2024-2025学年高一上学期期末数学试题（A卷）

2024~2025学年第一学期高一期末质量检测 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效： 3.本卷命题范围：人教版必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A=女y=ln2,B=y=e+1,则AnB A.(2,十o∞) B.(-∞，2) C.(1,2) D.(1,+∞) 2.已知函数f(x)=(一2十1).x”,则“n=2”是“f(x)为幂函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若tana=2,则sima+子sin2a A司 B.1 ca n号 4.设a=()°，b=1og27-a,e=() ,则 A.ac>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>ba 5.若函数y=lg(2十m.x)在区间[1，十∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 A.(-o∞，-1) B.(0,+o∞) C.[-2,0) D.(0,1] 6.已知角。的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(停，)，若角 B满足cos(a十)-号，则cosB的值为 R碧 c第或9 n裙或号 【高一期末质量检测数学卷第1页（共4页）】 5280A 7.函数f(x)=Asin(x十g)(A>0,w>0,g<交)的部分图象如图所示，则 Ag=-晋 B.f(.x)的最小正周期为 Cfx)在区间(1,2)上单调递诚 D.f(x)在区间[-2025π，2025π]上共有8100个零点 8.我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数∫(x)为奇函数，由 此可以推广得到：函数f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y= f(x十a)一b为奇函数.利用推广结论，已知函数f(x)=x一3x,则f(一2023)十f(-2021)十 f(-2019)+…+f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2021)+f(2023)+ f(2025)的值为 A.-4048 B.4048 C.-4050 D.4050 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下面说法正确的是 A.经过5小时，时针转了150 B.若tana<0且sina>0,则a为第二象限角 C.一个扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,则此扇形的半径是4cm D若cosa=2,则角a的集合是aQ=2kx士号k∈Z 10.已知正实数x,y满足x2+y=4,则 A.3x+y的最大值为婴 B.x十y2的最小值为6 C.xy的最大值为4 D之+号的最小值为号 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x一y)=f(x)f(y),f(1)=1,则下列结论 正确的是 A.f(0)=2 B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)是周期为4的周期函数 D.[f]+[fx+2)P=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=log(x一1)一a-2+4(a>0且a≠1)的图象必过定点 13若将函数y=tan(o+)(w>0)的图象向左平移否个单位长度后，与函数y= tan(ox十牙)的图象重合，则w的最小值为 【高一期末质量检测数学卷第2页（共4页）】 5280A 14.我们用川x川表示实数x到离它最近的整数的距离，例如一2‖=0，号‖=号，‖一号1=三， 则‖xI的最小值与最大值之和是 :对于函数f(x)=‖x‖，若满足f(x) f(32x),则f(.x)有 种可能的值.（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤」 15.(本小题满分13分) 计算下列各式： (1(1号)+0.027-(-7)‘+16t-31+2×3-10: (log:5.loga4+Ig 8+lg 125-1g 2-1g 5 e交·lg0.0l 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(a2-4)x2+(a-2)x+4(a∈R) )若不等式fx)<0的解集为x<-号或>1，求a的值： (2)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 新能源汽车续航能力备受客户的关注.某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验， 每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为A%, 设f(.x)=A,f(x)随里程数x(一个里程数等于30公里)的变化数据如下： 里程数x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①f(x)=a.x十b(a<0,x≥>0，b>0): ②f(x)=log(x十k)十b(a>1,k>0,x>≥0)： ③f(x)=m·a十b(m>0,0<a<1,x≥0). (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出f(x)的解 析式： (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为20%时，就应该开始寻找充电站， 避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行 驶了多少公里 参考数据：lg3≈0.48,1g19≈1.28. 【高一期末质量检测数学卷第3页（共4页）】 5280A 18.(本小题满分17分) 已知函数)=sn(3x+0+sn(3一 (1)求f(x)图象的对称轴方程； (2)若关于x的方程2f(号一急)+f得一营)=2V而m在区间[0,2x)内有两个不同的根 x1,x2(x1<x2）. (1)求实数m的取值范围： (i)求cos(x1十x2)十cos(x2一x)的值（用含m的代数式表示）. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为I,若3m,n,t∈R,使得f(2m十x)·f(2n一x)=t对Hx∈I都 成立，则称f(x)为(m,n,t)型函数. (1)证明：每一个指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)都是(0,0,1)型函数： (2)若函数f(x)=2是(m,2,t)型函数，求实数m,t的值： (3)已知函数f(x)在定义域[一3,9]上的函数值恒大于0，且f(x)为(0,1,4)型函数，当x∈ (1,9]时，f(x)=-(1ogx)2+b1og3x+3.若f(x)≥1在[-3,9]上恒成立，求实数b的 取值范围. 【高一期末质量检测数学卷第4页（共4页）】 5280A2024~2025学年第一学期高一期末质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C B D D 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 1.C由2_>0，解得0<<2，所以A=(x0<r<21,面y=e+1>1,所以B={yly>1),所以AnB= (1,2).故选C 2.A若函数f(x)=(斤-2n+1)x"为幂函数，则n-2n十1=1，解得n=0或n=2.故“n=2”是“f(x)为幂 函数”的充分不必要条件.故选A 1 3.B sinsin 2 sina+sin acos a tanatan a+2X sina十cosa tan'a+l 4+1 -=1,故选B 4C0<(子)<（号）”-1，即0<a<1,6=bg27“=lg31"=-1.4<0,又因为c=(日)“ 3>3,因为c>a>b,故选C. 5.B函数y-lg(2十mx)在区间[1，十∞)上单调递增，所以函数y=2+m.x为[1，十∞)上的增函数，且当x n>0, ≥1时，2十1.x>0恒成立，由函数性质可得 所以>0.所以m的取值范围为(0，十∞).故选B. 2+m>0, 6D由角。的终边过点P(等，号)，得ma=子，osa=吾，由os(a十g)=号得sm(a十g) 士v-cos(a+=±是.当sin(a+B)=是时，eos=cos[(a+)-a]=cos(a+-B)csa+sin(a+)· sma-是×告+语×号-器当sn(e+p=-高时，os月=cos[(a+B)-a]=os(a+Basa十 sna+Dsna=是×号+（一）×是-器所以os-器或器故选D .D对于A,由题图可知A=2,f0)=2sinp=-1,从面sing一2，结合一受<<受，可知一看，故 A错误：对于B,由图可得w·叠吾=2kx,k∈乙，解得w=24k+2.k∈乙.又>适，所以0<<6，所以w 2,故f(x)=2sin(2x-吾)，最小正周期为受=，故B错误：对于C,r∈1，号)时，2x一吾∈(2-吾，3 音)，显然y=sinx在(2-否，3-晋)上不单调，故C错误；对于D,f(x)=2sim(2x-否)=0=2x-音 kx=臣+经：k∈乙，令-2025x≤音+经<2025m,k∈乙.则-4050-言<k<4050-名k∈Z.共有 8100个零点，故D正确.故选D. 8.C设f(x)=x3一3.x2的对称中心为P(a,b),g(x)=f(x十a)-b=(x十a)3一3(x+a)2-b,则g(x)为奇 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第1页（共5页）】 5280A 函数， 由题可知g(一x)=f(-x十a)一b,且g(一x)=-g(x),所以f(-x十a)一b=b-f(x十a).即f(一x十a)十 f(x+a)=2h, 则(-x十a)-3(-x十a)2十(x十a)3-3(x十a)2=2b,整理得(6a-6).x2+2a3-6a2-2b=0. 16a-6=0 所以2一20解得2所以函数八)一a图象的对你中心为1，一2沙 所以f(-x+1)+f(x+1)=-4,则f(-2023)+f(2025)=f(-2021)+f(2023)=·=f(-1)+f(3) =-4.且f(1)=-2, 则f(-2023)+f(-2021)+f(-2019)+…+f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2021)+ f(2023)+f(2025)=-4×1012-2=-4050.故选C. 9D对于A,经过5小时，时针转了-最X360=-150,故A错误： 对于B,若tana<0,则a为第二或第四象限角，又sina>0,则a为第一或第二象限角，或终边为y轴非负半 轴，则a为第二象限角，故B正确： 对于C,设扇形的半径为r,则弧长1=2r,所以扇形周长为十2r=2r十2r=4r=8,故r=2cm,故C错误： 对于D,若c0sa=专则a=2kx十号或a=2kx一子k∈乙.故D正确，故选BD 10.ACD对于A,因为x2+y=4,所以y=4一x2,因为x,y为正实数，所以4一x2>0,解得0<x<2,3.x+y=4 一t+3=一(：一是)广+要，由二次函数的性质可知3十y的最大值为空故A正确： 对于B+≥2×(2生)=8，当且仅当2=y=2时取等号，故B错误 对于C≤（仁）=4，当且仅当=y=2时取等号，所以r的最大值为4，故C正确： 对干D.因为+y=4,所以号+=1，子+号(+号)·（等+）=号+号+立≥是十 2√写·产-号+2X号-号当且仅当号=产，即2=青y一号时取等，放D正疏故选AcD 1L.ABD对于A,因为f(x+y)十f(x一y)=f(x)f(y), 令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),因为f(1)=1,所以f(0)=2,故A正确： 对于B.f(0)=2.令x=0.可得f(y)十f(一y)=2f(y),即f(y)=f(一y),所以函数f(x)为偶函数， 故B正确： 对于C,令y=1,得f(r+1)十f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x十2)+f(x)=f(x+1), 从而可知f(x+2)=一f(x一1)，f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x十6)， 所以函数f(x)是一个周期为6的周期函数.故C错误： 对于D,令y=x,得fx)F=f2x)+f0.用x+号代替，得[fx+号)°=f2x+3)+f0),则 [fx)]+[fx+号)P=(2x)+f2x+3)+4由x+2)=-x-1)得x+3)=-x),即x)+ x+3)=0.则f2x)+f2x+3)=0,[/)P+[x+号)=4.D正确，故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2,3)令x-2=0,即x=2,得f(x)=3,故函数f(x)=log.(x一1)一d+4的图象恒过定点(2,3). 18号y=m(amr+号)o>0)的图象向左平移青个单位可得y=am[(x+吾)+号]=am(ar+晋)， ∴吾+吾o+m-子w-6k-2e0,又：w>0w-号 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第2页（共5页）】 5280A 14.号18由定义可知0≤x<号，放x的最小值与最大值之和为 设x2=n+a,n∈N,a∈[0,1)→f(x)=lx2川=lal,f(3v2x)=‖18(n十a)‖=118a‖， 所以f(x)=f(3V2x)白1a‖=118a‖，也就是a和18a的小数部分要么相同，要么和为1 当小数部分相同时，则18a一Q=k,可得a=合，k∈N且k长16， 所以fx)=1告-号k∈0,1,2…，8，有9种可能的值： 当小数部分和为1时，则18e十a=,可得a=为1N且18， 所以x)=。-名4∈1,2…，91，有9种可能的值 综上所述，f(x)有18种可能的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15解：1)原式-√西+[高】寸-(-)+4)片-吉+2=专+碧-49+61-吉+2- 33 3 。…6分 (2原式=1g5l0g.2+g8X125》-g2X50-1+3号=-1. …13分 2×(-2》 16.解：1)因为不等式fx)<0的解集为{xx<-专或x>1, 所以方程(a2一40x2+(a一2).x十4=0的两根为-3,1， …2分 a2-4≠0， 则 3+1=-9 a2-4 a十2'解得a=L,… …6分 4 (2)当a2-4=0时，a=士2， 若a=2,不等式f(x)>0转化为4>0对一切实数.x恒成立，显然满足题意： …8分 若a=一2，不等式f(x)>0转化为一4x十4>0对一切实数x恒成立，易知不满足题意；…10分 a2-4>0, 当a2一4≠0时，由题意可知， 12分 △=(a-2)2-4(a2-4)×4<0, 解得a<-或>么. …14分 综上，实数a的取值范围为（一。，一U[2,十∞.…15多 17.解：(1)由表中数据可知，f(x)为单调减函数，则②不符合题意，当自变量x增加量为1时，f(x)的减少量越 来越小，则①不符合题意，故选。…2分 m+b=100, 由表中数据得，ma+b=90.5 …4分 ma2+b=81.95, 解得m=95,a=0.9,b=5,… …6分 故f(x)=95X0.9F十5.… …7分 (2)由题意可知，95X0.9十5=20，… …8分 则0.9r=音， 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第3页（共5页）】 5280A 3 3_lg9_lg3-lg19≈048-1.28=20， 两边取对数得，x=log)一g0.921g3一T 2×0.48-1 ……14分 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行驶了30×20=600（公里）.·15分 18解：/x)=sin(3r+0)-sin(语-3)=sin(3xr+0）-cos(3r+语） 十） 令3x十希=m十受k长么.解得=经+得k长么…3分 所以x)图象的对称轴方程为x=凭+爱，∈乙 ……4分 (2(1)油2号一0)+fg号)=2而m,得2simx十c0sx=25m,…6分 则m十p）=2m其中m后o甲后， 2 …7分 当且仅当-1<2<1，即一<m<分时满足题意， …8分 故实数加的取值范围为（一弓，之》。 …9分 ()当得<m<号时函++2g=,则+=一2g …10分 所以cos(+n)=-c0s2g=2simg一1=-号， 又x2一x=x-2g-2.x1, 所以cos(2-x1)=cos(π-2g-2.m)=-cos[2(1十g)]=2sin(十g)-1, 因为in(a十p)=2m,所以eos(-)=8m-1,故cos(十)+cos(n-)=8m2-号； …13分 当-<m<时十+g-3x则+=3x-2g, 所以c0s(十x)=c0s2g=2img1=-三，… …14分 又2-m=3x-2g-21, 所以c0s(-m)=cos(3x-2-2.x1)=-cos[2(x十9)]=2sin(x十g)-1, 因为sin(十p)=2,所以cos(-)=8m2-1,故cos(a+2)十c0s(n-n)=8m2-8 5 …16分 综上可知，os十)十os一)=8m-. …17分 19.(1)证明：因为f(0十x）·f(0一x)=a·a+=a°=1，…2分 所以f(x)=a(a>0且a≠1)是(0,0,1)型函数，即每一个指数函数都是(0,0,1)型函数.…3分 (2)解：因为函数f(x)=2是(m,2,t)型函数，所以f(2m十x)·f(4-x)=2市·2白=1，…4分 显然>0，则2·2=2.所以2m十，l0g4,…5分 整理得x2logt十[(2m-4)log].x-8mlog1十2m十4=0对于定义域{.xx≠0》内任意x恒成立，… …6分 logt=0, 所以 (2m一4)0g1=0,解得m=一2,1=1.… …9分 一8mlog21+2m十4=0， 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第4页（共5页）】 5280A (3)解：因为f(x)为(0,1,4)型函数，所以f(x)·f(2-x)=4, 当x=1时，f1)·f1)=4, 因为/(.x)>0,所以f(1)=2,满足f(x)≥1： ……10分 当x∈(1,9]时，f(.x)=一(og.x)2+b logsr十3≥1恒成立， 令=l0gx.则0<A≤2.所以一”十从十3≥1在(0,2]上恒成立， 则b>以一恒成立， 12分 因为y=一兰在（0,2]上单调递增，且-2号=1， 故l,……13分 当xe[-3.1时，2-xe1.5.则）=/2--log2-0十6og(2-0+3…14分 因为f(x)≥1，所以0<-[log(2-x)]+blog(2-x)+3≤4， 令=og(2-x),则当0<4≤l0g5时，0<-2十十3≤4恒成立.…15分 由上可知一+b十3≥1， 所以一十十3≤4在(0，log5]上恒成立， 则十1在(0，log5]上恒成立， 因为十1≥2，当且仅当=1时取得等号， 所以b小≤2.… …16分 综上可知，1≤≤2， 故实数b的取值范围为[1,2们。… …17分 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第5页（共5页）】 5280A