黄金卷02（河北专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷02 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A A C D A D C B D B 二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.） 13． 14． 15． 16．105 三、解答题：（本大题共8题，第17题7分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是；…………………………………………4分 （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． …………………………………………………………………………7分 18. 解：小丁和小迪的解法都是第一步错误． …………………………………………2分 正确解法如下： 去分母得：， 移项，合并同类项得： 解得： 检验：将代入中可得：， 故原分式方程的解是．…………………………………………8分 19．（1）解∶抽取的学生问卷有（份） 成绩为“8分”的学生有（名）， …………………………………………2分 补全条形统计图如下： …………………………………………4分 （2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8， 中位数为8， 平均数为． ， 平均数最大； …………………………………………6分 （3）解：（名） 答∶估计全校有360名学生达到优秀． …………………………………………8分 20．（1）证明：连接，如图：    ∵与相切于点D ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ …………………………………………4分 （2）解：由（1）可得： ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中：， ∴ ∴ 在直角三角形中： ∴ …………………………………………8分 21．（1）解：设所在直线的解析式为 把及代入， 得 解得 所在直线的解析式为; …………………………………………3分 （2）解：将代入 得解得 ∵点为直线与的交点， 解得 ∴点的坐标为； …………………………………………6分 （3）解：根据光的反射原理，点关于的对称点为，连接与交于点连接 ∴…………………………………………9分 22．（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，， 则为坡顶B到所在直线的距离， 则，， 在中，， ∴， ∵， ∴； …………………………………………5分 （2）由题意得，四边形是矩形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 答：塔架高度约为． …………………………………………9分 23．（1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； …………………………………………3分 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； …………………………………………5分 （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； …………………………………………9分 （3）． …………………………………………11分 24．（1）①； …………………………………………2分 ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； …………………………………………5分 （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； …………………………………………10分 （3）． …………………………………………12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图，根据某机器零件的设计图纸上信息，判断该零件长度合格尺寸在数轴上表示正确的是（  ）    A．   B．   C．   D．   2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列数是不等式的一个解的是（   ） A． B．2 C． D．3 4．对于嘉淇用尺规进行了如下操作： 根据嘉淇的操作方法，可知线段是（   ） A．的高线 B．的中线 C．边的垂直平分线 D．的角平分线 5．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体、若去掉上层的任意一个小正方体，三视图的变化为（   ） A．只有主视图和左视图不变 B．只有主视图和俯视图不变 C．只有左视图和俯视图不变 D．都不变 6．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是( ) A．P与S之间的函数表达式为 B．当S=0.4时，P=250 C．当受力面积小于时，压强大于 D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 7．已知，则a，b，c的关系为①，②，③，④，其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为(  ) A． B． C． D． 9．如图1，在中，分别是的中点，沿将剪成两块拼成如图2所示的图形，嘉淇猜想重新拼成的图形是平行四边形，并推理如下：    ∵分别是的中点， ∴， ∴（即），与能重合． 甲 ， ∴点在一条直线上． 乙 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 推理过程中，有甲、乙两处空格，为使推理过程更完整，下列补充正确的是（    ） A．甲不必补充；乙应补充：∵ B．甲应补充：∵；乙不必补充 C．甲应补充：∵；乙应补充：∵ D．甲和乙都不必补充 10．如图，长方形ABCD位于第一象限，AB轴，AD轴.已知P（，）是长方形ABCD（含边界）内的一个动点，A、C的坐标如图所示，则的最大值与最小值分别是（   ） A．4， B．3， C．4， D．3， 11．若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 12．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.） 13．计算： ． 14．如图所示，在数轴上点A，B分别表示数，3，若点P为线段上不与端点重合的动点，且，则x的取值范围是 ． 15．如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 16．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．    三、解答题：（本大题共8题，第17题7分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 18．嘉嘉和淇淇分别解方程过程如下： 嘉嘉： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 淇淇 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说嘉嘉和淇淇的解题过程有错误，请你把嘉嘉和淇淇开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 19．为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题 (1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图； (2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大； (3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀． 20．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，.      (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中有两点，在线段处放置一平面镜．从点发出一束光线照向平面镜上的动点． (1)求所在直线的解析式； (2)若光线的解析式为，求出点的坐标； (3)若光线经过的反射后落在轴上的点处，直接写出光线从点出发经点反射后到达点的路径长． 22．风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算： (1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离； (2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，， 23．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 24．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图，根据某机器零件的设计图纸上信息，判断该零件长度合格尺寸在数轴上表示正确的是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据10±0.1的意义分析得出答案． 【详解】解：如图所示：该零件长度（L）合格尺寸为10-0.1到10+0.1之间， 故在数轴上表示正确的是：    故选B. 【点睛】本题主要考查了数轴，正确理解“±”的意义是解题关键． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意． 故选C． 3．下列数是不等式的一个解的是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可． 【详解】解：， ， ， ， 是不等式的一个解， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 4．对于嘉淇用尺规进行了如下操作： 根据嘉淇的操作方法，可知线段是（   ） A．的高线 B．的中线 C．边的垂直平分线 D．的角平分线 【答案】A 【分析】利用基本作图可判断BC垂直平分AD，然后利用三角形高的定义进行判断． 【详解】由作法得BC垂直平分AD， 所以AE⊥BC，AE=DE， 即AE为BC边上的高． 故选：A． 【点睛】此题考查作图-基本作图，解题关键在于熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 5．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体、若去掉上层的任意一个小正方体，三视图的变化为（   ） A．只有主视图和左视图不变 B．只有主视图和俯视图不变 C．只有左视图和俯视图不变 D．都不变 【答案】C 【分析】本题考查的是由小正方体堆砌而成的图形的三视图，掌握“三视图的含义”是解本题的关键. 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再从分别去掉上层的一个正方体，看到的小正方形的个数与排列方式两个方面逐一分析可得答案． 【详解】如果去掉上层的最左边的正方体，则主视图发生改变，左视图和俯视图不变； 如果去掉上层的最右边的正方体，则主视图发生改变；左视图和俯视图不变； ∴去掉上层的任意一个小正方体，主视图发生改变；左视图和俯视图不变； 故选：C. 6．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是( ) A．P与S之间的函数表达式为 B．当S=0.4时，P=250 C．当受力面积小于时，压强大于 D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 【答案】D 【分析】依据题意，先设出P与S的函数表达式，得到P与S之间的函数表达式为：，然后代入求值及利用反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：设， 当时，， 即， ∴ ∴P与S之间的函数表达式为：， ∴故A说法正确，不符合题意； 当时，，故B说法正确，不符合题意； 当时，，所以受力面积小于时，压强大于， 故C说法正确，不符合题意； ∵当时，P随S的增大而减小，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7．已知，则a，b，c的关系为①，②，③，④，其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据根据同底数幂的乘法，利用等式的性质将进行适当的变形可得答案． 【详解】解：∵， ， 即， ， ，故①正确； ， 即， ∴， ∴，故②正确； ， 即， ∴，故③正确； ， 即， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，利用等式的性质等知识，根据同底数幂的乘法和等式的性质将原式进行适当的变形是得出答案的前提． 8．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算“*”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，可将所求方程转化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0， 化简得：x2+x-1=0 解得x1= ，x2= ． 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程--公式法，是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键． 9．如图1，在中，分别是的中点，沿将剪成两块拼成如图2所示的图形，嘉淇猜想重新拼成的图形是平行四边形，并推理如下：    ∵分别是的中点， ∴， ∴（即），与能重合． 甲 ， ∴点在一条直线上． 乙 ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 推理过程中，有甲、乙两处空格，为使推理过程更完整，下列补充正确的是（    ） A．甲不必补充；乙应补充：∵ B．甲应补充：∵；乙不必补充 C．甲应补充：∵；乙应补充：∵ D．甲和乙都不必补充 【答案】C 【分析】结合题中证明步骤，由平角的定义、平行线的判定及平行四边形的判定与性质证明即可得到答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， ∴（即），与能重合． ， ∴点在一条直线上． ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，数形结合，熟练掌握平行四边形的判定是解决问题的关键． 10．如图，长方形ABCD位于第一象限，AB轴，AD轴.已知P（，）是长方形ABCD（含边界）内的一个动点，A、C的坐标如图所示，则的最大值与最小值分别是（   ） A．4， B．3， C．4， D．3， 【答案】B 【分析】根据题意，结合坐标系中a，b的最值，分析得出的最大值与最小值即可 【详解】解：根据题意，当取最大值时，即a最小，b最大，则， ∴的最大值是3， 当取最小值时，即a最大，b最小，则， ∴的最小值是． 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形的性质，解题关键是根据题意找出a，b的最值． 11．若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】先将等式右边通分合并化简，根据两边相等，得出分子也相等，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 右边 ， ∵， ∴，则， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的通分计算方法． 12．如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化确定变化的规律，结合，即可求解． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察发现：，，，，，，，，，，..． ∴，，，，（为自然数）， ∵， ∴， 即． 故选：B． 二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.） 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减进行计算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如图所示，在数轴上点A，B分别表示数，3，若点P为线段上不与端点重合的动点，且，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 根据题意列出不等式组，解之可得． 【详解】据题意，得， 解①，得． 解②，得． 故x的取值范围是． 15．如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可． 【详解】解：∵矩形和正方形，点B的坐标为， ∴，， 设，则：， ∴， ∵顶点B，E都在反比例函数的图象上， ∴，解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 16．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．    【答案】105 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图，    则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共8题，第17题7分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． （1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得，求解即可． 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 18．嘉嘉和小迪分别解方程过程如下： 嘉嘉： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说嘉嘉和小迪的解题过程有错误，请你把嘉嘉和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 【答案】嘉嘉和小迪的解法都是第一步错误；见解析 【分析】本题考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【详解】解：嘉嘉和小迪的解法都是第一步错误． 正确解法如下： 去分母得：， 移项，合并同类项得： 解得： 检验：将代入中可得：， 故原分式方程的解是． 19．为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题 (1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图； (2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大； (3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀． 【答案】(1)100份，图见解析 (2)众数为8，中位数为8，平均数为8.05，平均数最大 (3)估计全校有360名学生达到优秀 【分析】（1）根据得分9分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去已知人数可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到中位数与众数，求出平均数比较即可； （3）用1200乘以本次测试成绩达到“优秀”的人数所占比例即可． 【详解】（1）解∶抽取的学生问卷有（份） 成绩为“8分”的学生有（名）， 补全条形统计图如下： （2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8， 中位数为8， 平均数为． ， 平均数最大； （3）解：（名） 答∶估计全校有360名学生达到优秀． 【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，.      (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可推出，通过证可得，即可求证； （2）由可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图：    ∵与相切于点D ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得： ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中：， ∴ ∴ 在直角三角形中： ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判断及性质、利用勾股定理及三角函数解三角形．熟悉相关结论进行几何推导是解题关键． 21．如图，在平面直角坐标系中有两点，在线段处放置一平面镜．从点发出一束光线照向平面镜上的动点． (1)求所在直线的解析式； (2)若光线的解析式为，求出点的坐标； (3)若光线经过的反射后落在轴上的点处，直接写出光线从点出发经点反射后到达点的路径长． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）将点代入，得解得，再联立求解方程组即可； （3）根据轴对称的性质，若光线经过的反射后落在轴上的点处，则入射光线所在直线经过点再求两条直线的交点即可 【详解】（1）解：设所在直线的解析式为 把及代入， 得 解得 所在直线的解析式为; （2）解：将代入 得解得 ∵点为直线与的交点， 解得 ∴点的坐标为； （3）解：根据光的反射原理，点关于的对称点为，连接与交于点连接 ∴…………………………………………2分 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，轴对称的性质，一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题等知识，根据轴对称的性质，确定点所在的直线是本题的关键． 22．风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算： (1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离； (2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，， 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，， 则为坡顶B到所在直线的距离， 则，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）由题意得，四边形是矩形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 答：塔架高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键． 23．综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；② (2) (3) 【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可； ②根据平移的特点求出点B的坐标即可； （2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设点，，求出，求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； （3）解：设， 由（1）②可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点，， 则有， 解得， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴h的最小值为． 故答案为：． …………………………………………6分 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 24．（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；②连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合①结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得,结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得,根据,得，得点I、J重合，即得 【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． …………………………………………9分 【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，是解题的关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$