专题突破：平面向量重点题型突破（11大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题突破：平面向量重点题型突破 1、 平面向量基本定理及应用 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． （3）平面向量基底表示中的“系数”的“和、差、积、商、平方和”等问题的解题策略： (1)逐个求解法，即根据平面向量基本定理，将向量通过不同的途径用已知基底表示出来，建立相应的二元一次方程组，通过解方程组，把系数分别求出来，进而求得结果； (2)整体代入法，观察题目提供的向量表达式的系数和所求“系数”的基本特征，运用“整体代入”思想，整体求解． 2、平面向量数量积的计算方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的常用结论． 3、求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cosθ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； (2)坐标法． 4、求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值、范围的常用方法 ①利用三角函数求最值(范围)． ②利用基本不等式求最值(范围)． ③建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． ④数形结合，应用图形的几何性质求最值． 5、平面向量数量积最值、范围问题的解题策略 (1)直接根据数量积定义进行运算a·b＝ |a||b|cos θ，进而得出最值或范围． (2)建立坐标系，引入坐标运算，即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数，进而求得最值． (3)基底表示，即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示，进而转化为“基底向量”的数量积． (4)通过几何意义，利用数形结合的思想求得最值或范围． 6、三角形边角计算问题： （1）根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解． （2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．在△ABC中，已知a，A，b，三角形解的个数如下： (1)A为锐角 ①a<bsin A，无解；②a＝bsin A或a≥b，一解；③bsin A<a<b，两解； (2)A为直角或钝角 ①a≤b，无解；②a>b，一解． 7、几何图形相关解三角形问题：平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想． 8、三角形在、范围问题：通过边角转化，应用函数的单调性、三角函数的图像和性质、基本不等式等. 题型一 平面向量基底表示中的“系数”问题 【例1】（21-22高三上·山东日照·开学考试）在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 【变式1-1】（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【变式1-3】（20-21高一下·山东枣庄·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 题型二 平面向量数量积的计算 【例2】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【变式2-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（2022·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知点P为内一点，，则 ． 题型三 平面向量的夹角问题 【例3】（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则=（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（18-19高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型四 平面向量模的问题 【例4】（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【变式4-3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 题型五 数量积最值、范围问题 【例5】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 【变式5-1】（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【变式5-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是 . 题型六 三角形边角计算问题 【例6】（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)证明：为钝角三角形． (2)若的面积为，求． 【变式6-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积为b，求的值. 题型七 几何图形中解三角形问题 【例7】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，.   (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【变式7-1】（多选）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（    ） A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B．若，，则 C．若，则 D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍 【变式7-2】在圆的内接四边形中，，，，示意如图．    (1)若是圆的直径，求的长； (2)若圆的直径为，求四边形的面积． 【变式7-3】（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点（、、、按逆时针方向排列）. (1)求及圆的半径； (2)求四边形面积的最大值. 题型八 三角形面积问题 【例8】（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【变式8-1】（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·贵州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，. (1)求； (2)求的值； (3)求的面积. 题型九 三角形周长问题 【例9】（23-24高一下·湖南郴州·期末）设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 【变式9-1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【变式9-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【变式9-3】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 题型十 三角形中最值、范围问题 【例10】（23-24高一下·广东佛山·期中）设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【变式10-1】（21-22高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【变式10-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 题型十一 解三角形与平面向量交汇问题 【例11】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【变式11-1】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期末）中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知点D是三角形的边上的点，且，，则（    ） A．若点D是的中点，，则 B．若平分，则 C．当三角形的面积取最大值时，的最小值为 D．若，且D是的中点，则一定是直角 【变式11-3】（23-24高一下·湖南益阳·期末）已知中，，，为边上的中线，若，则 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：平面向量重点题型突破 1、 平面向量基本定理及应用 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． （3）平面向量基底表示中的“系数”的“和、差、积、商、平方和”等问题的解题策略： (1)逐个求解法，即根据平面向量基本定理，将向量通过不同的途径用已知基底表示出来，建立相应的二元一次方程组，通过解方程组，把系数分别求出来，进而求得结果； (2)整体代入法，观察题目提供的向量表达式的系数和所求“系数”的基本特征，运用“整体代入”思想，整体求解． 2、平面向量数量积的计算方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的常用结论． 3、求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cosθ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系； (2)坐标法． 4、求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值、范围的常用方法 ①利用三角函数求最值(范围)． ②利用基本不等式求最值(范围)． ③建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． ④数形结合，应用图形的几何性质求最值． 5、平面向量数量积最值、范围问题的解题策略 (1)直接根据数量积定义进行运算a·b＝ |a||b|cos θ，进而得出最值或范围． (2)建立坐标系，引入坐标运算，即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数，进而求得最值． (3)基底表示，即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示，进而转化为“基底向量”的数量积． (4)通过几何意义，利用数形结合的思想求得最值或范围． 6、三角形边角计算问题： （1）根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解． （2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．在△ABC中，已知a，A，b，三角形解的个数如下： (1)A为锐角 ①a<bsin A，无解；②a＝bsin A或a≥b，一解；③bsin A<a<b，两解； (2)A为直角或钝角 ①a≤b，无解；②a>b，一解． 7、几何图形相关解三角形问题：平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想． 8、三角形在、范围问题：通过边角转化，应用函数的单调性、三角函数的图像和性质、基本不等式等. 题型一 平面向量基底表示中的“系数”问题 【例1】（21-22高三上·山东日照·开学考试）在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】由题意作图，利用平面向量的线性运算，以为基底表示，结合共线，可得答案. 【详解】 由已知， ，，共线，所以，． 故答案为：. 【变式1-1】（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量的线性运算求得，由此求得，进而求得的值. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，，即. 故选：D. 【变式1-2】（21-22高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 【变式1-3】（20-21高一下·山东枣庄·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 题型二 平面向量数量积的计算 【例2】（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可. 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 【变式2-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（2022·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量、数量积的坐标表示 【分析】由题可得为的中点，建立直角坐标系利用向量的坐标法即得. 【详解】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知点P为内一点，，则 ． 【答案】2 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】设，进而可得，根据模长结合数量积的运算律分析求解即可. 【详解】设， 则，， 可得， ， 两式相减可得， 可得， 所以. 故答案为：2. 题型三 平面向量的夹角问题 【例3】（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 【变式3-1】（18-19高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 【变式3-2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】先根据已知条件求出向量与的点积，再利用向量点积公式求出. 【详解】，两边平方可得，即. 因为，所以；，所以. 那么. 又因为，所以，解得. 根据公式，可得，解得. 故选：A. 题型四 平面向量模的问题 【例4】（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 【变式4-3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）利用线性运算和平面向量的基本定理求解； （2）用表示向量，再利用数量积的运算求解. 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， 又， 所以， ， 所以. 题型五 数量积最值、范围问题 【例5】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、向量加法的法则、数量积的运算律 【分析】设外接圆圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值可得结论. 【详解】设外接圆圆心为，半径为， 由余弦定理有，所以， 由正弦定理有，即， ， 设到三边，，的距离分别为，则 ，， . 所以的最小值为，最大值为， 即的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值、求投影向量 【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量在方向上的投影长度与的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方向相同的为正数，与方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围. 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】由题意结合向量的加减可构造适当的图形，利用正弦定理表示出，，，进而可表示出，结合三角变换即可求得答案；另解，可用极化恒等式求解, 【详解】由知， 作，，， 则，，， 所以四点共圆，设圆心为，半径为， 设，， 在中由正弦定理得， 则，，， 要使取最大值，则为锐角，所以， 则 ，（为辅助角，）， 当且仅当时取等号， 即的最大值是. 另解：极化恒等式：同方法1构图，取的中点，连接， 由极化恒等式有，， 由于，， 所以， 则， 当且仅当三点共线时，取“=”. 即的最大值是. 故答案为： 题型六 三角形边角计算问题 【例6】（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)证明：为钝角三角形． (2)若的面积为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理即可证明； （2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以，所以为钝角，故为钝角三角形． （2）解：因为的面积， 所以． 由（1）知，所以， 由余弦定理，得， 结合，解得． 【变式6-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积为b，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理得，可得，再代入，得，可求，进而可得的值； （2）由三角形的面积可得，再由余弦定理得，由同角三角函数的关系可得，计算可求得的值. 【详解】（1）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴； （2）∵，∴， ∵且，∴， ∵，∴，∴或， 当时，，∴， 当时，，∴. 题型七 几何图形中解三角形问题 【例7】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，.   (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由条件结合正弦定理证明，由此证明结论； （2）由余弦定理求，结合三角形面积公式求结论. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以. 又， 所以， 所以. （2），则，由（1）知， 因为，则在中，由余弦定理得， ，即 又，解得， 此时四边形的面积. 【变式7-1】（多选）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（    ） A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B．若，，则 C．若，则 D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍 【答案】ABD 【解析】根据对称性，所以，故A正确； 在中，，而， 所以， ， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故B正确 不妨设，， 由余弦定理，解得， 所以，故C错误； 若是的中点，， 所以,故D正确. 故选：ABD． 【变式7-2】在圆的内接四边形中，，，，示意如图．    (1)若是圆的直径，求的长； (2)若圆的直径为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或． 【解析】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径， 则与为直角三角形，有， 又，，即，整理得， 所以. （2）   连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 设，则，即，解得， 设，同理在中有，，解得， 因此四边形的面积 ， 所以四边形的面积为或. 【变式7-3】（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点（、、、按逆时针方向排列）. (1)求及圆的半径； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1),1 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由余弦定理及正弦定理即可得解； （2）问题转化为求面积的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， , 所以， 设圆的半径为， 由正弦定理知，，即. （2）由（1）知，，即, 可得，， 在中， , 即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形的面积， 所以当，即为 中点时，四边形面积最大值. 题型八 三角形面积问题 【例8】（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 【变式8-1】（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理得，平方关系求出，再利用面积公式可得答案. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 【变式8-2】（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【变式8-3】（24-25高三上·贵州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，. (1)求； (2)求的值； (3)求的面积. 【答案】(1)7； (2)； (3). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题设可得，应用余弦定理求边长； （2）由正弦定理有，，即可求结果； （3）应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由，得，因为，所以， 根据余弦定理得. （2）根据正弦定理，得，则，， 故. （3）的面积. 题型九 三角形周长问题 【例9】（23-24高一下·湖南郴州·期末）设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)20. 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； （2）由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 【变式9-1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 【变式9-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【答案】(1); (2). 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. （2）因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 【变式9-3】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角性质求角的大小； （2）应用面积公式可得，进而有，余弦定理求得，即可得三角形周长. 【详解】（1）由题设，又，则， 所以，则. （2）由题意，可得，又，则， 由余弦定理，有，则， 综上，的周长为. 题型十 三角形中最值、范围问题 【例10】（23-24高一下·广东佛山·期中）设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，结合三角形可知，即可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 又因为，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 由三角形可知：，即，可得， 所以周长的范围为. 【变式10-1】（21-22高一下·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 【变式10-2】（23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求解. 【详解】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）利用向量中线定理建立方程求解参数即可. （2）先用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即可. （3）利用折叠性质结合正弦定理将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解即可. 【详解】（1） 化简得：，， （2）在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) （3）连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 题型十一 解三角形与平面向量交汇问题 【例11】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由向量平行，可得，再由正弦定理和余弦定理可得的值，进而求出角的大小； （2）由余弦定理可得的值，即可求得周长． 【详解】（1）由，，且， 可得：， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 所以，又，所以； （2）由，，故 由，由余弦定理，可得， 解得， 所以的周长为． 【变式11-1】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期末）中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、三角形面积公式及其应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由余弦定理、面积公式、辅助角公式化简条件可判断A； 利用面积公式计算可判断B； 分别取的中点可得，求出、，再计算可判断C； 对两边分别乘以可判断D． 【详解】对于A，由，得， 由余弦定理得 ，即， 得，又，故， ∴，即，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，如图，分别取的中点，连接， ， 所以， ， ，所以C正确； 对于D，， 由，可知， 得，解得：，，故，所以D正确． 故选：ACD. 【变式11-2】（多选）（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知点D是三角形的边上的点，且，，则（    ） A．若点D是的中点，，则 B．若平分，则 C．当三角形的面积取最大值时，的最小值为 D．若，且D是的中点，则一定是直角 【答案】BCD 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】将平方，即可求出，即可判断A；由角平分线定理直接判断B；根据面积公式分析直角时面积最大，后用等面积法即可求解，进而可判断C；设，由正弦定理可得，分类讨论计算可判断D. 【详解】对于A，因为点是的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 故，故A错误； 对于B，在中，因为平分，，,直接由角平分线定理知道， 所以，故B正确； 对于C，当三角形的面积取最大值时，， 则为直角，，的最小即为直角三角形斜边上的高， 用等面积法，，代入，解得，故C正确； 对于D，设，， 在中，由正弦定理可得，， 又因为，所以，即， 在中，，所以， 同理在中，有， 因为是的中点，即，即， 得则，或， 当时，即，即，即是等腰三角形， 而，所以， 所以，故D正确. 故选： BCD. 【变式11-3】（23-24高一下·湖南益阳·期末）已知中，，，为边上的中线，若，则 . 【答案】9 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算、向量加法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】由，利用向量数量积的运算求得，由余弦定理即可求得. 【详解】设，为边上的中线，有， 故可得， 代值可得，解得. 由余弦定理可得. 故答案为：9. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$