第二章 实数知识归纳与题型突破-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

第二章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 1、平方根：如果 x²=a，则 x 叫做a 的平方根，记作“± ”（a 称为被开方数） 2、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x2 a ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。 3、立方根：如果x3=a，则x 叫做 a 的立方根，记作“”。 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 4、平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 （3）0 的算术平方根与平方根同为 0。 5、平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和。 6、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 7、实数 有理数和无理数统称为实数. 8、实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 　要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 9、实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 10、实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 11、实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 12、实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型一　平方根、算术平方根 例题1-1：（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 例题1-2：（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 巩固训练 1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 4．（2023·四川绵阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A． B．一定没有平方根 C．的平方根是 D．一定有平方根 5．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 6．（四川凉山·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C．8 D．6 7．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）的算术平方根是 ． 8．（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）若一个自然数的算术平方根是，则比这个自然数大1的自然数是 ． 9．（安徽合肥·期末） ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为，则该数是 ，它的另一个平方根是 ． 11．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如果和是一个非负数的平方根，那么这个非负数是 ． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则m的值为 ． 题型二　利用平方根解方程 例题：15．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）解方程． (1)． (2) 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）求下列式子中的x：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 题型三　算术平方根的非负性 例题3-1：（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知实数a，b，c满足：，求： (1)a，b，c的值． (2)的算术平方根． 例题3-2：（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知满足，求的算术平方根． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末），则 （   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）若，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，则 ． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 题型四　与算术平方根有关的规律探究题 例题：（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 题型五　平方根与立方根的综合应用 例题5-1：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 例题5-2：（23-24七年级下·广东广州·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)分别求出，的值； (2)求的平方根． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 4．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是的整数部分，求的算术平方根． 题型六　实数的分类 例题：（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在给出的一组数0，，，3.14，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　 　；分数：　 　；负数：　 　；无理数：　 　． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 题型七　实数与数轴的综合应用 例题7-1：（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 例题7-2：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 题型八　实数的大小比较 例题8-1：（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 例题8-2：（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）以下四个数中最小的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）若A=，B=，则A2﹣B2与6AB的大小关系是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 6．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如果实数，那么a，，，自小到大顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）比较大小： 1． 8．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）比较大小： ． 题型九　实数的运算 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算； (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： 题型十　无理数的估算 例题：（七年级下·宁夏固原·期末）阅读下面的文字，解答问题，我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[]＝1，而大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用1来表示的小数部分，即1，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如： ∵22＜（）2＜32；即23， ∴[]＝2，2 请解答（写出过程） （1）[]＝　 　，　 　． （2）如果a，[]＝b，求a＋b的平方根． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）估计的大致范围是（    ） A．在到0之间 B．在0到1之间 C．在1到2之间 D．在2到3之间 4．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 5．（八年级上·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： (1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 6．（七年级下·广东汕尾·期末）我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 7．（八年级上·四川达州·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： （1）的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； （2）已知的小数部分是，的小数部分为，那么__________； （3）已知的在整数部分为，的小数部分为，求的平方根． 题型十一　实数的规律探究题 例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 巩固训练 1．（23-24九年级下·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 6．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 7．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数知识归纳与题型突破（题型清单） 1、平方根：如果 x²=a，则 x 叫做a 的平方根，记作“± ”（a 称为被开方数） 2、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x2 a ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。 3、立方根：如果x3=a，则x 叫做 a 的立方根，记作“”。 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 4、平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 （3）0 的算术平方根与平方根同为 0。 5、平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和。 6、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 7、实数 有理数和无理数统称为实数. 8、实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 　要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 9、实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 10、实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 11、实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 12、实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型一　平方根、算术平方根 例题1-1：（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 例题1-2：（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解． 根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴ ∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为5． 故答案为：5． 巩固训练 1．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求平方根，算术平方根， 根据算术平方根解答A，B，C，再根据平方根解答D 即可． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决 【详解】A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确； B．选项B负数没有平方根，错误； C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误； D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误； 故选：A． 4．（2023·四川绵阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A． B．一定没有平方根 C．的平方根是 D．一定有平方根 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义，被开方数大于等于零，逐项判断即可． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．当时，的平方根是0，故本选项不符合题意； C．的平方根是，故本选项不符合题意； D．，因为，所以，一定有平方根，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 6．（四川凉山·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运用，求一个数的平方根，掌握完全平方公式，开方的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，将原式变形得，根据求一个数的平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 7．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）若一个自然数的算术平方根是，则比这个自然数大1的自然数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，列代数式等知识点，深刻理解算术平方根的定义是解题的关键． 由于一个自然数的算术平方根是，根据算术平方根的定义可以得到这个自然数为，然后即可求得比这个自然数大1的自然数． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是， ∴这个自然数是， ∴比这个自然数大1的自然数是， 故答案为：． 9．（安徽合肥·期末） ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根， 根据，再求出25的算术平方根即可． 【详解】根据题意，得． 故答案为：5． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为，则该数是 ，它的另一个平方根是 ． 【答案】 /0.25 / 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵ 这个数的一个平方根为， ∴这个数为，另一个平方根为， 故答案为：；． 11．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如果和是一个非负数的平方根，那么这个非负数是 ． 【答案】或/16或1 【分析】本题主要考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质列出方程计算即可． 【详解】解：和是一个非负数的平方根， ， 解得：， ， ， 或， 解得：， ， ． 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二　利用平方根解方程 例题：15．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）解方程． (1)． (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． （1）根据平方根的性质，直接开平方求解即可； （2）根据立方根的性质，直接开立方求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以3得：， 两边开方得：或； （2）解：， 移项得：， 两边同除以3得：， 两边开方得：或 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）求下列式子中的x：． 【答案】或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，先移项、化系数为1，再运用平方根知识进行求解即可． 【详解】解：移项，得， 系数化为1，得， ∵， ∴， 解得：或． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． （1）移项，利用平方根，解方程即可； （2）利用平方根，解方程即可； （2）整理，利用平方根，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得； （2）解：， 开方得， 即，， 解得或； （3）解：， 整理得， 开方得， 即，， 解得或． 题型三　算术平方根的非负性 例题3-1：（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知实数a，b，c满足：，求： (1)a，b，c的值． (2)的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零；求算术平方根；掌握算术平方根、绝对值与平方数的非负性质是解题的关键； （1）原式可化为，由非负数的性质即可求解； （2）由（1）中所求a，b，c的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2）解：由（1）得：，，， ， ， 即的算术平方根是． 例题3-2：（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知满足，求的算术平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为，先根据算术平方根的非负性，得出，再由非负数之和为，求出，求得的值，进而求得的算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求代数式的值，先由算术平方根和绝对值的非负性得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，解方程即可求出m，n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， 故答案为：8． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值、二次根式的非负性以及二元一次方程组及其解法，根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得，，可得的值，再代入等式求出的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数的算术平方根是非负数，即． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 题型四　与算术平方根有关的规律探究题 例题：（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 题型五　平方根与立方根的综合应用 例题5-1：（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 例题5-2：（23-24七年级下·广东广州·期中）若是的算术平方根，为的立方根，试求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出、，再代入、求出结果，进而得到的平方根． 【详解】解：由题意得： ，， 的平方根是． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 2．（24-25八年级上·四川内江·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)分别求出，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据立方根和算术平方根求原数，解二元一次方程组： （1）根据算术平方根和立方根的定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求结合完全平方公式代值计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程，熟练掌握算术平方根，立方根，解二元一次方程的方法是解题的关键． 由题意得，解方程组得，得出，即可求解． 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 4．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是4，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】7 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，以及估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案，正确得出a，b，c的值是解题关键． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是， ， ， ， 是的整数部分， 又， ， ． 题型六　实数的分类 例题：（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）有下列各数： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113…（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有______．（填序号） (2)属于负分数的有______．（填序号） (3)属于无理数的有______．（填序号） 【答案】(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦ 【分析】本题考查了求算术平方根、求绝对值、实数的分类，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先化简，，再根据整数的定义即可得解； （2）根据负分数的定义即可得解 （3）根据无理数的定义即可得解． 【详解】（1）解：，， 属于整数的有④⑥； （2）解：属于负分数的有②⑤； （3）解：属于无理数的有③⑦． 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在给出的一组数0，，，3.14，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有：π，，共有3个． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括，故该选项不符合题意； 故选： A． 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 【答案】②④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：无理数有：，，，0.1010010001．．．（相邻两个1之间依次增加一个0）， 故答案为：②④⑤⑦． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，， 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【答案】，0，；，；， 【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分类即可． 无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数． 【详解】解：，， 整数：，0，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案为：，0，；，；， 题型七　实数与数轴的综合应用 例题7-1：（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 例题7-2：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，A长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为（   ） A． B． C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据实数，，在数轴上的位置，确定，，和0的大小关系，进而可知，掌握二次根式性质是求解本题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．b B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出数轴如下： ∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等, ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查实数运算．由数轴易得，且，则，再实数的运算，绝对值的性质及立方根的定义化简即可． 【详解】解：由数轴易得，且， 则， ， 故答案为：0． 题型八　实数的大小比较 例题8-1：（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 【答案】 ＜ ＜ ＜ 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；因此此题可根据无理数的估算分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为＜，＜，＜． 例题8-2：（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据被开方数越大，二次根式越大直接比较即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）以下四个数中最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较；先根据实数的大小比较法则比较大小，即可求解． 【详解】解：， ∴最小的是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．根据正数大于0大于负数，绝对值越大的负数反而越小，即可作答．也考查了立方根． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴实数，，，都大于 ∴最小的是， 故选：B． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较、绝对值大的反而小是解题的关键． 根据两个负数比较、绝对值大的反而小逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，则，故此选项错误，不符合题意； B、由，，则，故此选项正确，符合题 C、由，，则，故此选项错误，不符合题意； D、由，，则，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用放缩法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， ，， ，， 即，， ， 故选B． 5．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）若A=，B=，则A2﹣B2与6AB的大小关系是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别计算出和，再都化为根号下的数，即可求解 【详解】解：由题意得，； ， 故选：C 6．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如果实数，那么a，，，自小到大顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，用特殊值法比较大小是解题的关键． 用特殊值法比较大小即可． 【详解】解：若，则，，， ， ． 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）比较大小： 1． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．作差法进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和实数的大小比较，根据题意，作差，先通分，得，得到，根据，，则，推出，即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九　实数的运算 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算； (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根化简，求立方根的计算化简，再运用有理数的加减运算计算即可； （2）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键， （1）利用负数指数幂、开立方、平开方对各项进行化简，再计算即可得到答案； （2）利用开平方、去绝对值、开立方对各项进行化简，再计算即可得以答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值等知识点， (1)原式去括号合并即可得到结果； (2)原式利用算术平方根定义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； 熟练掌握数的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是正确理解绝对值的非负性是解答问题的关键． 先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型十　无理数的估算 例题：（七年级下·宁夏固原·期末）阅读下面的文字，解答问题，我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[]＝1，而大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用1来表示的小数部分，即1，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如： ∵22＜（）2＜32；即23， ∴[]＝2，2 请解答（写出过程） （1）[]＝　 　，　 　． （2）如果a，[]＝b，求a＋b的平方根． 【答案】（1）3，；（2）±2 【分析】（1）先估算出的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，得出a和b的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴[]＝3，＜＞＝， 故答案为：3，， （2）∵＜＞＝﹣2， ∴a＝， ∵， ∴， ∴， ∴a＋b﹣＝＝4， ∵4的平方根是±2， ∴a＋b﹣的平方根是±2， 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即和之间， 故选：B 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键． 因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选： B． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）估计的大致范围是（    ） A．在到0之间 B．在0到1之间 C．在1到2之间 D．在2到3之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算．由得到，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，由题目所给条件可知，得出，从而可得出答案． 【详解】解：∵ ． ∴， ∴， 即， ∴， 故选：C． 5．（八年级上·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： (1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2)①4，；②1；③． 【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）①求出，进而可得答案； ②根据，，求出a，b的值，然后代入计算即可； ③估算出的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； ②∵，， ∴，， ∴，， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 6．（七年级下·广东汕尾·期末）我们知道，无理数就是无限不循环小数．例如，就是无理数，所以的小数部分是不可能全部写出来的．但我们可以用来表示的小数部分．再如，是无理数，因为，即，所以的整数部分为2，的小数部分为．请你观察上面规律后解决下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （3）已知，其中是x整数，且，求的相反数． 【答案】（1）3，；（2）；（3）． 【分析】（1）利用无理数的估算求值； （2）利用无理数的估算确定a和b的值，然后代入求解； （3）根据无理数的估算确定x和y的值，然后求解． 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是-3， 故答案为：3；-3； （2）∵＜＜，＜＜， ∴1＜＜2，2＜＜3， ∴a=-1，b=-2， ∴ =(−1)+(−2)−8 =3-+5-2-8 =--2； （3）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴12＜10+＜13， 又∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x=12，y=10+-12=-2， ∴x-y=12-（-2）=14-， ∴x-y的相反数是-14． 7．（八年级上·四川达州·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： （1）的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； （2）已知的小数部分是，的小数部分为，那么__________； （3）已知的在整数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【答案】（1）2，；（2）1；（3）． 【分析】（1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可； （3）先估算出的取值范围，再确定x、y的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵1＜2＜4 ∴1＜＜2 ∴的整数部分是1， ∴的整数部分为2，小数部分为= 故答案为2，； （2）∵1＜3＜4 ∴1＜＜2 ∴的整数部分是1， ∴的整数部分为3，小数部分为a=；的整数部分为5，小数部分为b== ∴a+b=+=1 故答案为1； （3）∵9＜11＜16 ∴3＜＜4 ∴的整数部分为x=3，小数部分为y=-3 ∴ ∵． 故答案为． 题型十一　实数的规律探究题 例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 巩固训练 1．（23-24九年级下·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 5．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是 【答案】 【分析】此题主要考查实数的规律探索，根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第100个数． 【详解】一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第100个数应是， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 7．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 【答案】(1)6， (2)， (3)1 (4)三 【分析】本题考查了整式的混合运算，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$