预习专题10 多边形（3知识点+14考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题10 多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解多边形及其有关概念 2.掌握多边形内角和定理和多边形外角和定理,并会运用这两个定理解决简单的计算与证明问题， 3.经历多边形及其有关概念的形成过程,体验类比思想,经历多边形内角和与外角和的探索过程，体验化归思想与归纳推理的方法 多边形的定义及有关概念 1.多边形的定义 由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形 由n条线段组成的多边形就称为n边形,如四边形、五边形、六边形等. 对于一个多边形,画出它的任意一边所在的直线,如果其余各边都在这条直线的一侧,那么这个多边形叫做凸多边形,否则叫做凹多边形.本章主要研究凸多边形. 2.多边形的有关概念 多边形的边:组成多边形的每一条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点:相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点 多边形的内角:多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角 多边形的对角线:联结多边形的两个不相邻顶点的线段,叫做多边形的对角线 【特别注意】 从（为不小于 3 的整数）边形的一个顶点出发，可以作条对角线，边形共有条对角线． 3.多边形的表示方法 多边形一般按边数命名,并用它各个顶点的字母顺次排列来表示,既可按顺时针方向表示,也可按逆时针方向表示. 多边形的内角和 1.定理 n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形内角和的推导思路： 思路 1：如图所示，在边形中，画出对角线，这些对角线将边形分为个三角形．因为每个三角形的内角和为，所以边形的内角和为． 特别提醒 (1)一个多边形的内角和取决于它的边数，边数增加，多边形的内角和也随之增加，且每增加一条边，内角和增加 180° (2)利用多边形内角和定理，已知边数可以求内角和;反之，已知内角和也可以求边数 多边形的外角 1.定义: 多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角 2.定理:n边形的外角和等于 360°(n为不小于3的整数). 提示 (1)多边形的任一外角与同这个外角相邻的内角互补 (2)多边形的外角和与边数无关,是一个不变量,都等于 360° 多边形的概念与分类 例1 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 审题关键：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【变式1-2】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 多边形截角后的边数问题 例2 若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 审题关键：分类讨论，分三种情况进行讨论． 【变式2-1】将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【变式2-2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 多边形的周长 例3 已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 审题关键：根据每条边都相等，每个内角都相等求解 【变式3-1】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【变式3-2】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 网格中多边形面积比较 例4 如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 审题关键：连接和，． 【变式4-1】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【变式4-2】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 多边形对角线的条数问题 例5 多边形每一个内角都等于，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（    ） A． 条 B．条 C．条 D．条 审题关键：根据多边形内角和定理列方程，再根据对角线条数公式求解． 【变式5-1】过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这个多边形的边数是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式5-2】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ． 对角线分成的三角形个数问题 例6 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 审题关键：过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【变式6-1】一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 【变式6-2】从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 多边形内角和问题 例7 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 审题关键：运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 【变式7-1】若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ． 【变式7-2】如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数． 正多边形的内角问题 例8 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 审题关键：先求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，再根据平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【变式8-1】直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    多(少)算一个角问题 例9 在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 审题关键：n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【变式9-1】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【变式9-2】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 多边形截角后的内角和问题 例10 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 审题关键：先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【变式10-1】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【变式10-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7 【解题方法总结】 一个多边形(三角形除外)截去一个角后，截线的位置不同，得到的新多边形的边数也不同.一般把截线的位置分成截线不过顶，点、过一个顶点、过两个顶点三种情况进行讨论. 复杂图形的内角和 例11 如图，等于（    ） A． B． C． D． 审题关键：连接，根据四边形内角和可，再由“8”字三角形可得，进而求解. 【变式11-1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【变式1-2】图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【解题方法总结】 求不规则多边形内角和的常用方法 (1)连线:连接两点或画对角线将原图形转化成三角形或四边形的问题来解决，(2)转化:非凸多边形的计算问题要将其转化为凸多边形的问题来解决. 正多边形的外角问题 例12 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ）      A． B． C． D． 审题关键：外角和为，正八边形的每一个外角都相等． 【变式12-1】以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °． 【变式12-2】若正n边形的一个外角为，则 ． 多边形外角和的实际应用 例13 如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（    ） A． B． C． D． 审题关键：根据多边形的外角和等于解答即可． 【变式13-1】如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　）    A．90° B．180° C．120° D．270° 【解题方法总结】 借助多边形模型进行转化计算多边形的外角和定理在实际中是会经常用到的.在解决这些实际问题时，根据条件画出图形，结合图形特点，准确抓住解题的模型，以方便解决问题 多边形内角和与外角和综合 例14 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 审题关键：多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°并列方程求解． 【变式14-1】如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【变式14-2】已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【解题方法总结】 多边形内角和与外角的常用两种思路 思路1:根据多边形的内角、外角与边数的关系求解. 思路2:根据相邻的内角和外角的互补关系求解 【例1】若边形的内角和为，求的值． 【防错警示】 易误认为内角和除以 180°就能得到边数n.利用边数与度数的关系解题时，要正确应用公式，对(n-2)·180中的(n-2)要特别注意. 【例2】若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为，则这个多边形原来的边数为　　 A．12 B．10 C．11 D．10或11 【防错警示】 过一个顶点的直线将多边形截去两个角，可分两种情况考虑:(1)此直线过另外一个顶点;(2)此直线经过边上一点(不含顶点).. 一．选择题（共3小题） 1．（2024春•金山区期中）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是　　 A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2024春•闵行区期中）如果一个多边形的边数由4增加到为整数，且，那么它的外角和的度数　　 A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 3．（2024春•青浦区期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 4．（2024春•奉贤区期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点也在格点上，那么边的长为 　　． 5．（2024春•长宁区期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 　　． 6．（2024春•金山区期中）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“双等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么凸四边形的面积为 　　． 7．（2024春•宝山区期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 　　． 8．（2024春•闵行区期末）六边形的内角和的度数是 　　． 9．（2024春•杨浦区期末）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　　． 10．（2024春•普陀区期末）如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是　　边形． 11．（2024春•金山区期末）如果一个边形的每一个内角都是，那么　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解多边形及其有关概念 2.掌握多边形内角和定理和多边形外角和定理,并会运用这两个定理解决简单的计算与证明问题， 3.经历多边形及其有关概念的形成过程,体验类比思想,经历多边形内角和与外角和的探索过程，体验化归思想与归纳推理的方法 多边形的定义及有关概念 1.多边形的定义 由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形 由n条线段组成的多边形就称为n边形,如四边形、五边形、六边形等. 对于一个多边形,画出它的任意一边所在的直线,如果其余各边都在这条直线的一侧,那么这个多边形叫做凸多边形,否则叫做凹多边形.本章主要研究凸多边形. 2.多边形的有关概念 多边形的边:组成多边形的每一条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点:相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点 多边形的内角:多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角 多边形的对角线:联结多边形的两个不相邻顶点的线段,叫做多边形的对角线 【特别注意】 从（为不小于 3 的整数）边形的一个顶点出发，可以作条对角线，边形共有条对角线． 3.多边形的表示方法 多边形一般按边数命名,并用它各个顶点的字母顺次排列来表示,既可按顺时针方向表示,也可按逆时针方向表示. 多边形的内角和 1.定理 n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形内角和的推导思路： 思路 1：如图所示，在边形中，画出对角线，这些对角线将边形分为个三角形．因为每个三角形的内角和为，所以边形的内角和为． 特别提醒 (1)一个多边形的内角和取决于它的边数，边数增加，多边形的内角和也随之增加，且每增加一条边，内角和增加 180° (2)利用多边形内角和定理，已知边数可以求内角和;反之，已知内角和也可以求边数 多边形的外角 1.定义: 多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角 2.定理:n边形的外角和等于 360°(n为不小于3的整数). 提示 (1)多边形的任一外角与同这个外角相邻的内角互补 (2)多边形的外角和与边数无关,是一个不变量,都等于 360° 多边形的概念与分类 例1 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 审题关键：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【答案】D 【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 【变式1-2】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 多边形截角后的边数问题 例2 若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 审题关键：分类讨论，分三种情况进行讨论． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式2-1】将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【变式2-2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 多边形的周长 例3 已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 审题关键：根据每条边都相等，每个内角都相等求解 【答案】4； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 【变式3-1】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是， ∴正六边形的边长； 故答案为：5． 【变式3-2】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 网格中多边形面积比较 例4 如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 审题关键：连接和，． 【答案】B 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【变式4-1】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【变式4-2】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 多边形对角线的条数问题 例5 多边形每一个内角都等于，则从该多边形一个顶点出发可引出对角线的条数是（    ） A． 条 B．条 C．条 D．条 审题关键：根据多边形内角和定理列方程，再根据对角线条数公式求解． 【答案】C 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形为十二边形 ∴此多边形从一个顶点出发的对角线共有条， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，正确列出方程求出多边形的边数是解题的关键． 【变式5-1】过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这个多边形的边数是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的对角线，解题的关键是记住n边形从一个顶点引出的对角线有条． 【变式5-2】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ． 【答案】24 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：24． 对角线分成的三角形个数问题 例6 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 审题关键：过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【答案】B 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故选B． 【变式6-1】一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 【答案】 【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得的值，继而即可求解． 【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为是解题的关键． 【变式6-2】从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数以及三角形的个数，根据n边形的对角线条数为条，把n形分割成的三角形的个数为条，据此即可作答． 【详解】解：从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为（条）， 它们把十二边形分割成的三角形的个数为（个）， 故选：B． 多边形内角和问题 例7 如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 审题关键：运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 【答案】C 【详解】解：如图，连接并延长， ，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， ，， 即 ． 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算． 【变式7-1】若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ． 【答案】/800度 【分析】根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为， ∴其余六个内角之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键． 【变式7-2】如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数． 【答案】 【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数． 【详解】解：五边形的内角和等于，， ； ，分别平分，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键． 正多边形的内角问题 例8 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 审题关键：先求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，再根据平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【答案】B 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 【变式8-1】直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式8-2】点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 多(少)算一个角问题 例9 在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 审题关键：n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【变式9-1】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【答案】多加的这个内角是，这个多边形是八边形 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键. 首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：由题意可知： 多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 【变式9-2】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 多边形截角后的内角和问题 例10 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 审题关键：先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【答案】9或10或11 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 【变式10-1】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】6或7 【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形． 【详解】解：由多边形内角和，可得 （n-2）×180°=720°， ∴n=6， ∴新的多边形为6边形， ∵过顶点剪去一个角， ∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形， 故答案为6或7． 【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键． 【变式10-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】根据内角和为可得：多边形的边数为六边形，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，    剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为的多边形的边数是n， ∴， 解得：． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键． 【解题方法总结】 一个多边形(三角形除外)截去一个角后，截线的位置不同，得到的新多边形的边数也不同.一般把截线的位置分成截线不过顶，点、过一个顶点、过两个顶点三种情况进行讨论. 复杂图形的内角和 例11 如图，等于（    ） A． B． C． D． 审题关键：连接，根据四边形内角和可，再由“8”字三角形可得，进而求解. 【答案】C 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式11-1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【变式1-2】图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 【解题方法总结】 求不规则多边形内角和的常用方法 (1)连线:连接两点或画对角线将原图形转化成三角形或四边形的问题来解决，(2)转化:非凸多边形的计算问题要将其转化为凸多边形的问题来解决. 正多边形的外角问题 例12 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ）      A． B． C． D． 审题关键：外角和为，正八边形的每一个外角都相等． 【答案】A 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 【变式12-1】以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °． 【答案】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 【变式12-2】若正n边形的一个外角为，则 ． 【答案】5 【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为． 多边形外角和的实际应用 例13 如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（    ） A． B． C． D． 审题关键：根据多边形的外角和等于解答即可． 【答案】B 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【变式13-1】如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 【变式13-2】如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　）    A．90° B．180° C．120° D．270° 【答案】B 【分析】如图：根据平行线的性质可得，然后根据多边形的外角和即可解答． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 【解题方法总结】 借助多边形模型进行转化计算多边形的外角和定理在实际中是会经常用到的.在解决这些实际问题时，根据条件画出图形，结合图形特点，准确抓住解题的模型，以方便解决问题 多边形内角和与外角和综合 例14 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 审题关键：多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°并列方程求解． 【答案】8 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式14-1】如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【答案】十/10 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数． 【详解】解：一个多边形的每个内角都是， 这个多边形的每个外角都是， 这个多边形的边数． 故答案为：十． 【变式14-2】已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值． 【答案】(1)n的值为12； (2)n的值为5． 【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答； （2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得，即n的值为12； （2）解：∵正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的外角为． ∵多边形的外角和为， ∴，即n的值为5． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°． 【解题方法总结】 多边形内角和与外角的常用两种思路 思路1:根据多边形的内角、外角与边数的关系求解. 思路2:根据相邻的内角和外角的互补关系求解 【例1】若边形的内角和为，求的值． 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【解答】解：根据多边形内角和公式得： ，解得． 【防错警示】 易误认为内角和除以 180°就能得到边数n.利用边数与度数的关系解题时，要正确应用公式，对(n-2)·180中的(n-2)要特别注意. 【例2】若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为，则这个多边形原来的边数为　　 A．12 B．10 C．11 D．10或11 【分析】设这个多边形原来的边数为，由题意分情况讨论后利用多边形内角和公式求得的值即可． 【解答】解：设这个多边形原来的边数为， 若截掉两个角后剩余个角， 则， 整理得：， 解得：； 若截掉两个角后剩余个角， 则， 整理得：， 解得：； 综上，这个多边形原来的边数为10或11， 故选：． 【防错警示】 过一个顶点的直线将多边形截去两个角，可分两种情况考虑:(1)此直线过另外一个顶点;(2)此直线经过边上一点(不含顶点).. 一．选择题（共3小题） 1．（2024春•金山区期中）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是　　 A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】 【分析】设这个多边形的边数为，然后根据多边形的内角和与外角和可得：，进行计算即可解答． 【解答】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． 2．（2024春•闵行区期中）如果一个多边形的边数由4增加到为整数，且，那么它的外角和的度数　　 A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】 【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题． 【解答】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：． 【点评】此题考查多边形内角和与外角和，掌握多边形外角和等于是解题的关键． 3．（2024春•青浦区期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正八边形的各内角相等得出它的每个外角相等，再根据多边形的外角和定理即可求出的度数． 【解答】解：八边形是正八边形， 它的每一个内角相等， 它的每一个外角相等， 多边形的外角和为， 它的一个外角的度数为， 故选：． 【点评】本题考查了正多边形的内角和外角，多边形的外角和定理，理解题意是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 4．（2024春•奉贤区期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点也在格点上，那么边的长为 　或1　． 【答案】或1． 【分析】根据定义可以画出两个图，进而得出答案． 【解答】解：如图： ， 如图： ． 故答案为：或1． 【点评】本题主要考查多边形，画出图形是解题的关键． 5．（2024春•长宁区期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 　12　． 【答案】12． 【分析】根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【解答】解：从多边形的一个顶点出发的对角线有9条， 多边形的边数为：． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 6．（2024春•金山区期中）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“双等腰四边形”，其中这条对角线叫做这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“双等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么凸四边形的面积为 　或　． 【答案】或． 【分析】分和两种情况分别计算四边形的面积即可．①当时，；②当时，． 【解答】解：凸四边形是“等腰四边形”， 为等腰线， 、为等腰三角形， ①当时，过作， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ； ②当时， 过作，过作交延长于点， ，为等腰三角形， ， ，， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ，， ． （或 故答案为：或． 【点评】本题考查等腰三角形性质、面积公式，解题关键是准确理解“双等腰四边形”定义． 7．（2024春•宝山区期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 　10　． 【答案】10． 【分析】先根据多边形外角和定理可计算出多边形的内角和，根据多边形内角和定理即可算出多边形的边数． 【解答】解：这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， 则， 解得：． 这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角与外角和定理进行求解是解决本题的关键． 8．（2024春•闵行区期末）六边形的内角和的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据多边形的内角和公式可得答案． 【解答】解：六边形的内角和的度数是． 故答案为：． 【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键． 9．（2024春•杨浦区期末）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 　八　． 【答案】八． 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为，则 ， 解得， 故这个多边形为八边形． 故答案为：八． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答． 10．（2024春•普陀区期末）如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是　八　边形． 【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【解答】解：设这个多边形是边形， 根据题意得，， 解得． 故答案为：八． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． 11．（2024春•金山区期末）如果一个边形的每一个内角都是，那么　18　． 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用除即可得到边数． 【解答】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$