20.3.1 方差&20.2.2 用计算器求方差-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(华东师大版)

20.3 平均数 1 方差 2 用计算器求方差 课题 1 方差 2 用计算器求方差 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P150-156 教学目标 1．理解极差、方差与标准差的概念与作用。 2．灵活运用方差与标准差来处理数据。 3．能用计算器求数据的方差和标准差。 教学重难点 重点：对方差和标准差概念的理解． 难点：应用方差和标准差分析数据，并做出决策． 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 教师展示课件。 为了确定射击比赛的选手，调取了甲、乙两人在5次打靶测试中的成绩（命中的环数）如下： 思考：请分别计算两人命中环数的平均数、众数和中位数，并从统计的角度分析：教练选择谁参加射击比赛更合适，其理由是什么？ 学生活动：学生独立思考并完成计算，然后小组讨论该选择谁参加比赛。 答案预设： 两人命中环数的平均数、众数、中位数都一样，学生无法判断选择谁参加比赛更合适。 教师：有时候我们会遇到这种状况，只从平均数、众数和中位数的角度，很难对事物进行分析，这个时候就需要我们引入另外的统计量，这就是这节课我们要学习的极差、方差。（教师板书课题） 通过一个实际问题情境，让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析，提出问题，带着疑问开始新课的学习，激发起学生学习的欲望以及兴趣。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 下表显示的是上海市2001年月下旬和2001年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢? 上海市每日最高气温统计表（单位：℃） 2月 21日 2月 22日 2月 23日 2月 24日 2月 25日 2月 26日 2月 27日 2月 28日 2001年 12 13 14 22 6 8 9 12 2002年 13 13 12 9 11 16 12 10 （1）试对这两段时间的气温进行比较. （2）我们可以由此认为年月下旬的气温总体上比年同期高吗？ （3）这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢？请同学们根据上表提供的数据，绘制出相应的折线图. （4）观察你所绘制的折线图，你感觉它们有没有差异呢？把你通过观察得到的判断写在下面的横线上： __________________________________________________. 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，再举手回答，教师补充指正。 答案预设：（1）由表中的数据可知，年月下旬和年同期的气温相比，有天的温度相对高些，有天的温度相对低些，还有天的温度相同. （2）经计算可以看出，对于月下旬的这段时间而言，年和年上海地区的平均气温相等，都是℃. （3）下面是根据两段时间的气温情况绘成的折线图． （4）通过观察，我们可以发现：图（a）中折线波动的范围比较大——从℃到℃，图（b）中折线波动的范围则比较小——从℃到℃. 教师归纳：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小呢？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.它反映一组数据的两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感. 例如在上图中我们可以看出，图（a）中最高气温与最低气温之间差距很大，相差℃；图（b）中最高气温与最低气温之间的差距为℃，所以从图中看，总体上图（a）中气温变化的范围不太大. 【探究2】 小明和小兵参加体育项目训练，近期的次测试成绩如表所示，请同学们根据下表提供的数据画出折线图，并判断谁的成绩更为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，再举手回答，教师补充指正。 答案预设：通过计算发现，两人测试成绩的平均数都是12.4，成绩的最大值与最小值也都相差4. 从图中可以看出，相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.所以小明的成绩要更为稳定些。 教师活动：归纳：一组数据与其平均值的离散程度越小，我们就说它越稳定.提问：那么怎样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？ 学生活动：独立思考、小组交流、举手回答。 教师活动：小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小。那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在下表中写出你的计算结果，可以用它来比较两组数据围绕其平均值的波动情况（离散程度）吗？如果不行，请你提出一个可行的方案，在表中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中. 1 2 3 4 5 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 学生活动：独立思考、小组交流、举手回答。 答案预设： 1 2 3 4 5 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 -2.4 1.6 0.6 0.4 0.6 0.8 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 -1.4 -1.4 2.6 1.6 -1.4 0 不可以，因为从所得结果看，每次成绩-平均成绩（小兵）＜每次成绩-平均成绩（小明），与小明成绩与其成绩平均数的离散程度略小不符。 新方案如下： 1 2 3 4 5 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 （每次成绩－平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.14 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 （每次成绩－平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 从所得结果看，（每次成绩－平均成绩）2（小兵）＜（每次成绩－平均成绩）2（小明），与小明成绩与其成绩平均数的离散程度略小相符。 教师追问：考虑实际情况，如果一共进行了次测试，小明因故缺席了2次，怎样比较谁的成绩更稳定？请将你的方法与数据填入下表中. 1 2 3 4 5 6 7 求平均数 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 （每次成绩－平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 1.828 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 11 11 （每次成绩－平均成绩）2 1 1 9 1 4 1 1 2.571 【归纳总结】 （1）我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.这个结果通常称为方差（variance）。 （2）我们通常用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，，，…，表示各原始数据.那么这个数据的方差公式是。 （3）方差是用来描述一组数据中每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度的量。一组数据的方差越大，说明数据的波动越大，同时离散程度也越大。 【探究3】 请同学们掌握下面用计算器求方差的按键顺序，并用计算器计算数据14.8，14.4，15.5，14.1，14.3，14.6，14.1，14.8，15.1，14.3的方差。 师生活动：教师讲解计算器操作方法，学生实际操作。 答案预设：14.8，14.4，15.5，14.1，14.3，14.6，14.1，14.8，15.1，14.3的方差≈0.207。 通过实际问题，让学生了解什么是数据的离散程度并引入刻画离散程度的数据——极差（最大值－最小值）。 通过一个实际情境，让学生体会当两组数据的极差相同时，如何通过图示确定一组数据的离散程度。 通过实际情境，让学生探究当两组数据的极差相同时，如何用数值刻画一组数据的离散程度。 通过两张表格的对比让学生进一步明白：为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减？为什么要“平方”？为什么求“平均数”比“求和”好？ 掌握利用计算器计算一组数据方差的方法。 3.学以致用，应用新知 考点1 极差、方差的计算 例1 求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的极差、方差。 解：方法一：极差：9－5=4。 因为x＝(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7， 所以s2＝[(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2。 方法二：极差同方法一。 将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0。此时x (_)＝0， 所以s2＝[02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02]＝1.2。 变式训练 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”） 答案: 考点2 方差的应用 例 有两个女生小合唱队，各由 6 名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为2 x=160 cm，甲队身高方差=1.2，乙队身高方 差=2.0，两队身高比较整齐的是_______ 队.（填“甲”或“乙”） 变式训练 第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（       ） 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案:A 通过例题，巩固基础，通过变式，提升应用能力. 4.随堂训练，巩固新知 1.已知一组数据：，把这组数据中的每个数据都加上后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（       ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 答案：D 2.在春季中学生运动会上，参加男子引体向上的10名运动员的成绩如下表所示． 成绩/个 10 12 14 15 18 19 20 人数 1 2 1 3 1 1 1 这10名运动员成绩的方差为 。 答案：9.4 3．五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a=_____，这五个数的方差_____。 答案：3，5.6 4．若一组数据5，－4，2，x，－1的极差为13，则x的值为 。 答案：9或－8 5.用科学计算器求下列数据的方差： 271，315，263，289，300，277，286，293，297，280. 解：(1)，打开计算器； (2)，启动“单变量统计”计算功能； (3)输入所有数据； (4)，计算出数据的方差σ2x＝207.49. 6.对盆同一种的花施肥，用甲、乙两种保花肥，把盆花分成两组，每组盆，对其花期记录如下：（单位：天） 甲组 25 23 28 22 27 乙组 27 24 24 27 23 （1）盆花的花期最多相差几天？ （2）施用哪种保花肥，使得花的平均花期较长？ （3）施用哪种保花肥效果比较可靠？ 解：（1）（天）. （2）由平均数计算公式可得： （天）； （天） 因为，所以无论施用哪种花肥，花的平均花期一样长. （3）由方差计算公式，得，.因为，所以施用乙种保花肥比较可靠. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.刻画数据离散程度的统计量： 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差。 方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 2.一般而言，一组数据的极差、方差越小，这组数据就越稳定。 3.求方差的步骤： （1）求原始数据的平均数； （2）求原始数据中各数据与平均数的差； （3）求所得各个差数的平方； （4）求所得各平方数的平均数。 可概括为：“一均，二差，三方，四均”八字要诀。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，查缺补漏，进一步巩固所学。 6.布置作业 课本P154练习T1—T2，P154练习。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，巩固所学，拓展提高。 板书设计 1 方差 2 用计算器求方差 方差计算公式 例题讲解 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 极差与方差是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用。因此在教学中，对于如何引入这两个基本概念可采用灵活多变的方法。切忌将这些概念与公式直接教给学生，要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾发生碰撞，从而产生一种急于解决问题的心理，探索出这两个概念。使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 体育项目测试成绩图 $$