精品解析：河北省保定市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度上学期考评三 高一数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5，本卷主要考查内容：必修第一册第二章2.2~第四章． 一、单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有 B. 函数的零点是， C. 已知方程的解在内，则 D. 函数有两个不同的零点 4. 已知函数是上的偶函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 的值域是 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数且，则（ ） A. 函数和的图像关于直线对称 B. 函数和的图像的交点均在直线上 C. 若，方程的根为，方程的根为，则 D. 已知，若恒成立，则的取值范围为 11. 函数（，且）恰有两个零点，则a可以是（ ） A. 2 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，点P在函数的图象上，则______． 13. 一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要______年（） 14. 已知，函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，求的值． 16. 已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知的定义域为，且满足，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性； （3）若，求x的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求m的取值范围． 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （3）求函数在内的“倒域区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期考评三 高一数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5，本卷主要考查内容：必修第一册第二章2.2~第四章． 一、单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，求出的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】由， 则，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有 B. 函数的零点是， C. 已知方程的解在内，则 D. 函数有两个不同的零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，举例判断即可；对于B，求出函数的零点即可判断；对于C，根据零点存在性定理判断即可；对于D，作出的图象,观察其交点个数即可判断. 【详解】对于A，函数在内有零点， 而，故A错误； 对于B，令，解得或， 所以函数的零点是，3，故B错误； 对于C，设， 因为函数在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，，则， 所以函数在内有唯一零点， 所以方程在内有唯一解，则，故C正确； 对于D，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在，处相交， 所以函数有三个不同的零点，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数是上的偶函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解. 【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到. 故选：A. 5. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象利用得出，，然后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】画出函数的图象，如图， 不妨设，则， 由，则，即，即， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 即的最小值为. 故选：C. 6. 如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 7. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 的值域是 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断；对于B，通过指数幂的运算求解判断；对于C，取特殊值判断；对于D，由当时，判断. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，所以函数为偶函数 ，故A错误； 对于B，， ， 则，故B正确； 对于C，， 当时，，故C错误； 对于D，， 当时，，故D错误． 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再利用作商法结合换底公式及基本不等式即可得解. 【详解】由，，， 则，，， 而，，， 因为， 所以，故； 又， 所以，故. 综上所述，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 设函数且，则（ ） A. 函数和的图像关于直线对称 B. 函数和的图像的交点均在直线上 C. 若，方程的根为，方程的根为，则 D. 已知，若恒成立，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据反函数的性质分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，，同构函数，结合函数单调性分析证明；对于D：根据题意分析可得，构建函数，利用导数分析其最值，结合恒成立问题即可得结果. 【详解】对于选项A：因为和互为反函数，可知其图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可知和的图像有交点和，均不在直线上，故B错误； 对于选项C：由题意可得：， 因为，可得，即， 设函数， 因为在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，则，即，故C正确； 对于选项D：当时，为增函数， 若，则，与矛盾，舍去，所以， 若恒成立，则，即， 两边取对数可得，即， 同理可得：等价于，即， 令，则， 当时，；当时，； 则，可得，解得， 所以的取值范围为， 例如，可得， 即，且为增函数， 可得，符合题意，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于C：根据题意整理可得，，进而可同构函数； 对于D：根据题意分析可知：，解得的取值范围为，进而取反例说明. 11. 函数（，且）恰有两个零点，则a可以是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】转化问题为函数和有2个交点，进而分，两种情况结合图象求解即可. 【详解】令，即， 因为函数恰有两个零点， 则函数和有2个交点. 当时，画出函数的图象，如下图： 由图可知，要使函数和有2个交点， 则，解得； 当时，画出函数的图象，如下图： 由图可知，要使函数和有2个交点， 则，解得，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，点P在函数的图象上，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而计算. 【详解】对于函数， 令，即，则， 所以函数的图象恒过定点， 则，即， 所以，则. 故答案为：9. 13. 一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要______年（） 【答案】23 【解析】 【分析】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可. 【详解】设经过年后的一万只兔子有只， 根据倍增期为21个月，可得， 令，则，则， 则，故大约需要23年， 故答案为：23. 14. 已知，函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数的零点情况，分类讨论的取值，即可求解. 【详解】因为函数在上只有1个零点4， 函数在上有2个零点，为， 若，此时函数在上没有零点， 函数在上有1个零点，不符合题意； 若，此时函数在上有1个零点， 函数在上有1个零点，符合题意； 若，此时函数在上有2个零点， 函数在上有1个零点，不符合题意； 若，此时函数在上有2个零点， 函数在上没有零点，符合题意. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）14；（2）2；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数公式运算即可； （2）根据对数的运算性质运算即可； （3）根据指数与对数的相互转化可得，，进而结合换底公式计算即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，，得，， 则. 16. 已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. 【小问2详解】 不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 17. 已知的定义域为，且满足，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，理由如下， 任取，且使， 而， ， 因为，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可； （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可； （3）移项变形得，从而得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故的解析式. 经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，则， 又因为在上的单调递增， 则，解得. 则的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【小问1详解】 因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． 【小问3详解】 由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （3）求函数在内的“倒域区间”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. 【小问2详解】 当时，方程，即， 设， 由题意知，解得， 则实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 由题意，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以， 则，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $