第08讲 基本的统计量 （11个知识点+11种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第08讲 基本的统计量 （11个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 知识点2．频数（率）分布表 1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频率分布表． 知识点3．频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 知识点4．统计图的选择 统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择． （1）扇形统计图的特点： ①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小． （2）条形统计图的特点： ①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别． （3）折线统计图的特点： ①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势． 根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望的效果，有时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图． 知识点5．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点6．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 知识点7．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点8．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 知识点9．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点10．标准差 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点11．统计量的选择 （1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小． （2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好． 题型强化 题型一、求一组数据的平均数 1．（2022·上海奉贤·二模）小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（    ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本 2．（21-22九年级下·上海·期中）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 分． 老师1 老师2 老师3 老师4 老师5 老师6 老师7 打分 9 10 7 8 8 9 10 3．（九年级下·上海·课后作业）有一 列数是7、9、3、7、6、9、11、8、 2、9、10，中位数是多少？这列数若再加入3和1000两个数，那么中位数会改变吗？平均数又会有什么变化？ 题型二、已知平均数求未知数据的值 4．（2024·上海·模拟预测）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则 5．（21-22九年级下·上海松江·期中）如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼和成轴对称，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼边缘，且与闸机侧立面夹角． (1)求闸机通道宽度，即和之间的距离； (2)经实践调查，：至：该公园入园游客较多，图为该公园：至：每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为人． ①求出：：时段的入园游客人数； ②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过人”或“在园内游客总数超过人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因． 题型三、求加权平均数 6．（21-22九年级下·上海·单元测试）疫情期间，停课不停学．王老师借助某软件平台随机抽查了若干同学的日常学习时间，并绘制成如图所示的统计图，则被抽查学生日常学习时间的平均数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024九年级下·上海·专题练习）某商店销售、两种型号的新能源汽车，销售一辆型汽车可获利2.4万元，销售一辆型汽车可获利2万元．如果该商店销售、两种型号汽车的数量如图所示，那么销售一辆汽车平均可获利 万元． 题型三、求中位数 8．（2024·上海松江·二模）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 9．（2024·上海静安·二模）一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次，1次，3次，4次，那么这10个数据的中位数是 ． 10．（上海浦东新·中考模拟）19、在2010年上海世博会举行期间，某初级中学组织全校学生参观世博园，亲身体验“城市让生活更美好”的世博理念．为了解学生参观过的5个场馆的最喜爱程度，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（每人应选且只能选一个场馆），数据整理后，绘制成如下的统计图： 请根据统计图提供的信息回答下列问题： （1）本次随机抽样调查的样本容量是 ▲ ； （2）观察表示男生人数的五个条形，这五个条形表示数据的中位数是 ▲ ； （3）如果该校共有2000名学生，而且七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的3倍还多200名，试通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名？ 题型四、利用中位数求未知数据的值 11．（2024·上海杨浦·一模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 12．（2021·上海宝山·三模）如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 （只需写出一个满足要求的数）． 题型五、求众数 13．（21-22九年级下·上海浦东新·期中）某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸单位：码整理后的数据如下：，，，，，，，，，，，，那么这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 14．（21-22九年级下·上海杨浦·阶段练习）已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 6 9 11 9 则这些学生成绩的众数是 分． 15．（21-22九年级下·上海·单元测试）年国家实施新冠病毒疫苗全民接种计划，为了调查城乡居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况（以分计），随机抽取了甲、乙两个社区各名居民的调查问卷结果，相关数据汇总如下： 甲：95，85，98，86，77，87，96，88，91，89，89，91，90，79，91，91，80，91，92，80，93，95，97，98，86 乙：90，95，69，79，98，86，89，89，96，90，92，90，79，90，90，91，87，92，92，87，94，96，79，97，98 请你根据以上提供的信息解答下列问题： (1)下表是两组数据的频数分布表: 甲 0 4 8 13 乙 1 a b 11 其中________, ________； (2)下表是对两组数据的分析： 平均数 中位数 众数 甲 89.4 c 91 乙 89.4 90 d 计算表中，的值； (3)根据上述数据，你认为哪个社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况更好？并说明理由． 题型六、求方差 16．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 17．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知一组数据的方差是3，那么数据的方差是 ． 题型七、根据方差判断稳定性 18．（23-24九年级下·上海·期中）现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是，方差分别是、，如果，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ） A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定 19．（2023·上海浦东新·三模）已知甲乙两位运动员在一次射击训练中各射五发，射击成绩的平均环数相同，甲的方差是；乙的成绩（环）为7、8、10、9、6，那么甲、乙两位运动员中 的成绩稳定． 20．（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 题型八、求极差 21．（20-21九年级下·上海徐汇·阶段练习）已知一组数据的标准差是4，则这组数据的方差等于 ． 题型九、根据数据描述求频率 22．（2023·上海浦东新·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么元这个小组的组频率是（    ） A． B． C． D． 23．（2023·上海虹口·二模）某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    题型十、频数分布直方图 24．（2024·上海·模拟预测）如图，某工厂为选择一种大米包装的质量规格，抽样调查了该大米散装销售时顾客购买的质量，并将收集的数据绘制成右图的频数分布直方图，根据调查结果，下列包装的质量规格中，最为合理的选择是（   ） A．2千克/包 B．3千克/包 C．4千克/包 D．5千克/包 25．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 26．（2022·上海青浦·二模）为了解某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有600名学生的校，抽取40名学生进行调查，调查情况具体如下表： 图表1：感兴趣的运动项目 项目 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 健美操 人数 4 16 10 4 6 (1)此次调查的总体是__________，样本容量是__________． (2)若从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查________（“合适”，“不合适”），原因是样本不是________样本； (3)根据图表1，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为_____； (4)根据图表2，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第___组． (5)若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每10次投篮命中的个数． 甲同学：10、5、7、9、4；乙同学：7、8、7、6、7．若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的________，因为这个量可以代表数据的________．请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，选择合适的队员． 题型十一、频数分布表 27．（21-22九年级下·上海·期中）为了了解全区近 3600 名初三学生数学学习状况，随机抽取 600 名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值） 分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 频 数 12 18 180 频 率 0.16 0.04 根据上表信息， 由此样本请你估计全区此次成绩在 70 ～ 80 分的人数大约是（   ）． A．270 B．96 C．24 D．1620 28．（2024·上海青浦·二模）某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有 名学生的成绩达到A等级． 成绩频数分布表 等第 成绩x 频数 A n B 117 C 32 D 8 成绩扇形统计图 分层练习 一、单选题 1．一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则样本标准差为（     ） A．2 B．10 C． D． 2．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S2甲=0.25，S2乙=0.3，S2丙=0.4，S2丁=0.35，你认为派谁去参赛更合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．小明在某次考试中，各科成绩分别是126，132，132，136，146，1■6，118，其中一科成绩的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．如表是某超市上半年的月营业额单位：万元． 月营业额 月数 下列结论不正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数 C．众数是 D．方差是 5．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 二、填空题 7．某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 分． 8．某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是 ． 9．甲、乙、丙三位同学在五次数学测试中，他们的平均成绩分别为，，，方差分别为，，，甲、乙、丙三位同学中成绩较稳定的是 同学． 10．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是 ． 11．某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（75分及以上）的学生有 人．    12．某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： 零件个数（个） 5 6 7 8 人数（人） 3 15 22 10 表中表示零件个数的数据中，众数是 ． 13．如果一组数据2，4，，3，5的众数是4，那么该组数据的中位数是 ． 14．若一组数据2，3，4，5，6的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“>”“<”或“=”）． 15．已知样本数据的方差为3，那么另一组数据、、、、的方差是 16．对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是0.4，3.2，1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是 . 17．某班有名学生，其中名女生的平均身高为名男生的平均身高为则全班的平均身高为 18．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下的频数分布表，则他家通话时间不超过15min的频率为 ． 通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 频数/通话次数 20 16 9 5 三、解答题 19．某校初三（1）班进行立定跳远训练，以下是李超和陈辉同学六次的训练成绩（单位：m） 1 2 3 4 5 6 李超 2．50 2．42 2．52 2．56 2．48 2．58 陈辉 2．54 2．48 2．50 2．48 2．54 2．52 （1）李超和陈辉的平均成绩分别是多少？ （2）分别计算两人的六次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？为什么？ （3）若预知参加级的比赛能跳过2．55米就可能得冠军，应选哪个同学参加？为什么？ 20．学校为参加市教育局举办的“喜迎十四运，我要上全运”合唱比赛活动，计划在本校选拔出优秀选手组成学校的代表队．现将脱颖而出的50名选手分成两组进行比赛，每组25人，成绩整理并绘制成如下的统计图，请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）请你将条形统计图补充完整： （2）请你将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一组 74 m 80 104 二组 74 70 n 72 其中_______分，_______分 （3）从本次统计数据来看，_________组的选手发挥比较稳定． 21．为纪念毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年，深入贯彻落实习近平总书记关于弘扬雷锋精神的重要指示精神，引导广大青少年深刻把握雷锋精神的时代内涵和实践要求．某校团委开展“青春辽宁，雷锋精神我传承”主题活动，所有学生都参加了“新时代雷锋式好少年”知识竞赛活动．然后随机抽取部分学生成绩进行抽样分析，并将数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样的样本容量为_______，“优秀”成绩等级所在扇形圆心角的度数是______； (2)样本中学生成绩的中位数出现在_______成绩等级中，请补全条形统计图； (3)若该校共有800名学生，估计在这次知识竞赛中获得良好及以上成绩等级的学生有多少名？ 22．体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．某县教体局为了解辖区内4，B两所学校九年级学生的体质健康情况，从A，B两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10 分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表∶ A校成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： (1)填空：__________，_________； (2)补齐B校成绩条形统计图； (3)①A校成绩的中位数为_________，B校成绩的中位数为___________； ②分别计算A、B两所校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两所学校九年级学生的体质测试成绩情况． 23．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为分．前名选手的得分如下： 选手序号 笔试成绩/分 面试成绩/分 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为分） （1）这名选手笔试成绩的中位数是______分，众数是______分． （2）现得知号选手的综合成绩为分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比． 24．某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如下表： 小组 研究报告分 小组展示分 答辩分 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三个小组的排名顺序． （2）该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 25．某校要从小明和小亮两名运动员中挑出一人参加立定跳远比赛，学校记录了二人在最近的6次立定跳远选拔赛中的成绩（单位：），并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息， a．如图   b．小亮最近6次选拔赛成绩如下： 250 254 260 271 255 240 c．小明和小亮最近6次选拔赛中成绩的平均数、中位数、方差如下图： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 方差 小明 a 252.5 129.7 小亮 255 m n (1)_______；_______；_______ (2)根据这6次选拔赛成绩，你认为应选_______（填“小明”或“小亮”）参加这项比赛，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 26．今年全民国家安全教育日宣传教育活动的主题是“总体国家安全观•创新引领10周年”．某校组织了有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，单位：分），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生C组的竞答成绩为：81，81，82，82，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：60，61，61，63，70，72，74，75，81，84，84，84，84，90，90，91，91，92，93，100． 七年级抽取的竞赛成绩扇形图 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数． 27．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84  85  85  86  86  88  89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全a中频数分布直方图； (2)七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； (3)已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 基本的统计量 （11个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 知识点2．频数（率）分布表 1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频率分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频率分布表． 知识点3．频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 知识点4．统计图的选择 统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择． （1）扇形统计图的特点： ①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小． （2）条形统计图的特点： ①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别． （3）折线统计图的特点： ①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势． 根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望的效果，有时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图． 知识点5．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点6．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 知识点7．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 知识点8．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 知识点9．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点10．标准差 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 知识点11．统计量的选择 （1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小． （2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好． 题型强化 题型一、求一组数据的平均数 1．（2022·上海奉贤·二模）小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（    ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】根据表格及平均数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 这20名同学该周课外书阅读量的平均数为（本）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键． 2．（21-22九年级下·上海·期中）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果7位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是 分． 老师1 老师2 老师3 老师4 老师5 老师6 老师7 打分 9 10 7 8 8 9 10 【答案】8.8 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】先去掉一个最高分和一个最低分，再根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数为：（9+10+8+8+9）＝8.8（分）， 即这位学生的现场综合评价得分是8.8分， 故答案为：8.8． 【点睛】本题考查了游戏公平性以及平均数的计算，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 3．（九年级下·上海·课后作业）有一 列数是7、9、3、7、6、9、11、8、 2、9、10，中位数是多少？这列数若再加入3和1000两个数，那么中位数会改变吗？平均数又会有什么变化？ 【答案】排序：2、3、6、7、7、8、9、9、9、10、11；中位数为8；排序：2、3、3、6、7、7、8、9、9、9、10、11、1000；中位数不变，平均数变大 【知识点】求中位数、求一组数据的平均数 【分析】首先把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是9，9是奇数，所以处于中间的数就是此组数据的中位数；加入两个数后，重新排列顺序，即可判定中位数和平均数的变化. 【详解】排序：2、3、6、7、7、8、9、9、9、10、11； ∴中位数为8；平均数为 加入3和1000两个数，排序：2、3、3、6、7、7、8、9、9、9、10、11、1000；中位数为8；平均数为 ∴中位数不变，平均数变大. 【点睛】此题主要考查中位数和平均数的性质，熟练掌握，即可解题. 题型二、已知平均数求未知数据的值 4．（2024·上海·模拟预测）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则 【答案】8 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查平均数的计算，关键是掌握平均数的计算公式．根据平均数计算公式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：8． 5．（21-22九年级下·上海松江·期中）如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼和成轴对称，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼边缘，且与闸机侧立面夹角． (1)求闸机通道宽度，即和之间的距离； (2)经实践调查，：至：该公园入园游客较多，图为该公园：至：每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为人． ①求出：：时段的入园游客人数； ②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过人”或“在园内游客总数超过人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因． 【答案】(1) (2)①人；②：：和：：需要限流，理由见解析 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过A作于点，过作于点，根据三角函数即可得到答案； （2）平均数为人，设：：人数为，然后根据平均数概念列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过A作于点，过作于点， 直角三角形中，， 同理，且，， 与间的距离为． （2）①平均数为人，设：：人数为， ， ， ：：时段的入园游客人数为； ②：：和：：需要限流， ：：限流原因：入园人数是，超过； ：：限流原因如下： ：：入园总人数为人超过人； ：：入园人数为：人，超过人； ：：时段入园游客超过人或在园内游客总数超过人． 【点睛】此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键． 题型三、求加权平均数 6．（21-22九年级下·上海·单元测试）疫情期间，停课不停学．王老师借助某软件平台随机抽查了若干同学的日常学习时间，并绘制成如图所示的统计图，则被抽查学生日常学习时间的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求加权平均数 【分析】先求得学习时间6小时的所占比例，再利用加权平均数求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，学习时间6小时的所占比例为， 故被抽查学生日常学习时间的平均数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的定义． 7．（2024九年级下·上海·专题练习）某商店销售、两种型号的新能源汽车，销售一辆型汽车可获利2.4万元，销售一辆型汽车可获利2万元．如果该商店销售、两种型号汽车的数量如图所示，那么销售一辆汽车平均可获利 万元． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的应用；根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明的总成绩，本题得以解决． 【详解】解：（万元）， 即销售一辆汽车平均可获利万元， 故答案为：． 题型三、求中位数 8．（2024·上海松江·二模）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数可能会改变，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变． 故选A． 9．（2024·上海静安·二模）一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次，1次，3次，4次，那么这10个数据的中位数是 ． 【答案】 【知识点】求中位数 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：这组数据中第5、6个数据分别为，， 所以这10个数据的中位数是， 故答案为：． 10．（上海浦东新·中考模拟）19、在2010年上海世博会举行期间，某初级中学组织全校学生参观世博园，亲身体验“城市让生活更美好”的世博理念．为了解学生参观过的5个场馆的最喜爱程度，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（每人应选且只能选一个场馆），数据整理后，绘制成如下的统计图： 请根据统计图提供的信息回答下列问题： （1）本次随机抽样调查的样本容量是 ▲ ； （2）观察表示男生人数的五个条形，这五个条形表示数据的中位数是 ▲ ； （3）如果该校共有2000名学生，而且七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的3倍还多200名，试通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名？ 【答案】（1）300； …………………………………………………………………2分 （2）30名；…………………………………………………………………………1分 （3）设该校九年级学生人数为x名． 根据题意，得 ．………………………………………1分 解方程，得 ．………………………………………………………1分 ∴ （名）． 答：估计该校九年级学生喜欢中国馆的人数约为159名．     ………………1分 【知识点】求中位数 【详解】（1）将各馆的男生女生相加即可得出本次随机抽样调查的样本容量． （2）将各馆的人数按从少到多依次排列，从而可得出中位数． （3）设该校九年级学生人数为x名，然后根据题意可得2000-x=3x+2，解出即可． 题型四、利用中位数求未知数据的值 11．（2024·上海杨浦·一模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a； ∴． ∴D符合题意 故选D． 12．（2021·上海宝山·三模）如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 （只需写出一个满足要求的数）． 【答案】4 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可． 【详解】解：∵这组数据有5个数，且中位数是4， ∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a， ∴a≥4或a≥5， 故答案是4（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 题型五、求众数 13．（21-22九年级下·上海浦东新·期中）某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸单位：码整理后的数据如下：，，，，，，，，，，，，那么这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求众数、求中位数 【分析】首先把所给数据重新从小到大排序，然后根据中位数和众数的定义即可求出结果． 【详解】解：题中所给数据刚好是从小到大排列的， 中间位置的数是41，出现次数最多的数是41， 中位数为，众数为． 故选：D． 【点睛】本题用到的知识点是：一组数据从小到大（或从大到小）依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数；给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数，在一组数据中，众数可能不止一个． 14．（21-22九年级下·上海杨浦·阶段练习）已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 6 9 11 9 则这些学生成绩的众数是 分． 【答案】9 【知识点】求众数 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可． 【详解】试题分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可． 解：这组数据出现次数最多的为：9， 故众数为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了众数的定义，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 15．（21-22九年级下·上海·单元测试）年国家实施新冠病毒疫苗全民接种计划，为了调查城乡居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况（以分计），随机抽取了甲、乙两个社区各名居民的调查问卷结果，相关数据汇总如下： 甲：95，85，98，86，77，87，96，88，91，89，89，91，90，79，91，91，80，91，92，80，93，95，97，98，86 乙：90，95，69，79，98，86，89，89，96，90，92，90，79，90，90，91，87，92，92，87，94，96，79，97，98 请你根据以上提供的信息解答下列问题： (1)下表是两组数据的频数分布表: 甲 0 4 8 13 乙 1 a b 11 其中________, ________； (2)下表是对两组数据的分析： 平均数 中位数 众数 甲 89.4 c 91 乙 89.4 90 d 计算表中，的值； (3)根据上述数据，你认为哪个社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况更好？并说明理由． 【答案】(1)3，10 (2) (3)甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况掌握较好，理由：甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况的中位数较高． 【知识点】频数分布表、求众数、求中位数 【分析】（1）根据数据统计可得出各组的频数，即可得到a、b的值； （2）根据中位数、众数的定义可求出甲社区的中位数和乙社区的众数，即求出c、d的值； （3）从中位数、众数的大小比较得出结论． 【详解】（1）解：由频数的统计方法可得，， 故答案为：3，10； （2）解：将甲社区的25名居民的成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数为91分，即甲社区的中位数， 乙社区25名居民的成绩中出现次数最多的是90分，共出现5次，因此乙社区的众数， 答：，； （3）解：甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况掌握较好，理由：甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况的中位数较高． 【点睛】本题考查频数分布统计表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． 题型六、求方差 16．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 【答案】B 【知识点】求方差、求一组数据的平均数 【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ∴平均数不变，方差变小， 故选：B． 17．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知一组数据的方差是3，那么数据的方差是 ． 【答案】3 【知识点】求方差 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据的方差是3， 数据的方差是3． 故答案为：3． 题型七、根据方差判断稳定性 18．（23-24九年级下·上海·期中）现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是，方差分别是、，如果，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ） A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定 【答案】A 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查方差的意义．根据方差的意义，方差越小，数据越稳定，比较方差后可以作出判断． 【详解】根据方差的意义，方差越小，数据越稳定， ∵，甲、乙队员的平均身高相同， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴甲队队员的身高较为整齐． 故选． 19．（2023·上海浦东新·三模）已知甲乙两位运动员在一次射击训练中各射五发，射击成绩的平均环数相同，甲的方差是；乙的成绩（环）为7、8、10、9、6，那么甲、乙两位运动员中 的成绩稳定． 【答案】甲 【知识点】根据方差判断稳定性、求方差 【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定． 【详解】解：乙的平均成绩为， 方差为：， 甲的方差为， 甲的方差较小， 成绩较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的知识，解题的关键是了解方差的意义并牢记方差的计算公式，难度不大． 20．（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)178；178 (3)甲仪仗队 【知识点】求加权平均数、根据方差判断稳定性、统计表 【分析】本题考查数据的整理，求加权平均数和方差，掌握方差的计算公式是解题的关键 （1）仔细分析表中数据即可得到结果； （2）根据加权平均数公式分别计算即可； （3）先分别计算出两支仪仗队身高的方差，再比较即可判断． 【详解】（1）填表为： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 3 0 乙（人数） 2 1 4 1 2 （2）甲队队员身高的平均数为：（厘米） ， 乙队队员身高的平均数为：（厘米）； 故答案为：178；178 （3）解： ∵， ∴甲仪仗队身高更为整齐． 题型八、求极差 21．（20-21九年级下·上海徐汇·阶段练习）已知一组数据的标准差是4，则这组数据的方差等于 ． 【答案】16 【知识点】标准差、求方差 【分析】根据标准差的平方等于方差即可完成． 【详解】∵标准差的平方等于方差 ∴这组数据的方差为 故答案为：16 【点睛】本题考查了标准差与方差的关系，掌握这一关系是关键． 题型九、根据数据描述求频率 22．（2023·上海浦东新·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么元这个小组的组频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】根据频率等于频数除以总数进行计算即可． 【详解】解：由图可知，元这个小组的频数为：80人， ∴元这个小组的频率为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率，熟记频率等于频数除以总数是解题的关键． 23．（2023·上海虹口·二模）某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    【答案】 【知识点】频数分布直方图、根据数据描述求频率 【分析】根据频数分布直方图可知组距为10，求得得分在60分到70分(含60分，不含70分)的值，进而即可求解． 【详解】设的频率/组距为：， 由题意得， 解得：， ∴频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，掌握频数、频率的关系是解题的关键． 题型十、频数分布直方图 24．（2024·上海·模拟预测）如图，某工厂为选择一种大米包装的质量规格，抽样调查了该大米散装销售时顾客购买的质量，并将收集的数据绘制成右图的频数分布直方图，根据调查结果，下列包装的质量规格中，最为合理的选择是（   ） A．2千克/包 B．3千克/包 C．4千克/包 D．5千克/包 【答案】A 【知识点】求加权平均数、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图特征从而得答案，解题的关键是理解频数分布直方图． 【详解】解：由频数分布直方图知，所列包装的质量规格中选择2千克/包的人数最多， 所以较为合理的选择是2千克/包， 故选：A． 25．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 【答案】 【知识点】频数分布直方图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体．用乘被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时所占的比例即可．解题的关键是正确理解题意并从频数分布直方图中获取相关信息． 【详解】解：由频数分布直方图可知： 每周阅读课外书籍的时间在至小时的学生约有：（名）， ∴在被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有： （名）， ∴（名） ∴估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有名． 故答案为：． 26．（2022·上海青浦·二模）为了解某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有600名学生的校，抽取40名学生进行调查，调查情况具体如下表： 图表1：感兴趣的运动项目 项目 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 健美操 人数 4 16 10 4 6 (1)此次调查的总体是__________，样本容量是__________． (2)若从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查________（“合适”，“不合适”），原因是样本不是________样本； (3)根据图表1，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为_____； (4)根据图表2，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第___组． (5)若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每10次投篮命中的个数． 甲同学：10、5、7、9、4；乙同学：7、8、7、6、7．若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的________，因为这个量可以代表数据的________．请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，选择合适的队员． 【答案】(1)某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，40 (2)不合适；随机抽样 (3)240 (4)三 (5)方差；离散程度；选择乙 【知识点】频数分布直方图、根据方差判断稳定性、总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）根据总体及样本容量的相关概念可直接进行求解； （2）由题意可直接求解； （3）由图表1及题意可直接进行求解； （4）由题意知一共抽取40名学生进行调查，则将数据从小到大排列，第20，21和的平均数即为中位数，进而根据图表2可求解； （5）根据题意可求出方差，然后问题可求解． 【详解】（1）解：总体是指要调查对象的全体，所以此次调查的总体是某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，样本容量是样本中个体的数量，所以样本容量是40； 故答案为某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，40； （2）解：9年级某学习加强班不具有代表性，样本抽取选择要有代表性，所以这样的调查不合适，样本不是随机抽样样本； 故答案为：不合适；随机抽样； （3）解：由题意得：（名）； 故答案为240； （4）解：由题意知一共抽取40名学生进行调查，则将数据从小到大排列，第20，21和的平均数即为中位数， ∴， 所以中位数落在第三组； 故答案为三； （5）解：选择最稳定的同学，应该计算两位同学的方差，方差代表数据的离散程度； ∴甲的平均数：；乙的平均数：， 甲的方差：； 乙的方差：； 因为，所以从稳定性考虑，应选择乙同学； 故答案为方差；离散程度；选择乙． 【点睛】本题主要考查平均数、众数、中位数、方差及频数直方图；熟练掌握平均数、众数、中位数、方差及频数直方图是解题的关键． 题型十一、频数分布表 27．（21-22九年级下·上海·期中）为了了解全区近 3600 名初三学生数学学习状况，随机抽取 600 名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值） 分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 频 数 12 18 180 频 率 0.16 0.04 根据上表信息， 由此样本请你估计全区此次成绩在 70 ～ 80 分的人数大约是（   ）． A．270 B．96 C．24 D．1620 【答案】D 【知识点】频数分布表、用样本的频数估计总体的频数 【分析】根据题意和表格中的数据可以求得样本中成绩在分的人数，从而可以估计全区此次成绩在分的人数； 【详解】解：由题意可得，样本中成绩在分的人数为：，， 故答案为：D． 【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出全区此次成绩在分的人数． 28．（2024·上海青浦·二模）某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有 名学生的成绩达到A等级． 成绩频数分布表 等第 成绩x 频数 A n B 117 C 32 D 8 成绩扇形统计图 【答案】 【知识点】频数分布表、由扇形统计图求总量、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用乘以A等级人数的占比即可求解． 【详解】解：本次抽取的人数为人， ∴A等级的人数为人， 估计该校共有达到A等级的学生数为人， 故答案为：． 分层练习 一、单选题 1．一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则样本标准差为（     ） A．2 B．10 C． D． 【答案】C 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、标准差、求方差 【分析】考查的是样本平均数与标准差的计算，熟练掌握方差和标准差的计算公式是解题的关键； 先由平均数的公式计算出x的值，根据方差的公式计算出方差，再计算出标准差． 【详解】数据1，3，2，5，x的平均数是3， ， 解得：， 这组数据的方差是： 数据的标准差等于； 故选C． 2．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是S2甲=0.25，S2乙=0.3，S2丙=0.4，S2丁=0.35，你认为派谁去参赛更合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】运用方差做决策 【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】因为方差越小成绩越稳定， 故选甲． 故选：A． 【点睛】本题考查方差，解题的关键是理解方差越小成绩越稳定． 3．小明在某次考试中，各科成绩分别是126，132，132，136，146，1■6，118，其中一科成绩的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【知识点】求中位数、求方差 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的定义对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据的平均数、众数和方差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为132，与被涂污数字无关． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差、中位数、平均数和众数的概念，属于基础题，掌握以上知识的定义是解题的关键． 4．如表是某超市上半年的月营业额单位：万元． 月营业额 月数 下列结论不正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数 C．众数是 D．方差是 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】根据数据计算出平均数、中位数、众数和方差，可得答案． 【详解】解：平均数为万元，故A正确，不符合题意； 按顺序排列后第个数是，第个数是，所以中位数是万元，故B正确，不符合题意； 出现最多的是，所以众数是万元，故C错误，符合题意； 方差是万元故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的计算方法是解题关键． 5．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率、根据数据描述求频率 【分析】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意； 、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键． 6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用中位数做决策、运用众数做决策、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 二、填空题 7．某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 分． 【答案】88 【知识点】求加权平均数 【分析】把每个分数与其权重相乘再相加即可得到加权平均数． 【详解】解：根据题意得： 90×80%+80×20%＝88（分）， 答：A同学的平均分是88分． 故答案为：88． 【点睛】本题考查加权平均数的求法，掌握计算方法是本题关键． 8．某班在大课间活动中抽查了10名学生每分钟跳绳次数，得到如下数据（单位：次）：88，9l，93，102，108，117，121，130，146，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是 ． 【答案】0.4 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】根据频率=频数÷总次数即可求解. 【详解】跳绳次数在90～110这一组的同学有4个， 则频率＝4÷10＝0.4． 故答案为0.4． 【点睛】本题考查了频率的计算公式，掌握即可解得此题. 9．甲、乙、丙三位同学在五次数学测试中，他们的平均成绩分别为，，，方差分别为，，，甲、乙、丙三位同学中成绩较稳定的是 同学． 【答案】甲 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查用方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴甲同学的成绩好一点， ∵，，，且， ∴甲同学的成绩较稳定， 即甲、乙、丙三位同学中成绩较稳定的是甲同学． 故答案为：甲． 10．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是 ． 【答案】乙 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵，， ，且平均成绩相同， ∴射击成绩更为稳定的运动员是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 11．某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（75分及以上）的学生有 人．    【答案】125 【知识点】频数分布直方图 【分析】根据条形统计图可以得到75分及以上的学生人数. 【详解】75分及以上的学生有：35+60+30=125人， 故答案为125. 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，以及利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断并解决问题． 12．某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： 零件个数（个） 5 6 7 8 人数（人） 3 15 22 10 表中表示零件个数的数据中，众数是 ． 【答案】7 【知识点】求众数 【分析】根据众数的定义即可求解，众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵7出现了22次，次数最多， ∴众数是7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了求众数，掌握众数的定义是解题的关键． 13．如果一组数据2，4，，3，5的众数是4，那么该组数据的中位数是 ． 【答案】4 【知识点】求中位数、 利用众数求未知数据的值 【分析】根据众数为4，可得x等于4，然后根据中位数的概念，求解即可． 【详解】解：因为这组数据的众数是4， ∴x=4， 则数据为2、3、4、4、5， 所至这组数据的中位数为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 14．若一组数据2，3，4，5，6的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】求方差、求一组数据的平均数 【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查方差的计算，能熟练的计算一组数据的方差是解题关键． 15．已知样本数据的方差为3，那么另一组数据、、、、的方差是 【答案】3 【详解】试题分析：方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大.数据与数据、、、、的波动大小一样，所以数据、、、、的方差是3． 考点：方差的意义 16．对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是0.4，3.2，1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是 . 【答案】甲 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】根据方差的意义即可得出结论． 【详解】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为=0.4，=3.2， =1.6， 方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲, 故答案为甲． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 17．某班有名学生，其中名女生的平均身高为名男生的平均身高为则全班的平均身高为 【答案】 【分析】根据加权平均数的公式求解即可． 【详解】解：全班的平均身高为：（cm）． 故答案为：166． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求163，168这两个数的平均数，对平均数的理解不正确． 18．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下的频数分布表，则他家通话时间不超过15min的频率为 ． 通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 频数/通话次数 20 16 9 5 【答案】0.9 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】观察表格可得，通话次数总共有（20+16+9+5）次，通话时间不超过15min的次数为（20+16+9）次，由此即可解答. 【详解】由题意和表格可得， 不超过15min的频率为： ， 故答案为0.9． 【点睛】本题考查了频率的计算公式，熟知频率公式（频率= ）是解决问题的关键． 三、解答题 19．某校初三（1）班进行立定跳远训练，以下是李超和陈辉同学六次的训练成绩（单位：m） 1 2 3 4 5 6 李超 2．50 2．42 2．52 2．56 2．48 2．58 陈辉 2．54 2．48 2．50 2．48 2．54 2．52 （1）李超和陈辉的平均成绩分别是多少？ （2）分别计算两人的六次成绩的方差，哪个人的成绩更稳定？为什么？ （3）若预知参加级的比赛能跳过2．55米就可能得冠军，应选哪个同学参加？为什么？ 【答案】（1）2．51，2．51；（2）陈辉，理由参见解析；（3）选李超，理由参见解析． 【知识点】根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【详解】试题分析：（1）此题是求算术平均数，分别将六个数据加在一起再除以6，就是李超和陈辉的平均成绩；（2）用方差公式求出每个人的方差，方差小的成绩稳定；（3）看训练数据，谁跳过2．55米可能性大，就选谁． 试题解析：（1）李超的平均成绩：（2．50+2．42+2．52+2．56+2．48+2．58）÷6=15．06÷6=2．51；陈辉的平均成绩：（2．54+2．48+2．50+2．48+2．54+2．52）÷6=15．06÷6=2．51； （2）李超的方差：=0．00277=2．77， 陈辉的方差：=0．000633=6．33； 因为陈辉的方差小．所以陈辉的成绩稳定； （3）看训练数据,李超有两次次高过2．55，而陈辉一次也没有高过2．55的，所以选李超，因为他能跳过2．55米的可能性大． 考点：数据的分析． 20．学校为参加市教育局举办的“喜迎十四运，我要上全运”合唱比赛活动，计划在本校选拔出优秀选手组成学校的代表队．现将脱颖而出的50名选手分成两组进行比赛，每组25人，成绩整理并绘制成如下的统计图，请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）请你将条形统计图补充完整： （2）请你将表格补充完整； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一组 74 m 80 104 二组 74 70 n 72 其中_______分，_______分 （3）从本次统计数据来看，_________组的选手发挥比较稳定． 【答案】（1）补图见解析；（2）80，80；（3）二． 【知识点】求中位数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】（1）首先求得第一组中70分的人数，再补全条形图即可； （2）第一组由条形图根据众数、中位数的定义即可求得；第二组根据扇形统计图，可知出现最多的数是80，利用总人数25乘以该组的百分数求得80分的人数，从而求得众数； （3）根据方差是描述一组数据波动大小的量，方差小的稳定． 【详解】解：（1）第一组中70分的人数是，补全条形统计图如下： （2）第一组，25个数据按由小到大排列，第13个数为80，故中位数为：m=80； 第二组中80分的人数是，占比最高，则众数为：n=80， 故答案为：80，80； （3）方差小的是二组，则二组稳定． 故答案为：二． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．为纪念毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年，深入贯彻落实习近平总书记关于弘扬雷锋精神的重要指示精神，引导广大青少年深刻把握雷锋精神的时代内涵和实践要求．某校团委开展“青春辽宁，雷锋精神我传承”主题活动，所有学生都参加了“新时代雷锋式好少年”知识竞赛活动．然后随机抽取部分学生成绩进行抽样分析，并将数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样的样本容量为_______，“优秀”成绩等级所在扇形圆心角的度数是______； (2)样本中学生成绩的中位数出现在_______成绩等级中，请补全条形统计图； (3)若该校共有800名学生，估计在这次知识竞赛中获得良好及以上成绩等级的学生有多少名？ 【答案】(1)50， (2)良好，见解析 (3)640名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数 【分析】（1）根据条形统计图中的数据与扇形图中对应的百分比即可求出样本容量；再用样本容量减去“良好”，“及格”，“不及格”的人数，即可得到“优秀”的人数，再除以样本容量乘以，即可解答； （2）根据中位数的概念，补全条形统计图即可解答； （3）根据样本中良好及以上的学生所占比例估算全校学生的情况即可． 【详解】（1）解：样本容量为， “优秀”人数为（人） “优秀”成绩等级所在扇形圆心角的度数是， 故答案为：50，； （2）中位数为第25名与第26名学生的成绩除以2， 故中位数在良好成绩等级中； 补全条形统计图如图所示：    （3）800×＝640（名） 答：估计该校学生在这次知识竞赛中获得良好及以上成绩等级的学生约有640名． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，中位数的概念，以及根据样本容量估计总数，熟练掌握根据条形统计图和扇形统计图中的相关数据进行计算是解题的关键． 22．体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．某县教体局为了解辖区内4，B两所学校九年级学生的体质健康情况，从A，B两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10 分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表∶ A校成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： (1)填空：__________，_________； (2)补齐B校成绩条形统计图； (3)①A校成绩的中位数为_________，B校成绩的中位数为___________； ②分别计算A、B两所校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两所学校九年级学生的体质测试成绩情况． 【答案】(1)，12 (2)见解析 (3)①9，8；②，，从中位数、平均数角度看A校成绩较好 【知识点】求中位数、求一组数据的平均数、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）用分别减去其它三部分的度数可得的值；根据B校9分的人数和它所占比例可得B校人数，再根据两校抽取的人数相等可得的值； （2）先求出7分的人数，再补齐B校成绩条形统计图； （3）①根据中位数的定义解答即可；②根据加权平均数公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，； B校人数为：（人， 故． 故答案为：，12； （2）B校7分人数为：（人， 补齐B校成绩条形统计图如下： （3）A校成绩从小到大排序，第10，11个数为9，9，故中位数为（分）； B校成绩从小到大排序，第10，11个数为8，8，故中位数为（分）； 故答案为：9，8； A校成绩的平均数为：（分）； B校成绩的平均数为：（分）； 因为，， 所以从中位数、平均数角度看A校成绩较好． 23．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为分．前名选手的得分如下： 选手序号 笔试成绩/分 面试成绩/分 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为分） （1）这名选手笔试成绩的中位数是______分，众数是______分． （2）现得知号选手的综合成绩为分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比． 【答案】（1）84.5，84；（2）笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60% 【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数 【分析】（1）要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数；再找出出现的次数最多的数即是众数； （2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是，，根据题意列出方程组，求出，的值即可． 【详解】解：（1）笔试成绩的平均数：（分； 把这组数据从小到大排列为：80，84，84，85，90，92， 最中间两个数的平均数是（分， 则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5分； 84出现了2次，出现的次数最多，则这6名选手笔试成绩的众数是84分； （2）设笔试成绩占的百分比是，面试成绩占的百分比是，根据题意得： ， 解得：． 故笔试成绩占的百分比是，面试成绩占的百分比是． 【点睛】此题考查了中位数、众数、加权平均数，用到的知识点是中位数、众数、加权平均数的计算公式，关键是灵活运用有关知识列出算式． 24．某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如下表： 小组 研究报告分 小组展示分 答辩分 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三个小组的排名顺序． （2）该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按，，的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 【答案】（1）排名顺序为甲、乙、丙；（2）丙组获得冠军． 【知识点】利用平均数做决策、运用加权平均数做决策 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）根据加权平均数的定义计算可得． 【详解】（1）， ， ， ∴， ∴排名顺序为：甲、乙、丙； （2）由题意可知， 只有甲的“小组展示(分)”低于80分，不符合规定． 乙：82×50%+88×30%+79×20%=83.2， 丙：88×50%+83×30%+75×20%=83.9， ∴丙组成绩最高，获得冠军． 【点睛】本题主要考查了平均数，熟练运用平均数与加权平均数公式是解题的关键． 25．某校要从小明和小亮两名运动员中挑出一人参加立定跳远比赛，学校记录了二人在最近的6次立定跳远选拔赛中的成绩（单位：），并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息， a．如图   b．小亮最近6次选拔赛成绩如下： 250 254 260 271 255 240 c．小明和小亮最近6次选拔赛中成绩的平均数、中位数、方差如下图： 根据以上信息，回答下列问题： 平均数 中位数 方差 小明 a 252.5 129.7 小亮 255 m n (1)_______；_______；_______ (2)根据这6次选拔赛成绩，你认为应选_______（填“小明”或“小亮”）参加这项比赛，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】(1)，， (2)小亮；小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查方差，平均数，中位数等知识； （1）根据平均数，中位数，方差的定义逐个计算即可； （2）从中位数，平均数，方差去分析即可． 【详解】（1）小明平均数为， 小亮最近6次选拔赛成绩从小到大排列后为240，250，254，255，260，271，则其中位数， 小亮最近6次选拔赛成绩方差为， 故答案为：，，； （2）选：小亮． 理由：小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大． 故答案为：小亮；小亮的平均数比小明大，方差较小，且中位数更大． 26．今年全民国家安全教育日宣传教育活动的主题是“总体国家安全观•创新引领10周年”．某校组织了有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，单位：分），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生C组的竞答成绩为：81，81，82，82，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：60，61，61，63，70，72，74，75，81，84，84，84，84，90，90，91，91，92，93，100． 七年级抽取的竞赛成绩扇形图 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数． 【答案】(1)，，； (2)八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大． (3)人 【知识点】运用中位数做决策、求中位数、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可求解a和b，用“组”的人数除以总人数乘以可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较即可得出结论； （3）分别用七、八年级总人数乘七、八年级学生中竞答成绩不低于90分人数所占百分比，再相加即可． 【详解】（1）解：由题知，，即， （人）， 七年级组和组所占人数为8人，七年级中位数为第10位和第11位成绩的平均数， 即， 八年级众数， 故答案为：，，． （2）解：八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大． （3）解：由题意知，（人）， 答：该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数为人． 【点睛】本题主要考查中位数、众数的定义，利用中位数、众数做决策，用样本估计总体，以及统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键． 27．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84  85  85  86  86  88  89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全a中频数分布直方图； (2)七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； (3)已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 【答案】(1)见解析 (2)88.5；94 (3)435 【知识点】求众数、求中位数、频数分布直方图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为的学生人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案． 【详解】（1）解：成绩为的学生人数为（人）， 补全的频数分布直方图如图所示： （2）将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是（分） 八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94； 故答案为：88.5；94； （3）（人） 答：估计这两个年级共有435人达到了优秀． 学科网（北京）股份有限公司 $$