第13讲 二次函数的图象与性质（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第13讲二次函数的图像与性质 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 4大考点精讲+专训 3大中考命题点+19大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 中考考点 考查频率 新课标要求 二次函数的图像对称性与增减性 ★★ 二次函数图像的有关判断 ★★ 二次函数的图像变换 ★★ 二次函数的图像与系数 ★★★ 二次函数解析式的确定 ★★★ 二次函数与方程结合 ★ 二次函数与不等式结合 ★ 01 考情透视·目标导航 【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系. 【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考. 出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系； 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值. 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解. 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 二次函数的图像与性质 考点二 二次函数的相关概念 考点一 二次函数的相关概念 二次函数与方程、不等式 考点四 1.二次函数的定义 二次函数的相关概念 考点一 定 义 一般地，形如y=ax²+bx+c (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 2.二次函数的形式 一般式 ， ， y=ax²+bx+c (a≠0，其中a，b，c是常数) 3种特殊形式 1)当b＝0时 2)当c＝0时 3)当b＝0且c＝0时 3.二次函数的常见表达式： 二次函数的相关概念 考点一 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 顶点式 交点式   1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. y=ax²+bx+c (a≠0) 其中a≠0 且a，h，k是常数 y=a(x+h) ²+k y=a（x-x1）（ x-x2） (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标 （x1,0）, （x2,0）时，常用交点式求其表达式. 二次函数的相关概念 考点一 针对练习 1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 D C 3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 二次函数的相关概念 考点一 针对练习 4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． B 【解析】 3 【解析】 二次函数的图象经过原点， ， 或， ∵， ， 点在函数的图象上， ， ， ∴ 03 考点突破·考法探究 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 二次函数的图像与性质 考点二 二次函数的相关概念 考点一 二次函数的图像与性质 二次函数与方程、不等式 考点四 1.二次函数的图像与性质 二次函数的图像与性质 考点二 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 2.二次函数的图象变换 二次函数的图像与性质 考点二 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.二次函数的图象变换 二次函数的图像与性质 考点二 ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)²+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 补 充： 2.二次函数的图象变换 二次函数的图像与性质 考点二 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 二次函数的图像与性质 考点二 针对练习 1．（2024·广东·中考真题） 若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南娄底·中考真题） 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ． 4 A 当时， y随x的增大而增大 A 新抛物线 对称轴 2 2 二次函数的图像与性质 考点二 针对练习 4．（2024·四川乐山·中考真题） 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． C 【解析】 ∵y=x2-2x=(x-1) 2-1， ∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)， 当x=-1时，y=3， ∴(-1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)， ∵当x=-1 时，函数取得最大值； 当x=1时，函数取得最小值， ∴1≤t-1≤3， 解得，2≤t≤4， 1 -1 3 3 03 考点突破·考法探究 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 二次函数的图像与性质 考点二 二次函数的相关概念 考点一 二次函数与各项系数之间的关系 二次函数与方程、不等式 考点四 1.图像与a，b，c的关系 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下   b b=0 对称轴是y轴，即 =0   左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即   c c=0 图像过原点   c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b²-4ac  b²-4ac＞0 与x轴有两个交点  b²-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 b²-4ac=0 与x轴有唯一交点 b²-4ac＜0 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 【小技巧】 通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 针对练习 1．（2024·内蒙古·中考真题） 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） B． D． A． C． ∵ 对称轴为直线 ， ∴抛物线开口向下 D 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 针对练习 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) D 【解析】 A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ，，故选项A错误． ∵ 故选项𝐵错误 （否则可得𝑎=0，不合题意）． ∵ 𝑎＜0，𝑐＞0， ∴3𝑎-𝑐＜0，故选项𝐶错误． ∵ 3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A（1,0），与y轴的交点B在（0,-2），（0,-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①abc>0； ②9a-3b+c≥0； ③<a<1； ④若方程ax²+bx+c=x+1两根为m,n（m<n），则-3<m<1<n． A．1 B．2 C．3 D．4 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 针对练习 B 由图可知a＞0， ∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1， 且该抛物线与x轴交于点A(1,0)， ∴x= =-1，a+b+c=0， 则b=2a＞0， ∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点B在(0,-2)，(0,-3)之间， ∴-3＜c＜-2， 则abc＜0，故①错误； 设抛物线与x轴另一个交点(x,0)， 【解析】 方程两根为满足，故④正确； ∵-3 ＜ c ＜ -2，a+b+c=0，b=2a ＞ 0， ∴-3 ＜ -3a ＜ -2，解得 ＜ a ＜ 1，故③正确； 根据抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(1,0)和(-3,0)，直线y=x+1过点(-1,0)和(0,1)，如图， ∵对称轴为直线x=-1 ， 且该抛物线与x轴交于点A(1,0)， ∴1-(-1)=-1-x，解得x=-3， 则9a-3b+c=0，故②错误； 03 考点突破·考法探究 二次函数与各项系数之间的关系 考点三 二次函数的图像与性质 考点二 二次函数的相关概念 考点一 二次函数与方程、不等式 二次函数与方程、不等式 考点四 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 二次函数与方程、不等式 考点四 求二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax²+bx+c=0中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数 23 二次函数与方程、不等式 考点四 判别式 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a＞0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于 （x1，0），（x2,0）（x1＜x2） 两点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个不相等的实数根     2个交点 a＜0 △＝0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于（- ，0） 这一点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个相等的实数根     1个交点 △＜0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴无交点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 在实数范围内无解（或称无实数根）     0个交点 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 a＞0 a＞0 a＜0 a＜0 24 二次函数与方程、不等式 考点四 2.二次函数与不等式的关系 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 ax²+bx+c＞0 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 ax²+bx+c=0 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 ax²+bx+c＜0 x1＜x＜x2 无解 无解 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 a＞0 a＜0 x1＜x2 二次函数与方程、不等式 考点四 针对练习 1.（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． （1）解：∵二次函数图象经过点和 解得： ∴ ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴ y= 26 二次函数与方程、不等式 考点四 针对练习 2.（2024·山东济宁·中考真题） 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范是 ． 3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， D ∴ 04 题型精研·考向洞悉 根据二次函数解析式判断其性质 题型01 二次函数的图像与性质 命题点一 根据二次函数的图像与性质求解 题型02 求二次函数解析式 题型03 画二次函数y=ax²+bx+c 的图像 题型04 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质 题型05 二次函数的平移变换问题 题型06 28 04 题型精研·考向洞悉 二次函数的对称变换问题 题型07 二次函数的图像与性质 命题点一 根据二次函数的对称性求参数取值范围 题型08 二次函数的最值问题 题型09 根据二次函数的最值求参数/取值范围 题型10 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 题型 11 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 题型12 29 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例1】 （2023·四川甘孜·中考真题） 下列关于二次函数的说法正确的是(     ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数图象与系数的关系٭ D 解：A、， 图象的开口向上， 故此选项不符合题意； B、 ， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上， 对称轴为直线， 当时， 随增大而减小 故此选项不符合题意； D、 ， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西·中考真题） 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 B D D 所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值越小 对称轴在轴左侧，则 解题的关键： ٭掌握二次函数图象与性质，熟练的利用数形结合的方法 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型02 根据二次函数的图像与性质求解 【例1】 （2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ； ②方程有两个不相等的实数根；③④ ⑤． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法指导 解：①∵抛物线开口向上， -1＜x1 ＜ 0，2 ＜ x2 ＜ 3， ∴当x=-1 时，y=a-b+c＞0， 故①不符合题意； ②∵抛物线y=ax²+bx+c过点C(0,-2)， ∴函数的最小值y<-2， ∴ax²+bx+c=-2有两个不相等的实数根； ∴方程ax²+bx+c+2=0有两个不相等的实数根； 故②符合题意； ③∵ -1＜x1 ＜ 0，2 ＜ x2 ＜ 3 ∴抛物线的对称轴： 直线x=- ，且＜ ＜ ， ∴1 ＜ ＜ 3，而a＞0， ∴-3a ＜ b ＜ -a， ∴a+b ＜ 0，故③不符合题意； 32 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型02 根据二次函数的图像与性质求解 【例1】 （2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ；②方程有两个不相等的实数根；③④ ⑤． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C ⑤∵ -1＜x1 ＜ 0，2 ＜ x2 ＜ 3 ∴x2-x1>2， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴ ∴ 故⑤符合题意； 解：④∵抛物线y=ax²+bx+c过点C(0,-2)， ∴c=-2， ∵x=-1时，y=a-b+c＞0， 即3a-3b+3c ＞ 0， 当x=3时，y=9a+3b+c ＞ 0， ∴12a+4c ＞ 0， ∴12a ＞ 8， ∴a ＞ ，故④符合题意； 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型02 根据二次函数的图像与性质求解 1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表 x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 D y O x 顶点坐标为且经过原点， 图象的开口向下； 对称轴是直线 2．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． ①②④ 34 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型03 求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设y=ax²+bx+c 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设y=a(x-h)²+k 4）已知抛物线过点（x1，m），（x2,m）时，可设y=a(x-h)²+k （纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 方法技巧 3）已知抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴两个交点坐标（x1，0），（x2,0）（x1＜x2）时，可设y=a(x- x1) (x- x2) 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型03 求二次函数解析式 【例1】 （2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 方法指导 解题的关键： ٭掌握待定系数法求二次函数解析式٭ 解：把，，代入， 解得 ∴ 把代入 解得 ， ∴， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型03 求二次函数解析式 【例2】 （2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ． 解题的关键： ٭掌握二次函数图象与性质，理解新定义，最小矩形的限制条件 方法指导 解：由，当x=0时，y=4，∴C(0,4)， ∵A(3,0)，四边形ABCO是矩形，∴B(3,4)， 解得 ②当抛物线经过点时，将点,代入 解得 或 ①当抛物线经过O，B时，将点(0,0)，B(3,4)代入 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1,4），则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线x=1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x<-1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型03 求二次函数解析式 D -1 1 3 2．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴是直线； ③抛物线与y轴的交点坐标为； ④由抛物线可知的解集是． 其中正确的是 ． ①②④ 抛物线 对称轴是直线 38 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型04 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 【例1】 （2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1    方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2    不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… 任务： (1)不等式的解集为_____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型04 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 【例1】 （2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 任务： (1)不等式的解集为 _____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 方法指导 解题的关键： ٭掌握数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像 （1）解： 由方法1可知，不等式的解集为， ∵ =（x- ）²- 顶点坐标为 图像与x轴的两个交点（-2,0）（，0）， 图象的开口向上； 对称轴是直线 如图，作的图像 D 40 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型04 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 【例1】 （2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… （3）解：如图2，作函数与的图像， 由图像可得，的解集为，或， 综上， 的解集为． 41 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型04 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 1.（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点． (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是 ； ②方程的根是 （结果保留一位小数）； ③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； ④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． （1）列表： 由得，， 方程的根可以看作是函数与x轴交点， 通过图象可知函数与x轴交点近似为， 或， 或 42 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质 【例1】 （2023·上海·中考真题） 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负 解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） （答案不唯一）． 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质 1.（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件： ①图象过点、； ②当时，随的增大而减小． 这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 2．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可） （答案不唯一） （答案不唯一） 设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、， 即二元一次方程的根为、， 由根与系数的关系得：，， 一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧， ，为异号， ， 【解析】 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型06 二次函数的平移变换问题 【例1】 （2024·四川内江·中考真题） 已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数图象的平移以及二次函数的性质，熟练应用平移的规律确定抛物线解析式 解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型06 二次函数的平移变换问题 【例2】 （2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 1 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数图象的平移以及二次函数的性质，熟练应用平移的规律确定抛物线解析式 ٭两点间的距离公式 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令， 则， 或， 解得：或， 即抛物线（2024,0） ， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型06 二次函数的平移变换问题 1．（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 左平移2个单位 向下平移3个单位 2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题） 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 2或4 令 与的交点坐标为和 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型07 二次函数的对称变换问题 【例1】 （2023·四川自贡·中考真题） 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 B 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数的对称性，与x轴交点问题 ٭两点间的距离计算公式 解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过 两点 ∴， 即， ∴ ， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即， 即， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型07 二次函数的对称变换问题 【例2】 （2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数图像与对称性性质 ٭两点间的距离计算方法 A．8 B．9 C．10 D．11 B 解：由、、、四点在同一水平线， ∴四点纵坐标相同 ，，， ∴ ， 又 ∴ ． 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型07 二次函数的对称变换问题 2．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 B 对称轴直线， yQ-yN= 点关于直线的对称点为Q ∴或 ∴在N上方 令， 解得：， ∴ 解得： 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围 【例1】 （2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 A 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数图像性质 ٭熟练确定出抛物线的开口方向与对称轴 解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围 1．（2024·江苏无锡·二模） 已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 或 ∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 【解析】 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围 2.（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）． (1)若，求的值；(2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围． 时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小 （1）解：由题意得， ，点，是抛物线上的两点， 对称轴是直线， ， （2）抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点在抛物线上，且对于， 点在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点为， ∴ ∴ 当时， ，则，不符合题意； 综上所述，的取值范围： 当时， ， 解题的关键： ٭掌握勾股定理，解直角三角形，二次函数最值求解的相关知识，会综合运用 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型09 二次函数的最值问题 【例1】 （2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ． 方法指导 解：由题意可知， ， ∴在中，， 又， ， 在中， ， ， 设．则， ． ∵， ， ， ， ∴ = ， ∵， 当时， 取得最大值6， 6 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型09 二次函数的最值问题 1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 3．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．2 B D D 55 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围 【例1】 （2024温州市三模）已知二次函数（a为常数）． (1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (2)若二次函数在时有最大值3，求a的值． 解题的关键： ٭运用数形结合思想和分类讨论思想，综合应用二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 方法指导 （1）解∶抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，二次函数随的增大而减小， 时，此二次函数随着的增大而减小， ，即； （2）由题意得∶， 二次函数在时有最大值3， 当时，开口向上， 当时，最大值=， ， ； 当时，开口向下， 当时，最大值=， ， ， 综上，或 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围 1．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． B ∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，最大值=， 解得：或（舍去）； 【解析】 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 D 【解析】 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时， 函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时， 函数有最小值， 函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 【例1】 （2023·山东临沂·二模）已知点，、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 解题的关键： ٭掌握二次函数的图象和性质，利用点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等得到该二次函数图象的对称轴为直线x=2 方法指导 解：∵点，、，是二次函数图象上的两个点， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ∴ 解得：， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 1.（2023·安徽芜湖·三模） 在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ． 【解析】 解：∵，， ∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∵将该抛物线绕点旋转后开口向下， ∵旋转后的对称轴为直线，开口向下， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 【解析】 2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数使得关于的分式方程有正整数解，且使二次函数当时，随增大而增大，则满足以上所有条件的整数的和为 ． 3 解：由分式方程得， ∵关于x的二次函数在时，随增大而增大， ∴， 解得：， ∵分式方程有正整数解， ∴，1，2， ∴满足以上所有条件的整数的和为3． 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 【例1】 （2024汕头市一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是 ． 解题的关键： ٭掌握二次函数的性质，根据表格数据可知：二次函数的对称性判断出对称轴x=2 方法指导 解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大， 在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 命题点一二次函数的图像与性质 ►题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 1．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数，顶点坐标是( )，当时，则函数的取值范围 。 【解析】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围： ． 2.（2023·湖南邵阳·二模） 已知如图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是 ． 或 04 题型精研·考向洞悉 二次函数的图像与各项系数符号 题型01 二次函数的图像与各项系数之间的关系 命题点二 根据二次函数的图像判断式子符号 题型02 函数图像综合 题型03 64 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型01 二次函数的图像与各项系数符号 【例1】 （2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论： ① <0；② +=；③多项式可因式分解为(+1)(-5)；④当时，关于x的方程= 无实数根．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 解题的关键： ٭掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系 方法指导 ∵ ∵ 当时，有最大值， 即 ， 当时， 抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 解：由题图可知，， ，故①正确； ∵当时，，即，∴②正确； 二次函数与轴的一个交点（-1,0） 对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点（5,0）， ∴ 故③错误； 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型01 二次函数的图像与各项系数符号 1.（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 解：由题意，∵ =0有两实根 抛物线与x轴交于（-1,0）,(3,0) 抛物线对称轴x= = =1 ∴ ，故①正确 把（-1,0）代入 得 ∵，∴ ， ∴抛物线顶点纵坐标： ==-4 = ∴顶点坐标为，故②正确 ∵ ， ∴，故③错误 ∵， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型02 根据二次函数的图像判断式子符号 1）根据抛物线的开口方向判断的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与轴的交点位置，判断的正负性. 4）根据抛物线与轴有无交点，判断²-4 的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2± 的正负性. 6）特殊点代入确定 的关系.例：当=±1时， =± +； 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 方法技巧 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型02 根据二次函数的图像判断式子符号 【例1】 （2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． ①②④ 解题的关键： ٭掌握二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征 方法指导 解：①由图像得c＞0， 抛物线开口方向向下，即 ∵抛物线的顶点的坐标为，∴， ∴∴， 故①正确，符合题意 由图象可得： 当时， ∵ ∴ ∴，即，故②正确， ∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则， ， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； y y ④如图 ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型02 根据二次函数的图像判断式子符号 1．（2024·山东青岛·中考真题） 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ C D ∴2a-b=0 ∵二次函数顶点在第二象限 在x轴正半轴上 在第二象限 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型03 函数图像综合 【例1】（1） （2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． （2） （2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． D C 解题的关键： ٭掌握二次函数、一次函数图象以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题 方法指导 由图像得 解得 70 命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系 ►题型03 函数图像综合 1．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） 2．（2023·四川自贡·模拟预测）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） B． D． A． C． D C B． D． A． C． 04 题型精研·考向洞悉 已知一元二次方程根的分布情况求参数 题型01 二次函数与方程、不等式 命题点三 二次函数与坐标系交点问题 题型02 二次函数与方程、不等式 题型03 二次函数与三角形相结合的应用方法 题型04 72 命题点三二次函数与方程、不等式 题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数 【例1】 （2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 解题的关键： ٭掌握二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，利用数形结合的思想解决问题 方法指导 当时， 如图，此时， ∴ <1， 又∵ >0， ∴0< <1； （1）解：把代入得， ， ∴抛物线的顶点坐标为； ②当<0时， 如图，此时- >4， 解得<-4， 又∵ <0， ∴ <-4； 综上，当或，都有． （2）解：抛物线的对称轴是直线；分两种情况： 命题点三二次函数与方程、不等式 题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数 1．（2023·四川南充·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． 或 C． D．或 2．（2023·四川泸州·中考真题） 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　） A． B．或 C．或 D．或 B 由有实数根，得出或，分类讨论 当 当 D 【例1】 （2024·河南南阳·三模）已知抛物线 (1)当 时，求抛物线与x轴的交点坐标；(2)已知点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围． 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 解题的关键： ٭掌握求二次函数与x轴的交点坐标，以及根据二次函数与线段的交点坐标的解法会求字母的取值范围． 方法指导 解（1）当时，抛物线解析式为 ， 由， 得， 解得，， ∴时， 抛物线与x轴的交点坐标为和 当抛物线经过点时， ，解得． ∴当时， 抛物线与只有一个交点； 当时， 抛物线与有两个交点； 当时， 抛物线与只有一个交点． 综上， 若抛物线与线段只有一个公共点， 则 m的取值范围为或． （2）∵点和点纵坐标相同， ∴轴， 当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点， 此时顶点坐标为， ， 解得； 当抛物线经过点时， ，解得； 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型02 二次函数与坐标系交点问题 1.（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 3．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 或 把代入 ∴解得：或； 【解析】 ∵抛物线经过和两点， 解得 ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型03 二次函数与方程、不等式 【例1】 （2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 解题的关键： ٭掌握二次函数的图象和性质，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法 方法指导 解：（1）将和点代入 二次函数得： 解得 （2）∵当时， 的图象在的下方， ∴不等式的解集为： ． （3）当时， ， 解得， ∴， ∴． ∴ ． ∴二次函数解析式为：． 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型03 二次函数与方程、不等式 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（   ） A． B． C． D． ， 由题意得：抛物线一定经过第一、二、四象限∴抛物线与x轴有2个交点 2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试） 设，下表列出了与的6对对应值： 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 C D C 对称轴为，开口向下 当时，或 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法 方法技巧 过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”,中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做△ABC的“铅垂高”，我们可得出一种计算三角形面积的新方法: ，S=ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解题方法 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法 【例1】 （2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值；(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 解题的关键： ٭掌握二次函数与几何图形的综合，会待定系数法求解析式，熟练求解一元二次方程 方法指导 （1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， 解得 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为： ，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ，无解， 不符合题意，舍去； 当时， ，； ∴． ∴； 命题点三二次函数与方程、不等式 ►题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法 1.（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值；(2)求的面积的最大值． （1）解：当时，； 当时，， ，， 解得 （2）解：由（1）可得：， 设，作交于E， 则，则， ∴ ， 当时，最大值为8． ∴的面积的最大值时8 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$