专题1.12 三角形的证明（图形变换——最值问题）（全章分层专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.11 三角形的证明（图形变换——折叠问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................4 第三部分：培优拓展.............................................................................................................7 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（）    A．8 B．12 C．16 D．18 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（   ） A．10 B．5 C．3 D．2.5 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是（    ） A． B． C．10 D．12 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点分别是的动点，若周长的最小值等于5，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 9．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 10．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点是内的定点，且．若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是 ． 11．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中 ，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是 ． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（    ） A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3 2．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 3．（2021·黑龙江绥化·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（  ） A．无法确定 B． C．1 D．2 二、填空题 6．（2023·四川达州·中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ． 7．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    9．（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 10．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 11．（2022·江苏盐城·中考真题）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ． 12．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 2．如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 6．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 9．如图，在等腰直角中，，，的平分线交于点D，点E为边的中点，点F和G分别是和上动点，则的最小值是 ． 10．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 11．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 12．如图，平面直角坐标系中，，点B是轴上的动点，是等边三角形，连接，则的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.11 三角形的证明（图形变换——折叠问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................14 第三部分：培优拓展.............................................................................................................29 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（）    A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 解：连接交于点，    ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点与点关于对称， ， ， ∴的最小值为的长， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（   ） A．10 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，P是上一点，于点H，，， ∴， ∴的最小值为5， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理， 先根据等腰三角形的性质得出是的垂直平分线，可得，作，此时最小，最小值为，再根据三角形的面积相等求出即可． 解：∵，平分， ∴是的垂直平分线， ∴，， 根据勾股定理，得． 连接，过点A作，交于点Q，交于点P，此时最小，最小值为， ∵， 即， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，在上截取，连接，证明得出，根据当、、三点共线且（即与重合）时，的最小值为，再由等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得出结论． 解：如图所示，作于，在上截取，连接． ，， 是的平分线 ， 又 ． ． ． 当、、三点共线且（即与重合）时，为最小值． 故选：A． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，根据题意得出当、、三点共线且（即与重合）时，的最小值为是解题的关键． 5．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点分别是的动点，若周长的最小值等于5，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时的周长最小．连接．根据轴对称的性质，可得，从而得到是等边三角形，即可解答． 解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时的周长最小．连接． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴， 同理． ∴， ∴． 又∵的周长， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，证明，得出，根据，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形中，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键． 由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时，取得最小值，进而，求出的度数，即可． 解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴点B和点C关于轴对称，， 连接交于点F，连接，则， ∴，即：此时取得最小值， ∵等边的边长为8，， ∴E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故答案是：． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，根据中垂线的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 解：如图，连接， 是的垂直平分线，点直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长为． ∴的最小值为． 故答案为：． 9．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 10．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点是内的定点，且．若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题；作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，，， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，， ， ， ， ； 故答案为：4． 11．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中 ，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，从而可判定，然后由全等三角形的性质可得答案．本题考查了含的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，， ，， 则在和中， ， ． ， 在中，，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：6 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形三边关系，先根据作图过程得出直线是的垂直平分线，即，根据三角形三边关系：，则点E在上时，此时，故的周长有最小值，且为，即可作答． 解：如图：连接 ∵在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点， ∴直线是的垂直平分线 ∴ 根据三角形三边关系： 当点E在上时，此时 则的周长有最小值，且为 故答案为：19 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，求三角形的面积，先根据垂线段最短确定最小值，再根据三角形面积公式求出答案． 解：连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 过点A作，交于点G， 根据垂线段最短，可知， ∴的最小值为． ∵， 解得， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，平分，点F为的中点，E是上的动点，则和的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，含角直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先证明点B，点F关于轴对称，再推出和的最小值是的长，从而解决问题． 解：∵在中，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴点B，点F关于轴对称， 如图，连接， ∵点B，点F关于轴对称， ∴， ∴， ∴和的最小值是的长， ∴， ∴和的最小值是6， 故答案为：6． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（    ） A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3 【答案】B 【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2． 解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P， ∴BP＝B'P，BC＝B'C， ∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M， ∴PB＋PM的最小值为B'M的长， 过点B'作B'H⊥AB交H点， ∵∠A＝30°，∠C＝90°， ∴∠CBA＝60°， ∵AB＝6， ∴BC＝3， ∴BB'＝BC＋B'C＝6， 在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°， ∴∠BB'H＝30°， ∴BH＝3， 由勾股定理可得：， ∴AH＝AB－BH＝3， ∵AM＝AB， ∴AM＝2， ∴MH＝AH－AM＝1， 在Rt△MHB'中，， ∴PB＋PM的最小值为2， 故选：B． 【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长． 2．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2021·黑龙江绥化·中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可． 解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置， 由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°， ∴∠BAF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， BF0=AB=， 故选：B． 【点拨】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解． 4．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解． 解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵∠CDQ是公共角， ∴∠PDC=∠QDE， ∴△PCD≌△QED（SAS）， ∵，，点D是边的中点， ∴∠PCD=∠QED=90°，， ∴点Q是在QE所在直线上运动， ∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值， ∴， ∴； 故选B． 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（  ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 二、填空题 6．（2023·四川达州·中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解． 解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆； ，为的外接圆的圆心， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 即， 由作图可知，在的垂直平分线上， ， ， 又为的外接圆的圆心， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 在中， ， 在中， ， 即最小值为， 故答案为：．    【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形． 7．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 9．（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 11．（2022·江苏盐城·中考真题）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形， ，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果． 解：直线与轴的夹角是45°， ，，…都是等腰直角三角形， ，，，… 点的坐标为，点的横坐标为1， 当时，，点的坐标为， ， 点的横坐标， 当时，， 点的坐标为， ，…… 以此类推，得，，，，……，， ， 的最小值为2． 【点拨】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律． 12．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论． 解：过C作CF⊥AB交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BF＝AB＝6＝3， ∴CF＝＝＝3， ∴CE+EF的最小值为3， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 2．如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得到，根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果． 解：∵ P是角平分线上的一点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ， ∵点C是上一个动点， ∴的最小值为P到距离， ∵点P在的平分线上， ∴ 的最小值， 故选：D． 4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点拨】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 5．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 【点拨】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 6．如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 二、填空题 7．如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识， （1）依题意过点作于D，，根据含度角的直角三角形的性质得出，即存在长度等于的线段 （2）如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可． 解：（1）存在长度等于的线段； 如图所示，过P点作于D， ∵在中， ∴ 故答案为：存在． （2）如图所示，在中，， 过P点作于D，延长至E，使，连接， ∴ 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， 故的最小值为； 故答案为：． 8．如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ∴ ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 9．如图，在等腰直角中，，，的平分线交于点D，点E为边的中点，点F和G分别是和上动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，连接，过点作于，与交于点，连接，，得垂直平分，当、、三点共线，且时，为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此时的便可． 解：连接，过点作于，与交于点，连接，，则， 等腰直角中，，，点为边的中点， ，， ∴， 平分， ， ，， ∴， ， ∴垂直平分， ， ， ∴当点、、依次在同一直线上，且时，的值最小， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 10．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 11．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 12．如图，平面直角坐标系中，，点B是轴上的动点，是等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】以为边在y轴左侧作等边，连接，过点D作于点E，则，即可证明，有，则当取得最小值时，最小，随着点B在轴上的运动，点B和点E重合，由垂线段最短可知最短，结合点A的位置，利用含30度角的直角三角形的性质得，即可得的最小值． 解：以为边在y轴左侧作等边，连接，过点D作于点E，如图， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则当取得最小值时，最小，随着点B在轴上的运动，点B和点E重合，由垂线段最短可知最短， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的最小值是1． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟悉构造等边三角形，并找到最小值的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$