专题1.10 三角形的证明（分类讨论思想解决问题）（全章分层专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.10 三角形的证明（分类讨论思想解决问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................2 第三部分：培优拓展.............................................................................................................4 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 4．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 二、填空题 5．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 7．（20-21八年级上·福建南平·期中）如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有 个．      8．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当与全等时，则的长为 ． 9．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 2．（2020·贵州黔南·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（    ） A．9 B．17或22 C．17 D．22 3．（2020·青海·中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（    ） A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 5．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 8．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ． 9．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，为边上的高，，，则是 度． 11．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    12．（2022·辽宁朝阳·中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ． 13．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．    第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C． D．或 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度． 8．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，，当时，的长为 ． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为 ． 11．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 13．（22-23八年级下·四川内江·期中）如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； 14．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 16．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 三角形的证明（分类讨论思想解决问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................7 第三部分：培优拓展.............................................................................................................21 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．此问题也要分类讨论，只是的角为底角是不成立的，要舍去，所以只有一种情况．根据等腰三角形的及三角形的内角和定理可知：的角必是顶角，根据三角形内角和求出另外两个角即可． 解：当顶角为时，底角的度数为； 当底角为时，两底角的度数和为：，因此这种情况不成立． 故选B． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可． 解：∵等腰三角形的两边长分别是和， ∴当腰长为时，，三角形的周长为； 当腰长为时，，不能构成三角形； ∴此等腰三角形的周长为， 故选：B ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论． 解：如图所示， ，， 、都在线段的垂直平分线上， ， 点到的距离为6，点到的距离为4， ，， ①在内， ， ②在外， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 解：当高在三角形内部时，如图， ∵ ∴， ∴ ∴底角为； 当高在三角形外部时， 如图， ∵于D， ∴， ∴ ∴底角是是． 故选：A． 二、填空题 5．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 7．（20-21八年级上·福建南平·期中）如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有 个．      【答案】8 【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5， 在x轴上有1点满足条件的点C2， ②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4， 在x轴上有2点满足条件的点C3，C8， ③当AC=BC时，在y轴有1点满足条件的点C6， 在x轴有1点满足条件的点C7， 综上所述：符合条件的点C共有8个． 故答案为：8．    【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 8．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当与全等时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据题意，分类讨论，结合全等三角形对应边相等即可求解． 解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当时，，； 当时，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 9．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】75°或120°或15° 【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 解：如图，有三种情形：    ①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°， ∴∠CAB=30°， ∵AC=AD， ∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°； ②当CD′=AD′时， ∵∠CAB=30°， ∴∠D′CA=∠CAB=30°， ∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°． ③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″， ∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB， ∴∠AD″C=15°， 故答案为：75°或120°或15°． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【答案】D 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点拨】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（2020·贵州黔南·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（    ） A．9 B．17或22 C．17 D．22 【答案】D 【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可． 解：分两种情况： 当腰为4时，，所以不能构成三角形； 当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：D． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．（2020·青海·中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（    ） A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得． 解：（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 （2）当的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为，顶角为 综上，另外两个内角的度数分别是或 故选：D． 【点拨】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键． 4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 解：∵， ∴ 解得， ①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8， 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故选：D． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 5．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 解：如图，当△ABC是一个直角三角形时，即， ， ； 如图，当△AB1C是一个钝角三角形时， 过点C作CD⊥AB1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或， 故选：C． 【点拨】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 二、填空题 7．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 8．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解． 解：∵，， ∴． ∵为直角三角形， ∴可分类讨论：①当时，如图1，    ∴； ②当时，如图2，    综上可知的度数是或． 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 9．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ． 【答案】10°或100° 【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法． 10．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，为边上的高，，，则是 度． 【答案】40或80/80或40 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 11．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    【答案】6或12 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 解：∵，，， ∴，， ①点D在线段时，      ∵，， ∴， ∴， ∴； ②点D在线段延长线上时，    ∵，， ∴， ∴， ∴； ③点D在线段延长线上时，    此时，即，故不符合题意，舍去， 综上，的长为6或12． 12．（2022·辽宁朝阳·中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ． 【答案】3或． 【分析】分两种情况，先证明，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：如图，点在的右边， 与都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ， ， ， ， ， ， 等边三角形的边长为3， 如图，点在的左边， 同上，， ，， ， 过点作交的延长线于点，则， ，， ， 在中，， ， ， 或（舍去）， ， 等边三角形的边长为， 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． 13．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可 解：当在线段上时，连接，过点作于，   当在线段上时， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在延长线上时，则，      是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 分的角为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 解：当的角为顶角时，则该等腰三角形的顶角度数为， 当的角为底角时，则该等腰三角形的顶角度数为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或； 故选：C 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定和性质以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 根据题意，分情况讨论或分别为直角时，的长即可求解； 解：分两种情况： 当时，如图： ， ， ； 当时，如图： ， ， 在中，由勾股定理得， 即 ， ， ； 综上所述，的长为 或； 故选：D 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度． 【答案】50或40 【分析】本题考查了等边对等角，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是正确画出图形，分类讨论求解，本题根据点E在点D左边或右边两种情况，根据三角形内角和为，得到或，再利用等边对等角即可求解． 解：如图1，点E在点D左边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 如图2中，点E在点D右边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 故答案为：50或40． 8．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解答本题的关键． 作的高、，根据“等腰三角形三线合一”知：，，根据勾股定理得：，从而，由“”证明，得到，再分类讨论：若点在线段的延长线上、若点在线段的延长线上，结合图形，分别求出的长即可． 解：在等边中，，， 作的高、，则，，，， ， 在和中， ， ， ， 若点在线段的延长线上，如图： 则； 若点在线段的延长线上，如图： 则， 综上所述，的长为或． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了是直角三角形、，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当、时，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出；当、时，设，则，根据勾股定理可以求出的长度． 解：如下图所示， 若，， 在中，，， ； 如下图所示， 若，， 设， 则， 在中，， ， 解得：或（舍去）； 综上所述，的长为或． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、解一元一次方程．解决本题的关键是根据等腰三角形中有两条边相等把几何问题转化为方程求解，本题中还要注意运用分类讨论的思想上，要分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论．当点在点的左侧时，根据可得方程，解方程求出值即可；当点在点的右侧时，根据，可知是等边三角形，所以也有，可得方程，解方程求出即可． 解：如下图所示， 当点在点的左侧时，设运动时是等腰三角形， ， ， 若是等腰三角形， 则有， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 如下图所示， 当点在点的右侧时，设运动时是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解． 解：过点作， ∵，， ∴， ∴， 在中，； 当为钝角时，则：； 当为锐角时，则：； 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的定义，分为腰及为腰两种情况，求出点的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点的坐标，即可得出点的坐标，综上所述，即可得出结论． 解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． 13．（22-23八年级下·四川内江·期中）如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； 【答案】或或或 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解，等腰三角形的定义．联立，求得A点坐标；再分类讨论，①当时，②当时和③当时，分别画出图形即可得解． 解：联立，解得：， ∴A点坐标为； 分类讨论：①当时，如图点和点． ∵， ∴， ∴，； ②当时，如图点，过点A作轴于点Q． 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图点， ∴， ∴．    综上可知，P点坐标为或或或． 故答案为：或或或． 14．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可． 解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底，则， ∴， ∴P的坐标为； 以和为腰，为底， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴， ∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点， ∴， ∴P的坐标为，    综上所述，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点拨】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 15．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．根据条件求出：，分两种情况讨论：当时；当时；分别求解即可． 解：由题意得：， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图， 则在中，， 解得：； 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类讨论． 分类讨论：过点作于于，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点在点的右侧时，证明，则有；点在点左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 解：如图，过点作于于， ∵平分， ， 当点在点的右侧时， 在和中， ， ， ， 当点在点左侧时，同理可求， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$