16.2.2分式的加减（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.2.2 分式的加减 知识点一 同分母分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： ◆2、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点二 异分母分式的加减法 ◆1、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： ◆2、异分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点三 分式的混合运算 分式的混合运算顺序： ◆1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. ◆2、计算结果要化为最简分式或整式. 题型一 同分母的分式相加减 解题技巧提炼 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，结果要化成最简分式. 1．（2024秋•韶关期末）计算的结果是（　　） A．﹣1 B．2 C． D． 【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则和分式的约分． 2．（2024秋•河西区期末）计算的结果是（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2024•嘉兴二模）化简的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．a D．a﹣1 【分析】先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可． 【解答】解： ＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 4．（2024春•晋江市期末）计算：　 　． 【分析】直接根据分式的加法运算法则计算即可得到答案． 【解答】解：原式 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 5．（2023秋•闵行区期末）计算：　 　． 【分析】原式先根据分式的减法法则得，再对分式的分子部分a2+2a﹣3进行因式分解得（a+3）（a﹣1），最后化简即可求解． 【解答】解： ＝a﹣1， 故答案为：a﹣1． 【点评】本题主要考查分式的加减法、因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2024•威海）计算： 　 　． 【分析】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣x﹣2 故答案为：﹣x﹣2． 【点评】此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则． 7．（2024秋•杨浦区期末）计算：　 　． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 故答案为：； 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 8．（2024春•兴化市月考）计算： （1）； （2）． 【分析】利用分式的减法法则计算各题即可． 【解答】解：（1）原式 ＝1； （2）原式 ． 【点评】本题考查分式的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型二 异分母的分式相加减 解题技巧提炼 1、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 2、分母是多项式的先分解因式. 3、结果要化成最简分式. 1．（2024秋•曹县期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可． 【解答】解：， 故选：D． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024秋•岳阳期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【解答】解： ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式． 3．（2024秋•灌阳县期中）计算：x+1正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的加减法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：x+1 ． 故选：D． 【点评】本题考查分式的加减，分式的基本性质等知识，解题的关键是掌握分式的基本性质． 4．（2024秋•潍坊期中）如果x＞y＞1，那么的值是（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．不确定 【分析】首先将代数式通分化简，然后根据已知条件结合乘除法的符号法则，得出结果． 【解答】解：∵x＞y＞1， ∴y﹣x＜0，x﹣1＞0， ∴ 0． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的加减，正确掌握分式的运算法则是关键． 5．（2024秋•迁安市期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【分析】根据分式的减法运算法则计算即可． 【解答】解：观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 6．（2024秋•普陀区期末）计算： 　 　． 【分析】利用分式的减法法则计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2024秋•河西区期末）已知，则A＝ 　 ，B＝ 　　 ． 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：， 可得x+5＝A（x﹣3）﹣B（x+1）＝（A﹣B）x﹣3A﹣B， ∴， 解得：． 故答案为：﹣1；﹣2． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2024春•灌南县月考）计算： （1）； （2）． 【分析】利用分式的加减法则计算各式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2024春•锡山区期中）计算： （1）； （2）； 【分析】（1）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解； （2）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键． 题型三 分式的混合运算 解题技巧提炼 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 1．（2024秋•莱西市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的乘方运算对A选项进行判断；利用通分对B选项进行判断；根据分式的运算顺序对C选项进行判断；根据同分母分式的减法运算和约分对D选项进行判断． 【解答】解：A． （）3，所以A选项不符合题意； B． ，所以B选项不符合题意； C．a•b＝a•b•b＝ab2，所以A选项不符合题意； D． 1，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 2．（2024•安徽三模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【分析】先算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：•（a） • • ＝a+b， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 3．（2024秋•濮阳期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【解答】解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选：A． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 4．（2024秋•长安区校级期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m2；②x﹣x2；③0；④，其中解答正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【分析】根据分式乘除法运算法则进行计算判断①和②，根据异分母分式加减法运算法则进行计算判断③和④． 【解答】解：2÷m2，故①计算错误， 是最简分式，不能进行约分，故②计算错误， ，故③计算错误， ，故④计算正确， 正确的解答共1道， 故选：A． 【点评】本题考查分式的加减和乘除运算，理解分式的基本性质，掌握通分和约分的技巧是解题关键． 5．（2024•南昌县校级模拟）化简：（　　） A． B． C． D． 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解： • ， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 6．（2024春•梧州期末）计算，结果正确的是（　　） A．a B．﹣a C． D． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解： • ＝﹣a， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握异分母分式加减法法则是解题的关键． 7．（2024•大名县校级三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（　　） 化简： 甲同学：原式；乙同学：； 丙同学：；丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【分析】写出正确解答过程，再观察各位同学的解答即可得到答案． 【解答】解： • • ， 观察可知，开始出现错误的同学是乙； 故选：B． 【点评】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． 8．（2024秋•广饶县校级月考）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）原式先计算乘方，再进行乘除运算，注意符号； （2）根据分式的加减法法则计算，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减； （3）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案； （4）先计算括号里的，通分后根据同分母分式的减法法则计算，再将除法化成乘法，约分即可求出值． 【解答】解：（1） •• ； （2） ； （3） • ； （4） • • ． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四 分式化简求值---直接代入 解题技巧提炼 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 1．（2024秋•金湾区期末）先化简，再求值：（），其中x＝5． 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（） • • ， 当x＝5时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（2024秋•长沙县期末）先化简，再求值：，其中x＝7． 【分析】先把分母因式分解，再通分，然后根据分式乘法和除法的运算法则化简，最后把x值代入求值即可． 【解答】解：原式 • ． 当x＝7时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2024•石峰区三模）先化简，再求值：（1），其中x＝10． 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1） • ， 当x＝10时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 4．（2024秋•思明区期末）先化简，再求值：，其中m＝5． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（）• • ， 当m＝5时，原式3． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 5．（2024秋•城关区校级期末）先化简，再求值，其中x＝﹣1． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（） • ， 当x＝﹣1时，原式2． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 6．（2024•宜州区二模）先化简，再求值：，其中a＝﹣3． 【分析】先将除法转化为乘法，然后约分，再算减法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： 2a+1 ＝a﹣2a+1 ＝﹣a+1， 当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）+1＝4． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（2024秋•青秀区校级期末）先化简，再求值：，其中m＝﹣1． 【分析】先通分括号内的式子，再因式分解，化简到最简，然后将m的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， 当m＝﹣1时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键． 题型五 分式化简求值---整体代入 解题技巧提炼 先把分式进行化简，化简后然后利用整体的思想代入求值即可解答. 1．（2024•双流区校级模拟）已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是 　 　． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可． 【解答】解：原式＝（）• • ， ∵x2+2x﹣2＝0， ∴x2+x＝﹣x+2， 则原式1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 2．（2024•东城区二模）若m2+m﹣5＝0，则代数式的值为 　 　． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m2+m＝5代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： • ， ∵m2+m﹣5＝0， ∴m2+m＝5， ∴当m2+m＝5时，原式2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024•定西模拟）已知：x2+3x＝1，求代数式•的值． 【分析】直接利用分式的混合运算进而化简求出答案． 【解答】解：原式• ∵x2+3x＝1， ∴原式＝1． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 4．（2024秋•顺义区期末）已知a﹣3b+1＝0，求的值． 【分析】根据分式的除法法则把原式化简，整体代入计算即可． 【解答】解：原式＝（）• •• ＝2（a﹣b）﹣（a+b） ＝2a﹣2b﹣a﹣b ＝a﹣3b， ∵a﹣3b+1＝0， ∴a﹣3b＝﹣1， 则原式＝﹣1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 5．（2024•娄底三模）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0． 【分析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可． 【解答】解：（） ＝[]•a（a﹣1） ＝（）•a（a﹣1） •a（a﹣1） ＝a（a+2） ＝a2+2a， ∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1， 当a2+2a＝1时， 原式＝1． 【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键． 6．（2024•亭湖区校级二模）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： • • ， ∵x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2＝2x+2， ∴当x2＝2x+2时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 7．（2024•利州区一模）先化简，再求值：已知（），其中x满足x2+2x﹣5＝0． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由方程得出x2+2x＝5，代入即可得到答案． 【解答】解：原式＝（） • ＝（x﹣1）（x+3） ＝x2+2x﹣3， ∵x2+2x﹣5＝0， ∴x2+2x＝5， 则原式＝5﹣3＝2． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 题型六 分式化简求值---选值代入 解题技巧提炼 把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求使原分式有意义，所有分母和除式不能为 0. 1．（2024秋•单县期中）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3中选择一个合适的m的值，代入求值． 【分析】先计算乘除，最后计算加减，取有意义的m的值代入求解． 【解答】解：原式 ＝m ， 当m＝2时，原式4． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是正确分式的混合运算法则． 2．（2024•福田区模拟）先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝[] • • • ＝2（x+4） ＝2x+8； 又分母不能为0， ∴x不能取﹣2，0，2， 当x＝1时，原式＝2×1+8＝10． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 3．（2024秋•西宁期末）先化简，再求值：，其中m从0，2，3，4中取一个合适的数代入求值． 【分析】先把分母因式分解，再通分，然后根据分式乘法和除法的运算法则化简，最后结合分式有意义的条件代入一个合适的m的值即可． 【解答】解：原式 ． ∵m（m﹣2）2≠0，m﹣4≠0， ∴m≠0，2，4． 当m＝3时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024秋•南昌期末）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把x＝0代入计算即可． 【解答】解：原式• • ， ∵x﹣1≠0且x+1≠0且x﹣2≠0， ∴x可以取0， 当x＝0时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 5．（2024秋•武冈市期中）先化简，再求值：，并从0，1，2，3四个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得． 【解答】解：原式 ． 为使分式有意义，则有x+2≠0，x﹣1≠0，x﹣2≠0， x≠﹣2，x≠1，x≠2， 此时，取x＝0或x＝3， 当x＝0时，原式， 当x＝3时，原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的应用，注意取合适的值时，要使分式有意义． 6．（2024秋•章贡区期末）先化简，再从﹣2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值． 【分析】根据分式混合运算法则先化简，再将使原式有意义的数代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当a＝4时，原式． 【点评】本题主要考查分式的运算及化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则计算是解决本题的关键． 7．（2024秋•天河区校级期末）先化简，再求值：（），从﹣2＜x＜2中选出合适的x的整数值代入求值． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x＜2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ＝[]• • ， ∵﹣2＜x＜2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0， ∴x的整数值为﹣1，0，1，且x≠±1， ∴x＝0， 当x＝0时，原式1． 【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 8．（2024秋•汇川区期末）先化简，再从﹣1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件结合﹣1≤x≤3且x是整数，选取合适的值代值计算即可． 【解答】解：， ∵分式要有意义， ∴， ∴x≠±1且x≠3， ∵﹣1≤x≤3且x为整数， ∴x＝0或x＝2， 当x＝0时，原式； 当x＝2时，原式． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件，正确化简分式是解题的关键． 题型七 分式化简求值---先求值再代入求值 解题技巧提炼 先由已知的条件求出字母的值，然后把分式进行化简，最后再代入求值即可解答. 1．（2024秋•天山区校级期末）先化简，再求值：，其中x，y满足 |x﹣2|+（y+1）2＝0． 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据|x﹣2|+（y+1）2＝0，可以得到x、y的值，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：原式• • ， ∵|x﹣2|+（y+1）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， 当x＝2，y＝﹣1时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 3．（2024秋•定陶区期中）先化简再求值：，其中a满足与2和3构成△ABC的第三边，且a为整数． 【分析】先计算乘方，再计算加减，判断出a＝4再代入求解． 【解答】解：原式 ． ∵1＜a＜5，a﹣3≠0，a﹣2≠0， ∴a＝4， ∴原式＝1． 【点评】本题考查分式的化简求值，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的法则． 3．（2024•霞山区一模）化简并求值：，其中x，y满足|x﹣2|+（y﹣1）2＝0． 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据|x﹣2|+（y﹣1）2＝0，可以得到x、y的值，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ， ∵|x﹣2|+（y﹣1）2＝0， ∴x﹣2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝2，y＝1， 当x＝2，y＝1时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4．若（x+3）2+|y﹣4|＝0，求[]2•（）3÷（）2的值． 【分析】原式先算乘方，然后再算乘除，最后根据偶次幂和绝对值的非负性确定x和y的值，代入求值即可． 【解答】解：原式 ， ∵（x+3）2+|y﹣4|＝0，且（x+3）2≥0，|y﹣4|≥0， ∴x+3＝0，y﹣4＝0， ∴x＝﹣3，y＝4， ∴原式6． 【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键． 5．先化简，再求值：，其中a，b满足|a+3|+（b+2）2＝0． 【分析】先利用异分母分式加减法法则，计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： • ， ∵|a+3|+（b+2）2＝0， ∴a+3＝0，b+2＝0， ∴a＝﹣3，b＝﹣2， ∴当a＝﹣3，b＝﹣2时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 6．（2024秋•广州期末）已知． （1）化简A； （2）当2x＝4y，求A的值． 【分析】（1）先把括号内的分式通分，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分母分解因式再约分，并把除法换成乘法，进行计算即可； （2）把已知条件中的两个幂的底数都换成2，从而把x用2y表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的x换成2y，进行计算并约分即可． 【解答】解：（1） ； （2）∵2x＝4y， ∴2x＝（22）y＝22y， ∴x＝2y， ∴ ． 【点评】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 题型八 分式混合运算的实际应用 解题技巧提炼 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 1．（2024春•思明区校级期末）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯b克的糖水里含有a克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），b＞a＞0，m＞0，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比和加入m克糖后糖占糖水的百分比，再列出算式，根据分式的减法法则进行计算，再根据求出的结果的正负比较大小即可． 【解答】解：根据题意得：b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比是，加入m克糖后糖占糖水的百分比是， ∵ ， ∵b＞a＞0，m＞0，糖水更甜了， ∴a﹣b＜0，b+m＞0， ∴0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键． 2．（2024•亭湖区校级模拟）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　 　． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，然后化简即可得到的值． 【解答】解：由题意可得， am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 3．（2024秋•沙依巴克区校级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是　 　元/kg，乙所购面粉的平均单价是　 　元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为　 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式） 【分析】根据题意可用含a，b的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【解答】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/kg）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/kg）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/kg）， 故答案为：；；． 【点评】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键． 4．一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． （1）甲乙合作，需多少天完成？ （2）工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 【分析】（1）本题须先分别求出甲乙的工作效率，再用总工作量除以总工作效率即可； （2）先求出工程完成后甲、乙分别完成的工作量，然后再分别乘以劳动报酬m元即可． 【解答】解：（1）解；∵甲单独完成需要x天，乙单独完成需要y天， ∴甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴两人合作需要的时间为：1÷（）； ∴甲乙合作，需要天； （2）∵甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴工程完成后，甲完成，应分得（元）， 乙完成，应分得（元）． 【点评】本题主要考查了如何列代数式，解题时要能根据题意列出式子是本题的关键． 5．某人沿一条河流顺流游泳L米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h． （1）求他来回一趟所需的时间为t； （2）用t，x，n的代数式表示L． 【分析】（1）利用时间＝路程÷速度可得出时间t； （2）从（1）中得出的式子中解出L即可． 【解答】解：（1）顺流时速度为（x+n）m/h，逆流时速度为（x﹣n）m/h， 所以t； （2）由（1）知t， 去分母可得：t（x2﹣n2）＝2Lx， 两边同时除以2x可得：L． 【点评】本题主要考查列分式方程及解字母系数的方程，把要解的L看成未知数解出L是解题的关键． 6．（2024秋•朝阳区校级期中）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走m千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （2）如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （3）当此人原来从甲地到乙地每小时走20千米/时，速度变化后，此人从甲地到乙地少用多长时间？ 【分析】（1）（2）利用路程÷速度＝时间列式即可； （3）利用路程÷速度＝时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可． 【解答】解：（1）100÷m（小时） 答：此人从甲地到乙地需要走小时． （2）100÷（m+5）（小时） 答：此人从甲地到乙地需要走小时． （3）5（小时） 答：此人从甲地到乙地少用（5）小时． 【点评】此题考查列代数式，掌握速度、时间、路程三者之间的关系是解决问题的关键． 7．A、B两港之间的距离为150千米． （1）若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； （2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由． 【分析】（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为（x+15）千米/时，利用时间差列方程得4，然后解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）利用速度公式得到t1•v，t2，然后利用求差法比较大小即可． 【解答】解：（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为（x+15）千米/时， 根据题意得4，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解， 答：水流的速度为5千米/时； （2）t1•v，t2， t1﹣t2•v•[v2﹣（v﹣u）（v+u）]•u2， 因为u＞0， 所以t1﹣t2＞0， 即t1＞t2． 【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 题型九 探究类题型---新定义问题 解题技巧提炼 首先根据新定义运算列出分式算式，然后进行分式的相关运算即可解答. 1．（2024秋•天河区校级期中）对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n（mn≠6），例如：4※20，若（x﹣1）※，则2A﹣B＝ 　 　． 【分析】由 可得答案， 【解答】解：由新定义运算法则可知：， ∵， ∴2A﹣B＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查新定义，分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则． 2．（2024秋•高唐县期中）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 　 　． 【分析】先根据新定义，对原分式进行化简整理得到2为整数，则可得到x+1＝±1，解得x＝0或﹣2，又因x＝0时，分式无意义，故可得到x为﹣2． 【解答】解： • ＝2， ∵分式的值为整数， ∴2的值为整数， ∴的值为整数， ∴x+1＝±1， ∴x＝0或﹣2， ∵当x＝0时，分式无意义， ∴x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•灌阳县期中）若分式A与分式B的差等于它们的积，A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与， 因为， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　 　． 【分析】根据“友好分式”的定义列出式子并求解． 【解答】解：∵分式A与分式B的差等于它们的积，A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”， 设分式为分式A，它的“友好分式”是B， ∴， ∴， ∴， ∵a+b≠0， ∴， ∴分式的“友好分式”为． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，新定义，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•平南县期中）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”． （2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值． 【分析】（1）根据定义即判断． （2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值． 【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下， C﹣D ＝﹣1， ∴C不是D的“雅中式”； （2）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1， ∴M﹣N＝1， ∴1， E﹣3x﹣x2＝9﹣x2， ∴E＝3x+9， ∴M． ∵M的值也为整数，且分式有意义， 故3﹣x＝±1或3﹣x＝±3， ∴x的值为：0，2，4，6． 【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． 5．（2024春•拱墅区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． （1）若a＝﹣1，b＝2，求a，b的传承数； （2）若a＝1，b＝x2，且，求a，b的“传承数”； （3）若a＝2n+1，b＝n﹣1，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 【分析】（1）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （2）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （3）根据a与b表示出传承数，由c为整数确定出整数n的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：a，b的传承数ca+b（﹣1）+21+2＝2； （2）∵a＝1，b＝x2，x3， ∴a，b的传承数ca+b1+x2＝（x）2﹣3＝9﹣3＝6； （3）a＝2n+1，b＝n﹣1， ∴a，b的传承数ca+b （2n+1）+n﹣1 n﹣2 n﹣2 ＝﹣n， ∵c为整数， ∴n﹣1＝﹣1或1或﹣3或3， 解得：n＝0或2或﹣2或4． 【点评】此题考查了分式的加减法，以及整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2024秋•通州区期中）如果两个分式M与N的差为整数a，那么称M为N的“汇整分式”，整数a称为“汇整值”，如分式，则M为N的“汇整分式”，“汇整值”a＝2． （1）已知分式，判断A是否为B的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”a； （2）已知分式，其中E为多项式，且C为D的“汇整分式”且“汇整值”a＝1，求E所表示的多项式． 【分析】（1）先计算A﹣B，根据结果即可判断； （2）先求C﹣D1．结合新定义可得E+x2﹣4＝（x+2）2，化简可得E所代表的多项式． 【解答】解：（1）A﹣B ＝﹣1． ∴A为B的“汇整分式”，“汇整值”a＝﹣1； （2）C﹣D ＝1． ∴E+x2﹣4＝（x+2）2， 即x2﹣4+E＝x2+4x+4， ∴E＝4x+8． 【点评】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． 7．（2024春•宿城区校级期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）； （2）若正实数a，b互为倒数，求证：分式与属于“友好分式组”； （3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab＝1，把b代入计算出结果； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得2，求出a＝﹣4b，把a＝﹣4b代入分式求出结果即可． 【解答】解：（1）①2， ②2， ③2≠2， ∴属于“友好分式组”的有②， 故答案为：②； （2）证明：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1，b， ∴ ＝2， ∴分式与属于“友好分式组”； （3）∵ ， ∵与属于“友好分式组”， ∴2， ∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）， 解得a＝﹣4b， 把a＝﹣4b代入4． 【点评】本题考查了分式的加减法和实数的性质，掌握分式加减法的法则是解题关键． 8．（2024春•谯城区期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式，，，则P与Q互为“完美分式”，“完美值”m＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m； （2）已知分式，，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m＝3，其中x为正整数，分式D的值为正整数． ①求E所代表的代数式； ②求x的值． 【分析】（1）根据完美值的定义，运算验证即可； （2）根据完美值的定义，C+D＝3，运算出E，再根据x为正整数，分式D的值为正整数的条件进行运算即可． 【解答】解：（1）A+B2， 根据完美值的定义，A与B是“完美分式”，完美值”m＝2． （2）∵C与D互为“完美分式”， ∴3， ①3， ∴E＝﹣2x﹣4， ②D， ∵分式D为正整数，x为正整数， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， ∴x＝1，x＝0（舍去）， ∴x＝1． 【点评】本题考查了分式的加减法以及分式的值的计算，读懂题意是突破该题的前提． 题型十 探究类题型---条件变形求值 解题技巧提炼 先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于 M，N的方程组,从而可求出M,N的值. 1．（2024秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可． 【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy； ∴x﹣y＝﹣2xy 将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得 ． 故选：B． 【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可． 2．（2024秋•东昌府区期中）若，则M，N的值分别为（　　） A．M＝2，N＝3 B．M，N C．M＝3，N＝2 D．M，N 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法计算，根据分母相同，分式值相同，得到分子相同，利用多项式相等的条件求出M与N的值即可． 【解答】解：∵，且， ∴，即（3M﹣2N）x+（2M+N）＝5x+8， ∴3M﹣2N＝5，2M+N＝8， 解得：M＝3，N＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母． 3．（2024春•亭湖区期末）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得：x2＝4x﹣2，再代入所求的式子运算即可． 【解答】解：∵， ∴x2+2＝4x， 则x2＝4x﹣2， ∴ ． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是由条件得到x2＝4x﹣2． 4．（2024秋•东平县期中）已知a是实数，且a2﹣2016a+4＝0，则式子a2﹣2015a5的值是（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 【分析】首先对已知条件进行变形，得到a2﹣2015a＝a﹣4，a2+4＝2016a的形式，代入所求的解析式，即可化简求值． 【解答】解：a2﹣2016a+4＝0即：a2﹣2015a﹣a+4＝0， ∴a2﹣2015a＝a﹣4，a2+4＝2016a， ∴a2﹣2015a5＝a﹣45＝a﹣4555＝2017， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确对所求的式子与已知的式子进行变形是解题的关键． 5．（2024春•蜀山区校级月考）已知，，，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C． D． 【分析】先根据分式的加减法则计算每一个等式的左边，然后将三个等式相加，再取其倒数即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 6．（2024秋•博山区校级期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案． 【解答】解：∵a+b+c＝10，， ∴a＝10﹣（b+c），b＝10﹣（a+c），c＝10﹣（a+b）， ∴ ＝10（）﹣3 ＝103 ． 故选：A． 【点评】本题考查分式的运算及化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是运用分式的运算法则进行恒等变形． 7．（2024秋•大兴区期末）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步因为，所以即； 第二步因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， （1）仿照第一步，求的值； （2）仿照第二步，求的值． 【分析】（1）利用例题方法求解即可； （2）利用完全平方公式解决问题即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 【点评】本题考查分式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是掌握分式混合运算的法则． 8．（2023春•巴中期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由已知可得x≠0，则，即． ∵（x）2﹣2＝32﹣2＝7， ∴． 上面材料中的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面的题目： （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值． 【分析】（1）利用题干中的方法，先取倒数求得x的值，再利用解答即可； （2））利用题干中的方法，先取倒数求得，和的值，题干计算可求得的值，利用即可求得结论． 【解答】解：（1）由，知x≠0， 则2， 即x﹣32， 得：x5． ∵ 2+1 ＝52﹣1＝24， ∴； （2）由，知3，知xy≠0， 则， 即：； 由，知xz≠0， 则， 即：； 由1，知yz≠0， 则1， 即：1． ∴2（）1， 解得：． ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，倒数，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用解答问题是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.2.2 分式的加减 知识点一 同分母分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： ◆2、同分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点二 异分母分式的加减法 ◆1、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： ◆2、异分母分式的加减法一般步骤： （1）分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，则先将分子括上括号再加减, （2）分子去括号时，如果括号前有“﹣”号，在去掉括号前面的“﹣”号及括号后，原括号内的各项都要变号； （3）分子合并同类项. （4）约分，把结果化为最简分式或整式. 知识点三 分式的混合运算 分式的混合运算顺序： ◆1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行. ◆2、计算结果要化为最简分式或整式. 题型一 同分母的分式相加减 解题技巧提炼 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，结果要化成最简分式. 1．（2024秋•韶关期末）计算的结果是（　　） A．﹣1 B．2 C． D． 2．（2024秋•河西区期末）计算的结果是（　　） A． B．﹣2 C．2 D．4 3．（2024•嘉兴二模）化简的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．a D．a﹣1 4．（2024春•晋江市期末）计算：　 　． 5．（2023秋•闵行区期末）计算：　 　． 6．（2024•威海）计算： 　 　． 7．（2024秋•杨浦区期末）计算：　 　． 8．（2024春•兴化市月考）计算： （1）； （2）． 题型二 异分母的分式相加减 解题技巧提炼 1、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 2、分母是多项式的先分解因式. 3、结果要化成最简分式. 1．（2024秋•曹县期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•岳阳期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•灌阳县期中）计算：x+1正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•潍坊期中）如果x＞y＞1，那么的值是（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．不确定 5．（2024秋•迁安市期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 6．（2024秋•普陀区期末）计算： 　 　． 7．（2024秋•河西区期末）已知，则A＝ 　 ，B＝ 　　 ． 8．（2024春•灌南县月考）计算： （1）； （2）． 8．（2024春•锡山区期中）计算： （1）； （2）； 题型三 分式的混合运算 解题技巧提炼 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 1．（2024秋•莱西市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•安徽三模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 3．（2024秋•濮阳期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•长安区校级期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m2；②x﹣x2；③0；④，其中解答正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 5．（2024•南昌县校级模拟）化简：（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•梧州期末）计算，结果正确的是（　　） A．a B．﹣a C． D． 7．（2024•大名县校级三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（　　） 化简： 甲同学：原式；乙同学：； 丙同学：；丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 8．（2024秋•广饶县校级月考）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型四 分式化简求值---直接代入 解题技巧提炼 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 1．（2024秋•金湾区期末）先化简，再求值：（），其中x＝5． 2．（2024秋•长沙县期末）先化简，再求值：，其中x＝7． 3．（2024•石峰区三模）先化简，再求值：（1），其中x＝10． 4．（2024秋•思明区期末）先化简，再求值：，其中m＝5． 5．（2024秋•城关区校级期末）先化简，再求值，其中x＝﹣1． 6．（2024•宜州区二模）先化简，再求值：，其中a＝﹣3． 7．（2024秋•青秀区校级期末）先化简，再求值：，其中m＝﹣1． 题型五 分式化简求值---整体代入 解题技巧提炼 先把分式进行化简，化简后然后利用整体的思想代入求值即可解答. 1．（2024•双流区校级模拟）已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是 　 　． 2．（2024•东城区二模）若m2+m﹣5＝0，则代数式的值为 　 　． 3．（2024•定西模拟）已知：x2+3x＝1，求代数式•的值． 4．（2024秋•顺义区期末）已知a﹣3b+1＝0，求的值． 5．（2024•娄底三模）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0． 6．（2024•亭湖区校级二模）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0． 7．（2024•利州区一模）先化简，再求值：已知（），其中x满足x2+2x﹣5＝0． 题型六 分式化简求值---选值代入 解题技巧提炼 把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求使原分式有意义，所有分母和除式不能为 0. 1．（2024秋•单县期中）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3中选择一个合适的m的值，代入求值． 2．（2024•福田区模拟）先化简：，并在﹣2，0，1，2中选一个合适的数求值． 3．（2024秋•西宁期末）先化简，再求值：，其中m从0，2，3，4中取一个合适的数代入求值． 4．（2024秋•南昌期末）先化简，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 5．（2024秋•武冈市期中）先化简，再求值：，并从0，1，2，3四个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 6．（2024秋•章贡区期末）先化简，再从﹣2，2，4，0中选择一个合适的数代入求值． 7．（2024秋•天河区校级期末）先化简，再求值：（），从﹣2＜x＜2中选出合适的x的整数值代入求值． 8． （2024秋•汇川区期末）先化简，再从﹣1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 题型七 分式化简求值---先求值再代入求值 解题技巧提炼 先由已知的条件求出字母的值，然后把分式进行化简，最后再代入求值即可解答. 1．（2024秋•天山区校级期末）先化简，再求值：，其中x，y满足 |x﹣2|+（y+1）2＝0． 3．（2024秋•定陶区期中）先化简再求值：，其中a满足与2和3构成△ABC的第三边，且a为整数． 3．（2024•霞山区一模）化简并求值：，其中x，y满足|x﹣2|+（y﹣1）2＝0． 4．若（x+3）2+|y﹣4|＝0，求[]2•（）3÷（）2的值． 5．先化简，再求值：，其中a，b满足|a+3|+（b+2）2＝0． 6．（2024秋•广州期末）已知． （1）化简A； （2）当2x＝4y，求A的值． 题型八 分式混合运算的实际应用 解题技巧提炼 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 1．（2024春•思明区校级期末）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯b克的糖水里含有a克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），b＞a＞0，m＞0，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•亭湖区校级模拟）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　 　． 3．（2024秋•沙依巴克区校级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是　 　元/kg，乙所购面粉的平均单价是　 　元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为　 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式） 4．一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． （1）甲乙合作，需多少天完成？ （2）工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 5．某人沿一条河流顺流游泳L米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为x m/h，水流速度为n m/h． （1）求他来回一趟所需的时间为t； （2）用t，x，n的代数式表示L． 6．（2024秋•朝阳区校级期中）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走m千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （2）如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （3）当此人原来从甲地到乙地每小时走20千米/时，速度变化后，此人从甲地到乙地少用多长时间？ 7．A、B两港之间的距离为150千米． （1）若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度； （2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由． 题型九 探究类题型---新定义问题 解题技巧提炼 首先根据新定义运算列出分式算式，然后进行分式的相关运算即可解答. 1．（2024秋•天河区校级期中）对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n（mn≠6），例如：4※20，若（x﹣1）※，则2A﹣B＝ 　 　． 2．（2024秋•高唐县期中）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 　 　． 3．（2024秋•灌阳县期中）若分式A与分式B的差等于它们的积，A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与， 因为， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　 　． 4．（2024秋•平南县期中）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”． （2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值． 5．（2024春•拱墅区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． （1）若a＝﹣1，b＝2，求a，b的传承数； （2）若a＝1，b＝x2，且，求a，b的“传承数”； （3）若a＝2n+1，b＝n﹣1，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 6．（2024秋•通州区期中）如果两个分式M与N的差为整数a，那么称M为N的“汇整分式”，整数a称为“汇整值”，如分式，则M为N的“汇整分式”，“汇整值”a＝2． （1）已知分式，判断A是否为B的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”a； （2）已知分式，其中E为多项式，且C为D的“汇整分式”且“汇整值”a＝1，求E所表示的多项式． 7．（2024春•宿城区校级期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）； （2）若正实数a，b互为倒数，求证：分式与属于“友好分式组”； （3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 8．（2024春•谯城区期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式，，，则P与Q互为“完美分式”，“完美值”m＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m； （2）已知分式，，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m＝3，其中x为正整数，分式D的值为正整数． ①求E所代表的代数式； ②求x的值． 题型十 探究类题型---条件变形求值 解题技巧提炼 先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于 M，N的方程组,从而可求出M,N的值. 1．（2024秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•东昌府区期中）若，则M，N的值分别为（　　） A．M＝2，N＝3 B．M，N C．M＝3，N＝2 D．M，N 3．（2024春•亭湖区期末）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•东平县期中）已知a是实数，且a2﹣2016a+4＝0，则式子a2﹣2015a5的值是（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 5．（2024春•蜀山区校级月考）已知，，，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C． D． 6．（2024秋•博山区校级期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是（　　） A． B． C．2 D． 7．（2024秋•大兴区期末）阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步因为，所以即； 第二步因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， （1）仿照第一步，求的值； （2）仿照第二步，求的值． 8．（2023春•巴中期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由已知可得x≠0，则，即． ∵（x）2﹣2＝32﹣2＝7， ∴． 上面材料中的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面的题目： （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$