2， ∵sinB=， ∴PD=BPsinB=2×=． 故选C． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图2得到AC、BC的长度． 8．△ABC中，BC＝6，AB＝2，∠ABC＝30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为（　　） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，根据∠ABC的正弦和余弦可以求出CD、BD的长度，从而可以求出AD的长度，然后利用勾股定理即可求出AC的长度，再利用相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度，再分点P在线段AC上与点P在射线CA上两种情况讨论求解． 【详解】 解：如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D， ∵BC＝6，∠ABC＝30°， ∴CD＝BCsin30°＝3， BD＝BCcos30°＝3， ∵AB＝2， ∴AD＝BD﹣AB＝3， 在Rt△ACD中，AC＝． 过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E， ∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1， ∴△APE∽△ACD， ∴， 即， 解得AP＝， ∴①点P在线段AC上时，CP＝AC﹣AP＝， ②点P在射线CA上时，CP＝AC+AP＝． 综上所述，CP的长为或． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，作出图形，利用好30°的角构造出直角三角形是解题的关键，要注意分情况讨论，避免漏解． 9．如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、y=ax²+bx+c的最值 【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T， 设， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， 在中， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，中，，，点D，E分别在，，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（　　）    A．2或3 B．2或 C．3或 D．2或4 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据等边对等角证明 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质即可得出，然后根据题意分当时，当时，两种情况分类讨论：当时，利用证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案；当时，过点E作，则，过点A作于M，先根据解直角三角形求出，再证明，根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】解：， 是的外角 即 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： （I）当时， 在和中 ； （II）当时，过点E作，则，过点A作于M，      ， ， 在中， ， 综上所述，的长为2或． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定及性质以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题 11．在中，，，，则的面积等于 ． 【答案】24或48 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵∠A=45°， ， ∴ ， ∴BE=， ∴． 如图，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F， ∵∠A=45°， ， ∴ ， ∴BF=， ∴． 综上所述，的面积等于24或48． 故答案为：24或48． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数、勾股定理，理清题意，画出图形，分类讨论是解题的关键． 12．如图，在中，，，点M从点C出发沿线段向点A移动，连接，交边于点N．若，那么线段 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】过点N作于点H，勾股定理求得，进而可得，，，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点N作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的边角关系是解题的关键． 13．如图，和分别是的直径和弦，且，交于点，若，则 ．        【答案】5 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算 【分析】在中，已知了的长和的度数，求得的长，也就得到了直径的值，连接，同理可在中求出的长，由 即可得解． 【详解】解：连接 在中， ， 则，， ， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ， ． 故答案为．    【点睛】此题主要考查了解直角三角形和圆周角定理的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、解直角三角形的相关计算、已知两点坐标求两点距离、反比例函数与几何综合 【分析】过点B作轴于点D，求出，由反比例函数对称性可知还可以经过点，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，过点B作轴于点D， ， ，， ， ． ， ． 根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点． 若点B经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了． 若点A经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了； 若点A经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了． 综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键． 15．如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、解直角三角形的相关计算 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 16．抛物线的顶点为P，点M、点N为抛物线上的点，若为等边三角形，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知两点坐标求两点距离、等边三角形的性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由题意，令抛物线解析式为，得出，根据为等边三角形，得出，设，则，表示出，列出方程求解，算出，再根据面积公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线中，，且a决定开口方向和开口大小， ∴平移抛物线后，可令， ∴， ∵为等边三角形， ∴关于抛物线对称轴y轴对称，， 由题意，设，则， ∵， ，即， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解方程，两点之间距离公式等知识点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 17．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AB，BC上，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，连接DF，EF，若，则 ．（结果用含n的代数式表示） 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点D作DG⊥AF于点G，设，，运用，，，得出AD，DG的长，再通过翻折的性质及勾股定理，用n的代数式表示x，最后证明，通过相似三角形的性质得到答案． 【详解】解：如图，过点D作DG⊥AF于点G，设，， ∵△ABC为等边三角形，DG⊥AF， ∴，， ∵， ∴，． ∵，， ∴，， ∵△ABC为等边三角形， ∴， ∵，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处， ∴． ． 在中， ∵， ∴， 即， 化简得． ∵△ABC为等边三角形， ∴， ∵将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处， ∴， ∴． ∵， ∴在中，有， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定及性质，综合性比较强，其中大胆设未知量是解题关键． 18．如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②③④ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，利用AA定理证明△FCE∽△FGC，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理分析求解，从而证明③和④． 【详解】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB 又∵DF=DF ∴△ADF≌△CDF， ∴，故①正确； ∵AD∥BC ∴∠DAF=∠FEC 又①中已证△ADF≌△CDF， ∴∠DAF=∠DCF，AF=CF ∴∠DCF=∠FEC 又∵∠CFG=∠CFG ∴△FCE∽△FGC， ∴， 即，故②正确； ∵在菱形中，， ∴∠DBC=∠BDC=30° 又∵ ∴在Rt△DCF中，∠CDE=30° ∴ ∴在菱形ABCD中， 又∵AD∥BC， ∴ 由①已证AF=FC ∴ 由②已证， 设FC=2k，EF=3k ∴FG=，EG= ∴，故③正确； 由③已知 设DF=2a，BF=3a ∴BD=5a ∴在Rt△BDE中， 在Rt△CDE中， 在Rt△DFH中，， ∴ ∴在Rt△FCH中， 又由②③已证，， 设FG=4m，EG=5m，则EF=9m ∴，解得（负值舍去） ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 三、解答题 19．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为，然后沿方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为，测角仪的高度为1.6m．参考数据：，，，．    (1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差． 【答案】(1)12.3m (2)0.3m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、已知正切值求边长 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D ，m，利用即可求解； （2）用即可． 【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点D．    则， 由题意得：m，m，，， 设m，则m，m， 在中， ， ∴m， ∴m， 即观星台最高点A距离地面的高度约为m． （2）解：m． ∴本次测量结果的误差为0.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用题中信息是解题关键． 20．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树.当太阳光与水平线成角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段,米. (1)求树根到地面的距离. (2)求树的高度.（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1)树根到地面的距离为2米 (2)树的高度约为米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是理解题意、熟练掌握锐角三角函数． （1）在中用三角函数解决即可； （2）先在中，求得的长，再在中，求得的长，最后求得的长度． 【详解】（1）解：由题意，知， ． ， （米）． 答：树根到地面的距离为2米． （2）解：在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）， 则（米）． 答：树的高度约为米． 21．如图，两条互相平行的高速公路之间有一条L形乡村公路相连接，已知：千米，千米，求之间的距离．（精确到．参考数据：） 【答案】72千米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过F作于M，交于N，求出千米，千米，即可得到答案． 【详解】解：过F作于M，交于N， ∵， ∴， ∴， ∵千米，， ∴（千米）， ∵， ∴， ∵千米，， ∴（千米）， ∴和之间的距离（千米）． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线． （1）求证：∠BAC＝2∠CDE； （2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）14． 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理和切线的性质即可证明结论； （2）设DC=x，则AC=3x，可得AD=2x，证明△CDE∽△DAE，对应边成比例即可结果． 【详解】解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴∠CAD=∠BAD=∠BAC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE=90°， ∴∠ADC=∠ODE， ∴∠CDE=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠CAD=∠ADO， ∴∠CDE=∠CAD， ∵∠CAD=∠BAC， ∴∠BAC=2∠CDE； （2）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∵cos∠ABC=， ∴AB=3BD， ∴AC=3DC， 设DC=x，则AC=3x， ∴AD==2x， ∵∠CDE=∠CAD，∠DEC=∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴， ∴， ∴DE=8，x=， ∴AC=3x=28， ∴⊙O的半径为14． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识． 23．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，并且测得．轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方向匀速航行，它们的速度分别为和．经过，轮船甲航行至B处，轮船乙航行至D处，测得，此时B处距离码头O有多远？（精确到）（参考数据：） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用三角函数求得和成为解题的关键。 设B处与码头O相距，分别在和中，根据三角函数求得和，再利用列方程求解即可． 【详解】解：设B处与码头O相距， ∵在中，， ； 在中，，， ． ， ， ∴B处距离码头O大约． 24．高架塔式滑雪台已经成为滑雪大跳台项目的重要训练场所，如下图所示，滑道分为，两段，已知，，米，米，图中所有点均在同一平面内（计算结果均四合五人至整数）． 坡角 坡度 初级道： 中级道： 高级道： (1)根据表格判断段滑道属于______（填“初级道”“中级道”或“高级道”）； (2)求滑道的长度； (3)在多次训练的过程中，安全员发现运动员的着陆点大多在与点相距米的点，为了保证高架塔的稳定性，相关团队准备用钢材(即和)加固高架塔，点在点的正下方，点，，，在同一直线上．通过计算说明至少需要钢材和多少米？（参考值：，，，，，） 【答案】(1)高级道 (2)米 (3)至少需要钢材和共米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角的应用，解题关键是找出直角三角形，再根据直角三角形的性质求解． （1）段滑道在中，坡角, 再结合表格即可求解； （2）在中，根据直角三角形的性质求解即可； （3）在，，中，根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：段滑道在中， 坡角， 故答案为：高级道； （2）在中，，米， ， ， 米； （3）在中，，米，， ， 米， 在中，，米，米，，，， ，， 米，米， ， 米， 由图可知：米，米， 米，米， 在中：米， 米． 故至少需要钢材和共米． 25．已知，A为射线上一定点，B为射线上动点（不与点O重合）连接，取的中点C，连接．在射线上取一点D，使得． （1）若， ①如图1，当时，在图1中补全图形，并写出的值； ②如图2，当时，猜想的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）如图3，若，直接写出的值． 【答案】（1）①，②；（2）． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）①由已知可判定是等边三角形，是含30°的直角三角形，由此利用解直角三角形用OA表示出OC、AD即可求解； ②延长OB到G，使OG=OB，构造等边三角形，延长OB到G，使OG=OB，构造中位线OC和，全等三角形性质和中位线性质即可得出结论； （2）根据直角三角形中线和已知垂直条件证明，由边长关系求出相似比即可解答． 【详解】解：（1）①补图如下，， 求解过程：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，在OM上取一点P，使OP=OA， ∴是等边三角形， ∴，， 延长OB到G，使OG=OB， ∵PG=OG+OP，， ∴PG=OB+BD=OD， 在和 中， ， ∴（SAS）， ∴AG=AD， ∵OG=OB，CA=CB， ∴， ∴； （2）， 过程如下：如图， ∵，， ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（ ），， ∴，， ∵， 解得：（不合题意舍去），， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形、三角形的中线和中位线性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．流感主要的发病季节在春季，因为春季正值季节的交换，气候温差大，使人的身体抵抗能力降低，从而引起流感的发生，所以我们要有健康的生活意识，时刻关注自己身体的变化情况，积极地进行预防，某地发生流感，第x天（）的新增病人y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 9 10 y 4 11 20 31 …… 116 139 (1)前10天流感发病人数符合二次函数，根据上表，求出二次函数的解析式； (2)将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线如图一所示，与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．则该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图二，在（2）的抛物线中，点Q是线段上的动点，连接，过点O作，在射线上取一点N，使得，连接，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)周长的最小值为： 【知识点】二次函数图象的平移、求三角形外心坐标、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把，代入，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）把先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线为，可得抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴的交点为，，，，过作，交对称轴于，交于，则为的外接圆圆心，且的解析式为，与对称轴的交点为，满足，此时半径为，从而可得P的坐标，由对称性可得在轴的上方时的坐标． （3）如图，取，连接，作关于的对称点，连接，过作轴于，延长交轴于，证明，可得，在上运动，当在上时，，此时最短，即的周长最短，记，的交点为，而，再求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：把，代入可得： ，解得：， ∴抛物线为： （2）存在，理由如下： 把先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后的抛物线为 ， ∴抛物线的对称轴为直线，且对称轴与轴的交点为， 令，解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∴， 如图，过作，交对称轴于，交于，则为的外接圆圆心，且的解析式为， ∴， ∴与对称轴的交点为，满足， 此时半径为， ∴， ∴， 由对称性可得在轴的上方时，． （3）如图，取，连接，作关于的对称点，连接，过作轴于，延长交轴于， ∵，，， ∴，而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在上运动， 当在上时，，此时最短， ∴的周长最短， 记，的交点为，而， 由，则， ∴，设，则，， ∴，解得， 由对称性可得：， 而， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，抛物线与坐标轴的交点，三角形的外接圆的确定，圆周角定理的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，点的运算轨迹，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，本题难度大，计算量大，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$