第2章 相交线与平行（单元测试卷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

第2章：《相交线与平行线》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•姑苏区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2024秋•永春县期末）如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 3．（2024秋•仁寿县期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•安宁区校级期末）如图，下列推理及所论述理由正确的是（　　） A．因为DE∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，两直线平行 B．因为∠2＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，两直线平行 C．因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：两直线平行，内错角相等 D．因为∠1＝∠C，所以DE∥BC．理由是：两直线平行，同位角相等 5．（2024秋•建邺区校级期末）如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（　　） A．80° B．85° C．95° D．100° 6．（2024秋•秦淮区期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 7．（2024秋•南通期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系 为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90° 8．（2024秋•北林区期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2024•建始县一模）小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　） A．22° B．20° C．25° D．30° 10．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2023秋•化州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于 　 　． 12．（2024秋•安徽期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为　 　． 13．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝130°，则∠1＝　 　度． 14．（2024秋•晋江市期末）如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，则∠DBH＝ 　 　°． 15．（2024春•江陵县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号） 16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　 　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 18．（8分）（2024春•新城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE＝2∠BOE．过点O作OF⊥OE． （1）若∠COF＝54°，求∠BOE的度数； （2）若∠COF＝∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？ 19．（8分）（2024春•武侯区校级期中）如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：AB∥MN，理由如下： 因为 EF⊥AC，DB⊥AC，（已知） ∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（ 　 　） ∴EF∥DM，（ 　 　） ∴∠2＝∠CDM．（ 　 　） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1＝∠　 　，（ 　 　） ∴MN∥CD，（ 　 　） ∵∠3＝∠C，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　） ∴AB∥MN．（ 　 　） 20．（8分）（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 21．（9分）（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 22．（9分）（2023秋•船营区校级期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝　 ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　 　； 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数． 23．（10分）（2024秋•朝阳区校级期末）已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　 　（直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　 °． 24．（12分）（2024秋•常宁市期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°． （1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由； （2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数； （3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章：《相交线与平行线》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•姑苏区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】平行线的判定和性质，垂直等，对各选项逐一判断，可得到结果． 【解答】解：A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故该选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项错误，不符合题意； C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直等，熟练掌握平行线的相关性质是解题的关键． 2．（2024秋•永春县期末）如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【解答】解：PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短． 故选：D． 【点评】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短． 3．（2024秋•仁寿县期末）将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余角的定义，可得答案． 【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了余角，利用余角的定义是解题关键． 4．（2024秋•安宁区校级期末）如图，下列推理及所论述理由正确的是（　　） A．因为DE∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，两直线平行 B．因为∠2＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，两直线平行 C．因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：两直线平行，内错角相等 D．因为∠1＝∠C，所以DE∥BC．理由是：两直线平行，同位角相等 【分析】此题考查平行线的性质及判定定理，可由同位角，内错角，同旁内角判定其平行，又有平行可得角之间的关系． 【解答】解：A、DE∥BC，所以∠1＝∠C，即两直线平行，同位角相等，题中理由叙述错误，故错误； B、∠2＝∠3，可得DE∥BC，即内错角相等，两直线平行，而不是同位角，故错误； C、DE∥BC，所以∠2＝∠3，即两直线平行，内错角相等，故正确； D、∠1＝∠C，所以DE∥BC，即同位角相等，两直线平行，故错误． 故选：C． 【点评】熟练掌握平行线的判定及性质，不要将性质与判定混淆． 5．（2024秋•建邺区校级期末）如图，已知∠A与∠B互补，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（　　） A．80° B．85° C．95° D．100° 【分析】根据题意，由条件得到AD∥BC，从而得到∠ADE＝40°，结合角平分线得到∠ADC＝2∠ADE＝80°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：∵∠A与∠B互补， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠ADE， ∵∠1＝40°， ∴∠ADE＝40°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE＝80°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝180°﹣80°＝100°， ∴∠2＝∠DCB＝180°﹣80°＝100°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 6．（2024秋•秦淮区期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案． 【解答】解：A、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，故此选项不符合题意； B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意； C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意； D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 7．（2024秋•南通期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系 为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90° 【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案． 【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°， ∴∠3＝∠BOD， ∵∠EOD+∠1＝90°， ∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°， ∴∠3﹣∠2+∠1＝90°， 故选：D． 【点评】本题考查互余的概念，关键是掌握余角的性质． 8．（2024秋•北林区期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【解答】解：∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA， ∵BC平分∠ACD，BD平分∠EBF， ∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF＝∠EDB， ∵BC⊥BD， ∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°， ∵∠EDB＝∠DBE， ∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA， ∴BC平分∠ABE， 故①正确，符合题意； ∵∠EBC＝∠BCA， ∴AC∥BE， 故②正确，符合题意； ∵∠DEB＝∠EBA，∠EBA＝2∠ABC， ∴∠DEB＝2∠ABC， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键， 9．（2024•建始县一模）小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　） A．22° B．20° C．25° D．30° 【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，进而得到∠1＝∠AFG＝20°． 【解答】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC， ∴∠2＝∠EFG＝70°， 又∵∠AFE＝90°， ∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°， ∴∠1＝∠AFG＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键． 10．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°． 【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°， ∴∠ABH＝∠BAG＝68°， ∵CE∥AB，BH∥CD， ∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE＝∠ABH＝68°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2023秋•化州市期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于 　 　． 【分析】根据题意可得：AB∥CD，从而可得∠4＝∠2＝50°，然后利用三角形的外角性质，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CD， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠4是△EFG的外角， ∴∠4＝∠1+∠3， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（2024秋•安徽期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为　 　． 【分析】设这个角的度数是x，这个角的补角为180﹣x，余角为90﹣x．根据“一个角的余角等于这个角的补角的”，列方程求解即可． 【解答】解：设这个角的度数是x°，则 90﹣x（180﹣x）， 解得x＝45． 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 13．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝130°，则∠1＝　 　度． 【分析】先利用两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠SRQ＝130°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠PRQ＝80°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵QR∥ST， ∴∠3＝∠SRQ＝130°， ∵OP∥QR， ∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝80°， ∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．（2024秋•晋江市期末）如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，则∠DBH＝ 　 　°． 【分析】由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【解答】解：当∠DBH＝∠PDE＝115°时，GH∥DE． 故答案为：115． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 15．（2024春•江陵县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号） 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【解答】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故①不符合题意； ∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2， ∴m∥n，故③符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故④符合题意； 过点C作CE∥m， ∴∠3＝∠4， ∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5， ∴∠1＝∠5， ∴EC∥n， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：③④⑤． 【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　 　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 【分析】分三种情况，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：分三种情况： ①当A′C∥AB时，如图： ∴∠A′CA＝∠BAC＝45°， ∴15t＝45， ∴t＝3． ②当A'D'∥AC时， ∴∠A′CA＝∠A′＝30°， ∴15t＝30， ∴t＝2． ③当A'D'∥AB时， ∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°， ∴15t＝75， ∴t＝5． 综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 故答案为：2或3或5． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案； （2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC180°＝30°， ∴∠BOD＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF∠AOE＝60°． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键． 18．（8分）（2024春•新城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE＝2∠BOE．过点O作OF⊥OE． （1）若∠COF＝54°，求∠BOE的度数； （2）若∠COF＝∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？ 【分析】（1）根据直角的性质，可得∠EOF＝90°，根据补角的定义得∠DOE＝180﹣∠EOF﹣∠COF，再由∠DOE＝2∠BOE，即可求解； （2）根据∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，可得∠COF＝∠DOE＝45°，再由∠DOE＝2∠BOE，可得∠BOE＝22.5°，从而得到∠DOB＝67.5°，∠BOF＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可求解． 【解答】解：（1）∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∵∠COF＝54°， ∴∠DOE＝180°﹣∠EOF﹣∠COF＝180°﹣90°﹣54°＝36°， ∵∠DOE＝2∠BOE， ∴， ∴∠BOE的度数为18°； （2）平分，理由如下： ∵∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°， ∴∠COF＝∠DOE＝45°， ∵∠DOE＝2∠BOE， ∴∠BOE＝22.5°， ∴∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝67.5°， ∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠DOB＝∠BOF， ∴OB平分∠DOF． 【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 19．（8分）（2024春•武侯区校级期中）如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：AB∥MN，理由如下： 因为 EF⊥AC，DB⊥AC，（已知） ∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（ 　 　） ∴EF∥DM，（ 　 　） ∴∠2＝∠CDM．（ 　 　） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1＝∠　 　，（ 　 　） ∴MN∥CD，（ 　 　） ∵∠3＝∠C，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　） ∴AB∥MN．（ 　 　） 【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，又∠3＝∠C，则AB∥CD，然后根据平行公理的推论即可得到AB∥MN． 【解答】解：AB∥MN， 理由如下： 因为EF⊥AC，DB⊥AC， ∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（垂直的定义） ∴EF∥DM，（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠CDM，（两直线平行，同位角相等） ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠CDM，（等量代换） ∴MN∥CD，（内错角相等，两直线平行） ∵∠3＝∠C， ∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行） ∴AB∥MN．（平行于同一直线的两条直线平行） 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CDM；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平行于同一直线的两条直线平行． 20．（8分）（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 【点评】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．（9分）（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 【分析】（1）过点P作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出结论； （2）根据角平分线的定义设设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，则∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，进而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根据（1）的结论得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案． 【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP， ∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP， 即∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP， ∴设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β， ∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β， ∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β， ∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β， ∵MP⊥NP， ∴∠MPN＝90°， 由（1）的结论得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ， 由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β， ∴β﹣α＝45°， ∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，理解垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 22．（9分）（2023秋•船营区校级期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝　 ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝　 　； 【猜想与证明】 （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数． 【分析】（1）根据角的和差定义计算即可． （2）利用角的和差定义计算即可． （3）利用（2）的结论计算即可． 【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°， ∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°， ∴∠BCA＝145°； ②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：145°，30°； （2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）． 理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB， ∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB， ∴∠ACB+∠DCE＝180°． （3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7， ∴∠DCE+∠DCE＝180°， 解得∠DCE＝40°． 【点评】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．（10分）（2024秋•朝阳区校级期末）已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　 　（直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　 °． 【分析】①过点E作EF∥AB，证明AB∥EF∥CD得∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，则∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系； ②过点E作EH∥AB，证明AB∥EH∥CD得∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，则∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，则∠EBF＝2α，∠EDF＝2β，∠ABE＝3α，∠CDE＝3β，根据①②的结论得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°，则∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°，由105+3α+3β＝360°，得α+β＝85°，进而可得∠BFD的度数． 【解答】解：①∠B、∠BED、∠D的关系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图（1）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， ∴∠BED＝∠B+∠D， 故答案为：∠BED＝∠B+∠D； ②∠B、∠BED、∠D的关系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下： 过点E作EH∥AB，如图（2）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°， ∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°， ∴∠B+∠BED+∠D＝360°； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，如图3所示： ∴∠EBF＝2∠ABF＝2α，∠EDF＝2∠CDF＝2β， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝3α，∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝3β， ∵AB∥CD， 根据①②的结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°， ∴∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°， 由105+3α+3β＝360°，得：α+β＝85°， ∴∠BFD＝α+β＝85°． 故答案为：85． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 24．（12分）（2024秋•常宁市期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°． （1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由； （2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数； （3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数． 【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角； （2）根据∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，可得∠FCD＝65°，再根据∠BCF＝90°，即可得到∠BCD＝65°+90°＝155°； （3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为60°或120°． 【解答】解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH，理由如下： 如图， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCG， ∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠ECF＝∠DCG， ∴∠D＝∠ECF， ∵AB∥DC， ∴∠DCG＝∠B， ∴∠B＝∠D， ∵∠FCG＝90°，∠AHC＝90°， ∴∠HCM+∠CMH＝90°，∠HCM+∠FCM＝90°， ∴∠CMH＝∠FCM， ∴∠CMH＝∠D， ∵∠AME＝∠CMH， ∴∠AME＝∠D， ∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH； （2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°， ∴∠FCD＝65°， 又∵∠BCF＝90°， ∴∠BCD＝65°+90°＝155°； （3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上， ∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝∠B＝25°； 如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上， ∵∠B＝25°，AD∥BC， ∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°． 综上所述，∠BAF的度数为25°或155°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$