19.1.2 矩形的判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(华东师大版)

19.1 矩形 课题 2.矩形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P102-109 教学目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 2.能够运用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。 3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。 教学重难点 重点：矩形判定定理的证明和应用。 难点：学生独立完成证明的过程，发展合情推理能力。 教学准备 多媒体课件、平行四边形活动框架。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了矩形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在矩形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是矩形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习矩形的判定。 （教师板书课题： 2.矩形的判定） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角。反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？ 教师活动：多媒体动画演示四边形的内角是直角的个数，学生观察后得出猜想。 学生活动：猜想得到结论：三个角是直角的四边形是矩形。 教师提问：同学们能证明这个结论吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。 【归纳总结】 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 【探究2】 做一做：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 教师活动：操作活动框架，并问：随着∠α的变化，两条对角线的的长度将发生怎样的变化？ 学生回答：随着∠α的变化，两条对角线的长度一条变长，另一条变短。 师生活动：组织学生探究当两条对角线的长度相等时，平行四边形的特征，并进行猜想什么条件的平行四边形是矩形。 教师活动：我们可以发现：对角线相等的平行四边形是矩形。同学们能证明这个结论吗？ 已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。 求证：▱ABCD是矩形。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC。 又∵BC=CB，AC=DB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴∠ABC=∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°。 ∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°。 ∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）。 【归纳总结】 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形。 议一议：（小组交流） 教师活动：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎么检查？ 学生活动：先用绳子测量四边形的两组对边是否相等，相等则是平行四边形；再用绳子测量对角线是否相等，相等则是矩形。 教师追问：说明一下检查方法的合理性。 学生回答：对角线相等的平行四边形是矩形。 【教材例题】 例4 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE = BF =CG = DH.求证：四边形EFGH是矩形. 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵EO+OC=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 例5 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形. 分析：由已知条件可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形。 证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形， ∴∠ADB=∠CDB=60°. 又∵M、N分别为BC、AD的中点， ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=30°， ∴∠DNB=∠DMB=90° ∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°, ∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. 例6 如图，在△ABC中，AB= AC， AD⊥BC,垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE // AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形. 分析：根据已知条件AB= AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC,因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理。 证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠B =∠ACB， BD = DC. 又∵ AE是△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠1=∠CAF=（∠B+∠ACB）=∠B， ∴AE//BC. 又∵AB // DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AB=DE， ∴AC=DE，AE=DC. 又∵AE // DC, ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 利用多媒体引导学生通过逆向思考矩形的性质提出猜想“有三个角是直角的四边形是矩形”，并进行证明，发展学生合作交流意识、合情推理能力。 引导学生考虑满足什么条件的平行四边形是矩形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。当活动框架变化到两条对角线相等时，这个内角看上去是直角，此时平行四边形看上去是矩形。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 当学生知道判定方法后,自然引入实际应用,鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系。 通过例题讲解，结合上节所学的矩形的性质定理来巩固“矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形”，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以对上节知识查缺补漏。 以例题形式展示用矩形的判定定理1证明四边形是矩形的过程.加深学生对矩形的判定定理的理解及应用。 以例题形式展示用矩形的判定定理1证明四边形是矩形的过程.加深学生对矩形的判定定理的理解及应用。 3.学以致用，应用新知 考点1 有三个角是直角的四边形是矩形 例1 依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）。 A B C D 答案：B 变式训练 如图，▱ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由。 解：四边形EFGH是矩形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC。 ∴∠DAB+∠ABC=180°。 ∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB=∠BAD，∠EBA=∠ABC。 ∴∠EAB+∠EBA=∠BAD+∠ABC=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°。 ∴∠AEB=90°。 ∴∠HEF=90°。 同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°。 ∴四边形EFGH是矩形。 考点2 对角线相等的平行四边形是矩形 例2 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（ ） A. ∠BAD=90° B. ∠BAD=∠ABC C. ∠BAO=∠OBA D. ∠BOA=90° 答案：D 变式训练 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA的中点，有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是四边形； ②若AC=BD，则四边形MNPQ一定是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形； ④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形。 所有正确推断的序号是_________。 答案：②③ 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 答案：C 2. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB＝CD B. AD＝BC C. AB＝BC D. AC＝BD 答案：D 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 答案：C 4. 已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。 求证：四边形BEDF是矩形。 证明：在▱ABCD中，AB=CD。 ∵M是AD边的中点， ∴MA=MD，且MB=MC， 即△ABM≌△DCM。 ∴∠A=∠D。 又∵∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°。 ∴四边形ABCD是矩形。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC。 （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE为矩形。 解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠ACB。 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠B=∠EDC，AB=DE。 ∴∠ACB=∠EDC。 ∴△ADC≌△ECD。 （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°。 ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE平行且等于BD，即AE平行且等于DC。 ∴四边形ADCE是平行四边形。 而∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 矩形的判定： 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P106习题19.2中的T1、T2、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 矩形的判定 一、定义法 二、对角线相等的平行四边形 三、有三个角是直角的四边形 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在探究矩形的判定定理过程中，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法。几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急。此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法。还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$