5.3.2正切函数的图象与性质（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

5.3 三角函数的图象与性质 5.3.2 正切函数的图象与性质 第5章 三角函数 复习引入 我们可以类比画正弦曲线的方式，利用单位圆上的正切线作正切函数 在区间上的图象，如图. 新知探索 由诱导公式可得：，其中. 这说明正切函数在上的图象与其在上的图象完全相同，因此可以将正切函数在区间上的图象逐次向左和向右平移个单位长度，就得到正切函数 的图象(如下图)，这称为正切曲线. 新知探索 由图象可以看出：正切曲线由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成. 下面我们来研究正切函数的诸多性质： 新知探索 由可知正切函数是周期函数，是它的周期，而是正切函数的最小正周期. 由图中的正切线可知，随着的弧度数从开始增大，的长度也在增大，并且当趋向于时，的长度可以大于指定的任意正数，即趋向于无穷大，则能取到内的任意实数.类似地，也能取到内的任意实数.因此，正切函数的值域是实数集，正切函数没有最大值和最小值. 新知探索 观察正切曲线，我们可以看到正切曲线关于原点对称，正切函数应该是奇函数. 由诱导公式知，正切函数是奇函数. 从图可以看出：正切函数在每个开区间上单调递增. 新知探索 函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间上都单调递增 对称中心 例析 例 5 求函数的定义域和单调区间. 解 要使函数有意义，自变量应满足 ，即. 所以函数的定义域是且，. 由，得. 因此，函数的单调递增区间是，. 例析 例 6 利用函数的单调性，比较下列各组数得大小： (1)；(2). 解 (1)由于， 且函数在区间上单调递增， 因此. 例析 例 6 利用函数的单调性，比较下列各组数得大小： (1)；(2). 解 (2)由于， 且函数在区间上单调递增， 因此. 练习 题型一：正切函数的定义域、值域问题 例1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2) . 解：(1)依题意得所以. 所以函数的定义域是 由正切函数的值域可知该函数的值域是 练习 例1.求下列函数的定义域和值域： (1) (2) . 解：(2)依题意得所以. 结合的图象可知，在区间上， 满足的角应满足 所以函数的定义域为其值域为 练习 方法技巧： 1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即. (2)求正切函数)的定义域时，要使“”视为一个“整体”.令解得. 练习 2.解形如的不等式的步骤 作图象 求界点 求范围 写出解集 作点上的正切函数图象 求在上使成立的值 求在上使成立的的范围 据正切函数的周期性，写出定义域 练习 变1.函数在上的最大值与最小值的差为( ). A. B. C. D. 答案：A. 解：∵，∴ 又在上为单调递增函数 ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值，. ∴最大值与最小值的差为： 练习 题型二：与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 例2.(1)若的周期为1，则的值为( ). A. B. C. D. 答案：D. 解：∵的周期为 ∴即 则 练习 例2.(2)判断下列函数的奇偶性： ①；② . 解：①∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是偶函数. ②∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是奇函数. 练习 方法技巧： 1.函数周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法：对于函数，它的最小正周期. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看与的关系. 提醒：的对称中心坐标为 练习 变2.(1)(多选)已知函数，则下列结论正确的是( ). A.是的一个周期 B. C.的值域为R D.的图象关于点对称 答案：ACD. 解：∵的最小正周期为，∴是的一个周期，故A正确. ∵∴B错误. 易知的值域为R，∴C正确. 的图象关于点对称，∴D正确. 练习 (2)，若，则的值为( ). A.0 B.3 C.1 D.2 答案：A. 解：∵， ∴当时，有， ∴ 则 练习 题型三：正切函数的单调性及应用 例3.求函数的单调递减区间. 解：∵ ∴的单调递减区间是的单调递增区间. 由得： ， 所以函数的单调递减区间是 练习 方法技巧： 1.求函数,且都是常数)的单调区间的方法 (1)若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可. (2)若，可利用诱导公式先把转化为，即把的系数转化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可. 练习 方法技巧： 2.运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 注：只有增区间；只有减区间. 练习 变3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小. (1)与；(2)与. 解：(1)∵ ， 且在上是增函数， ∴即. (2)， ∵在上单调递增， ∴即. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)正切函数的图象； (2)正切函数的图象的周期性、值域、奇偶性和单调性. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P181的练习1——3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$