16.2.1分式的乘除（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.2.1 分式的乘除 知识点一 分式的乘法 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点二 分式的除法 ◆1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点三 分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点四 分式的乘方 ◆1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． ◆2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 知识点五 分式的乘除、乘方混合运算 ◆1、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． ◆2、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 题型一 分式的乘法 解题技巧提炼 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：（1）符号运算；（2）按分式的乘法法则运算． 1．（2024秋•中山区期末）计算：　 　． 2．（2024秋•南昌期末）计算：　 　． 3．（2024•随州模拟）计算：　 　． 4．（2024秋•汾阳市期末）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•遵化市期中）的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•和平区二模）化简：•（x+2）＝（　　） A． B．x C． D．x﹣2 7．（2023秋•栾城区校级月考）化简•的结果是（　　） A． B． C． D． 8．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 分式的除法 解题技巧提炼 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘,如果分子、分母是多项式的要先进行因式分解，并约分. 1．（2024春•宿豫区期中）计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 2．（2024•廊坊模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•雁塔区校级期末）计算的结果是（　　） A．x﹣2 B． C． D． 4．（2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 5．（2024春•荣成市期中）若M，则M是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•覃塘区期中）若化简的结果为，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 7．计算： （1）； （2）； （3）． 8．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 题型三 分式的乘除混合运算 解题技巧提炼 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 1．（2024秋•澄海区期末）计算的结果是（　　） A．x B．y C． D． 2．（2024秋•栖霞市期中）在下列四个算式中：①•；②•；③；④，结果是分式的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 3．（2024秋•怀柔区期末）计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2024•乌鲁木齐模拟）化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•封开县期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 5．（2024秋•环翠区期末）化简（a+b）÷（a﹣b）•　 　． 6．（2024秋•让胡路区校级期中）计算的结果为　 ． 7．（2024秋•奎文区校级月考）（1）； （2）； （3）． 8．（2024秋•让胡路区校级期中）计算 （1）； （2）•． ． （4）•． 9．（2024•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B，C，若A÷B＝C×D，求D． 10．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 题型四 分式的乘方 解题技巧提炼 分式乘方时，一定要把分子、分母同时分别乘方，不要把漏乘了. 1．（2024秋•北湖区校级期中）计算：　 　． 2．（2024秋•昌平区期中）化简：　 　． 3．（2024秋•石景山区校级期中）的结果是 　 　． 4．（2024秋•新化县校级期末）计算分式得（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•朝阳区期末）计算（）3的正确结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•岫岩县模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3m÷am＝a2m B．2a3•a2＝2a6 C．（﹣a2）3＝﹣a5 D． 7．（2024秋•丰城市期中）下列计算中，错误的是（　　） A．（）3 B．（）2 C．（）2 D．（）2 题型五 分式的乘除、乘方混合运算 解题技巧提炼 分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 1．（2024秋•河西区期末）计算（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•昌黎县一模）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•大名县期中）下列计算不正确的题是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•双峰县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•尉氏县月考）计算：（x3y2）2•　 　． 6．（2024春•顺义区校级期中）计算：　 ． 7．（2023秋•东阿县校级月考）计算： （1）． （2）； 8．（2024秋•新泰市校级月考）计算： （1）； （2）． 9．（2024秋•新泰市期中）计算： （1）（）2•（）3÷（﹣xy4） （2） ； （3） （4）（）2÷（）•（）3•（）2． 题型六 分式的乘除化简求值 解题技巧提炼 根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值．同时注意字母的取值要使原式有意义. 1．（2024秋•钢城区期末）若x+y＝2，则代数的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 2．（2024•江岸区校级模拟）若m﹣n＝2，则代数式的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3．（2024•历城区二模）若a+b＝3，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．3 4．（2023秋•淄川区校级月考）先化简，再求值，，其中m＝1． 5．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣3＝0． 6．（2023•大庆一模）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 7．（2024秋•任城区校级月考）M． （1）化简代数式M； （2）请在以下四个数中：1，﹣1，2，﹣2，选择一个合适的数代入，求M的值． 8．（2023春•海珠区校级月考）（1）若A，化简A； （2）若a满足a2﹣a＝0，求A值． 题型七 分式乘除规律问题 解题技巧提炼 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题，最后利用分式的乘除法法则进行计算即可解答. 1．观察下面一列分式：，，，，… （1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？ （2）根据你发现的规律写出第n个分式． 2．现给一定分式：，，，，…（其中x，y均不为0）． （1）写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． （2）求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 3．给定下列分式：，，，，…（xy≠0）． （1）这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ （2）从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ （3）根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 4．（2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 题型八 分式乘除的实际问题 解题技巧提炼 根据实际问题中的数量关系，列出算式，然后利用分式的乘除运算法则进行计算. 1．大拖拉机n天耕地a公顷，小拖拉机m天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•厦门期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的　 　倍． 3．由甲地到乙地的一条铁路全程为vkm，火车全程运行时间为ah；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh．那么火车的速度是汽车速度的多少倍？ 4．（2024春•长安区月考）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？ 5．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 6．（2024秋•新泰市期中）果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重（m﹣2）2kg，西瓜重（m2﹣4）kg，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元． （1）请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价； （2）凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？ 7．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 8．（2024秋•滦州市期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，当两块试验田的小麦都收获了7500千克． （1）“丰收1号”的单位面积产量　 　千克/米2，“丰收2号”的单位面积产量　 　千克/米2； （2）单位面积产量高的是　 　（填“丰收1号”或“丰收2号”）； （3）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.02倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.2.1 分式的乘除 知识点一 分式的乘法 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点二 分式的除法 ◆1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点三 分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点四 分式的乘方 ◆1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． ◆2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合. 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. 知识点五 分式的乘除、乘方混合运算 ◆1、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． ◆2、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 题型一 分式的乘法 解题技巧提炼 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：（1）符号运算；（2）按分式的乘法法则运算． 1．（2024秋•中山区期末）计算：　 　． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：•， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 2．（2024秋•南昌期末）计算：　 　． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：•， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 3．（2024•随州模拟）计算：　 　． 【分析】根据分式的乘法法则即可得． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 4．（2024秋•汾阳市期末）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2024秋•遵化市期中）的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】原式变形后，约分即可得到结果． 【解答】解：原式• ． 故选：A． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024•和平区二模）化简：•（x+2）＝（　　） A． B．x C． D．x﹣2 【分析】根据分式的乘法运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式•（x+2） ， 故选：C． 【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 7．（2023秋•栾城区校级月考）化简•的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接将分时的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘法运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式• ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘法，正确化简分式是解题关键． 8．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按分式的乘法计算即可； （2）先因式分解再约分即可； （3）先因式分解再约分即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） • ． （4）原式， ． 【点评】本题考查了分式是乘除法，熟练掌握运算法则是关键． 题型二 分式的除法 解题技巧提炼 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘,如果分子、分母是多项式的要先进行因式分解，并约分. 1．（2024春•宿豫区期中）计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 【分析】把除法转为乘法，再约分即可． 【解答】解： ＝y2． 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．（2024•廊坊模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【解答】解： • ， 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3．（2024春•雁塔区校级期末）计算的结果是（　　） A．x﹣2 B． C． D． 【分析】先把分式的分子、分母分解因式，然后除法运算变乘法运算，约分即可得出结果． 【解答】解： ， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【分析】设被遮挡的式子为t，则根据分式的除法法则可求出结果为，则t中一定含有xy的单项式，即可选择． 【解答】解：设被遮挡的式子为t， 则， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查分式的除法，整式，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 5．（2024春•荣成市期中）若M，则M是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的乘除运算法则进而计算得出答案． 【解答】解：∵M， ∴M• • ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键． 6．（2024秋•覃塘区期中）若化简的结果为，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【分析】利用分式的乘除法的法则对式子进行化简，再结合条件进行分析即可． 【解答】解：， ∵其结果为， ∴x﹣3+m＝x﹣1， 解得：m＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）（2）（3）根据分式的除法法则计算． 【解答】解：（1）； （2）a﹣b； （3）． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 8．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【分析】（1）根据已知算式得出被手遮住部分的代数式•（），再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可； （2）列出方程1，求出x＝0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，0，再得出答案即可． 【解答】解：（1）被手遮住部分的代数式为： •（） ••[] ； （2）原代数式的值不能等于﹣1， 理由是：1， x+1＝﹣（x﹣1）， x+1＝﹣x+1， x+x＝1﹣1， 2x＝0， x＝0， 要使代数式（）有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0， 即x不能为1，﹣1，0， 所以原代数式的值不能等于﹣1． 【点评】本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型三 分式的乘除混合运算 解题技巧提炼 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 1．（2024秋•澄海区期末）计算的结果是（　　） A．x B．y C． D． 【分析】先将除法转化为乘法，再根据分式乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘除法混合运算，掌握分式混合运算的顺序是解题的关键． 2．（2024秋•栖霞市期中）在下列四个算式中：①•；②•；③；④，结果是分式的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】利用分式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：①原式，结果是分式； ②原式＝2，结果不是分式； ③原式•2，结果不是分式； ④原式•，结果是分式， 则其结果是分式的是①④． 故选：A． 【点评】此题考查了分式的乘除法，以及分式的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024秋•怀柔区期末）计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除法运算法则化简得出答案． 【解答】解： •• ＝﹣2． 故选：D． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2024•乌鲁木齐模拟）化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式•• ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的乘除法，正确化简分式是解题关键． 5．（2024秋•封开县期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 【分析】乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误． 【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1， 而分母和分式本身的符号并没有发生变化， 所以乙有错误． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键． 5．（2024秋•环翠区期末）化简（a+b）÷（a﹣b）•　 　． 【分析】先变除为乘，再进行计算． 【解答】解：原式＝（a+b） ． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 6．（2024秋•让胡路区校级期中）计算的结果为　 ． 【分析】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可． 【解答】解：原式（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2，故答案为a2﹣a﹣2． 【点评】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分． 7．（2024秋•奎文区校级月考）（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题意，先把第一个分式的分子和分母进行因式分解，然后再根据分式的乘法运算法则计算即可； （2）根据题意，先把第一个分式的分母和第二个分式的分子进行因式分解，然后再根据分式的除法运算法则计算即可； （3）先把第一个分式的分子进行因式分解，然后再根据分式的乘除运算法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点评】本题考查了分式的乘除运算，涉及到知识点有：公式法﹣因式分解，提取公因式﹣因式分解，法约分，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•让胡路区校级期中）计算 （1）； （2）•． ． （4）•． 【分析】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可． 【解答】解：（1）原式（a﹣2）（a+1） ＝a2﹣a﹣2． （2）• ． （3）原式•• ； （4）原式 ． 【点评】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分． 9．（2024•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B，C，若A÷B＝C×D，求D． 【分析】根据所给出的条件A÷B＝C×D列出式子，经过运算即可求出D的值． 【解答】解：A＝xy﹣x2＝x（y﹣x），B，C； ∵A÷B＝C×D， ∴x（y﹣x）D， 所以D＝x（y﹣x）y； ∴D＝﹣y． 【点评】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分． 10．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【分析】（1）根据已知算式得出被手遮住部分的代数式•（），再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可； （2）列出方程1，求出x＝0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，0，再得出答案即可． 【解答】解：（1）被手遮住部分的代数式为： •（） ••[] ； （2）原代数式的值不能等于﹣1， 理由是：1， x+1＝﹣（x﹣1）， x+1＝﹣x+1， x+x＝1﹣1， 2x＝0， x＝0， 要使代数式（）有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0， 即x不能为1，﹣1，0， 所以原代数式的值不能等于﹣1． 【点评】本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型四 分式的乘方 解题技巧提炼 分式乘方时，一定要把分子、分母同时分别乘方，不要把漏乘了. 1．（2024秋•北湖区校级期中）计算：　 　． 【分析】根据分式的乘方及幂的乘方法则进行计算即可得． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键． 2．（2024秋•昌平区期中）化简：　 　． 【分析】根据分式的乘方运算，化简即可． 【解答】解：． 故答案为： 【点评】本题考查分式得乘方运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•石景山区校级期中）的结果是 　 　． 【分析】把分子分母分别乘方即可得出结果． 【解答】， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 4．（2024秋•新化县校级期末）计算分式得（　　） A． B． C． D． 【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方即给分子、分母分别乘方是关键． 5．（2024秋•朝阳区期末）计算（）3的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的性质结合乘方运算法则化简得出答案． 【解答】解：（）3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2024•岫岩县模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3m÷am＝a2m B．2a3•a2＝2a6 C．（﹣a2）3＝﹣a5 D． 【分析】利用同底数幂除法法则，单项式乘单项式法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a3m÷am＝a2m，则A符合题意； 2a3•a2＝2a5，则B不符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2024秋•丰城市期中）下列计算中，错误的是（　　） A．（）3 B．（）2 C．（）2 D．（）2 【分析】利用分式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、，故A符合题意； B、（）2，故B不符合题意； C、（）2，故C不符合题意； D、（）2，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型五 分式的乘除、乘方混合运算 解题技巧提炼 分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 1．（2024秋•河西区期末）计算（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先算乘方，再算除法． 【解答】解：（）2 • ， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的除法，掌握分式除法的运算法则是解题的关键． 2．（2024•昌黎县一模）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先进行平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘除法，关键是正确约分，约分的关键是找到公因式． 3．（2024秋•大名县期中）下列计算不正确的题是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把各个选项中的分子和分母分解因式，然后除法化成乘法，进行约分，然后判断即可． 【解答】解：A．∵ ， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； B．∵ ， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； C．∵ ＝x， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； D．∵ ， ∴此选项的计算不正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． 4．（2024秋•双峰县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先进行乘方计算，然后把除法转化为乘法计算，最后进行乘法运算即可． 【解答】解：原式•••， 故选：B． 【点评】解决乘法、除法、乘方的混合运算，容易出现的是符号的错误，在计算过程中要首先确定符号． 5．（2024春•尉氏县月考）计算：（x3y2）2•　 　． 【分析】先算积的乘方，再算分式的乘法即可． 【解答】解：（x3y2）2• ＝x6y4• ＝x7y． 故答案为：x7y． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（2024春•顺义区校级期中）计算：　 ． 【分析】先计算积的乘方运算，然后再计算除法即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查积的乘方运算及分式除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2023秋•东阿县校级月考）计算： （1）． （2）； 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除； （2）先根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•新泰市校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可； （2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 9．（2024秋•新泰市期中）计算： （1）（）2•（）3÷（﹣xy4） （2） ； （3） （4）（）2÷（）•（）3•（）2． 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算以及积的乘方运算即可求出答案． （2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式•（）÷（﹣xy4） • ． （2）原式• ． （3）原式•• ． （4）原式•（）•• •• • ． 【点评】本题考查分式的乘除运算法则，同底数幂的除法运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型． 题型六 分式的乘除化简求值 解题技巧提炼 根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值．同时注意字母的取值要使原式有意义. 1．（2024秋•钢城区期末）若x+y＝2，则代数的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【分析】先计算分式的乘法进行化简，再把x+y＝2整体代入即可得出答案． 【解答】解：∵x+y＝2， ∴•3（x+y）＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 2．（2024•江岸区校级模拟）若m﹣n＝2，则代数式的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m﹣n的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣2（m﹣n）． 当m﹣n＝2时．原式＝﹣2×2＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 3．（2024•历城区二模）若a+b＝3，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【解答】解： ， 当a+b＝3时， 原式． 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2023秋•淄川区校级月考）先化简，再求值，，其中m＝1． 【分析】先把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解： • ， 当m＝1时，原式． 【点评】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值，能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解此题的关键． 5．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣3＝0． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足a2﹣2a﹣3＝0求出a的值，代入原式进行计算即可． 【解答】解：原式••（a+1）（a﹣1） ＝（a﹣2）（a+1） ＝a2﹣a﹣2 ∵a满足a2﹣2a﹣3＝0， ∴a＝3或a＝﹣1（舍去）， ∴原式＝32﹣3﹣2＝4． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 6．（2023•大庆一模）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】根据分式的运算法则化简计算即可． 【解答】解： ． ∵x≠±2且x≠0， ∴x＝﹣1时，． 【点评】本题考查了分式的化简求值，正确化简，适当选值是解题的关键． 7．（2024秋•任城区校级月考）M． （1）化简代数式M； （2）请在以下四个数中：1，﹣1，2，﹣2，选择一个合适的数代入，求M的值． 【分析】（1）利用分式的除法法则进行计算，即可解答； （2）把a的值代入（1）中的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）M • ＝（a﹣2）（a﹣1） ＝a2﹣3a+2； （2）∵a2﹣1≠0，a﹣2≠0， ∴a≠±1，a≠2， ∴当a＝﹣2时，M＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）+2＝4+6+2＝12． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2023春•海珠区校级月考）（1）若A，化简A； （2）若a满足a2﹣a＝0，求A值． 【分析】（1）根据分式的乘除法法则可将原式化为，再化简即可． （2）由a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，得a＝0或a＝1，由二次根式有意义的条件可知a≠﹣2，1，所以将x＝0再代入a﹣2即可得答案． 【解答】解：（1）A ＝a﹣2； （2）∵a2﹣a＝a（a﹣1）＝0， ∴a＝0或a＝1， 而要使得A有意义，则a+2≠0，a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≠0，a﹣1≠0， ∴a≠﹣2，1， ∴a＝0， 将a＝0代入a﹣2，得A＝a﹣2＝0﹣2＝﹣2． 【点评】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将A化简求值． 题型七 分式乘除规律问题 解题技巧提炼 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题，最后利用分式的乘除法法则进行计算即可解答. 1．观察下面一列分式：，，，，… （1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？ （2）根据你发现的规律写出第n个分式． 【分析】（1）按要求分别进行计算，得到商都是； （2）先看分式的符号，第一个+，第二个﹣，依次可以看作（﹣1）n+1，分母的系数是1、2、4、8、都是2的幂；分母中x项，依次为x、x2、x3、x4…，得出第n个分式． 【解答】解：（1），（），，…， 发现：一个分式与它前一个分式的商，都是； （2）第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， … 第n个分式：． 【点评】本题考查了分式的定义、分式的除法和数字类的规律问题，分式的除法运算，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算，对于分式中的规律问题，分解为三个问题考虑：分式的符号、分子、分母；把各个规律结合在一起，得出结论即可． 2．现给一定分式：，，，，…（其中x，y均不为0）． （1）写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． （2）求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 【分析】（1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，于是这列分式中的第n个分式为（﹣1）n+1． （2）根据分式除法法则进行计算． 【解答】解：（1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负， 于是第n个分式为：（﹣1）n+1． 这列分式中的第7个分式为：， 第10个分式为：， 第16个分式为：， 第27个分式为：． （2）第2017个分式除以第2016个分式所得的商为：． 规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于； 【点评】本题考查了分式的运算．解答此题需要知道分式的乘法与除法运算法则．也考查了从特殊到一般的规律的探究． 3．给定下列分式：，，，，…（xy≠0）． （1）这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ （2）从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ （3）根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【分析】（1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【解答】解：（1）这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）∵，（）， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）第10个分式是． 【点评】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． 4．（2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 【分析】找规律后计算求解． 【解答】解：（1）（）． 发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为： （2）根据题意，第六个分式为：． （3）该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是y2n+1，分母是xn． ∴第n个分式为：（﹣1）n+1•． ∴（﹣1）n+1•（﹣1）n+2． 【点评】本题考查从一般到特殊找规律及分式除法．观察之后找到规律是求解本题的关键． 题型八 分式乘除的实际问题 解题技巧提炼 根据实际问题中的数量关系，列出算式，然后利用分式的乘除运算法则进行计算. 1．大拖拉机n天耕地a公顷，小拖拉机m天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求出大拖拉机和小拖拉机的工作效率，再进行相除，即可得出答案． 【解答】解：∵大拖拉机n天耕地a公顷， ∴大拖拉机的工作效率是， ∵小拖拉机m天耕地b公顷， ∴小拖拉机的工作效率是， ∴大拖机的工作效率是小拖机的工作效率倍． 故选：A． 【点评】此题考查了列代数式，用到的知识点是工作效率＝工作总量÷工作时间，解题的关键是分别求出大拖拉机和小拖拉机的工作效率． 2．（2024秋•厦门期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的　 　倍． 【分析】首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【解答】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为：． 【点评】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量÷天数＝每一天的用水量是解决问题的关键． 3．由甲地到乙地的一条铁路全程为vkm，火车全程运行时间为ah；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为bh．那么火车的速度是汽车速度的多少倍？ 【分析】根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，即可得出所求． 【解答】解：火车速度为km/h，汽车速度为km/h， 则火车速度是汽车速度的倍数为•． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2024春•长安区月考）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？ 【分析】根据题意，分别表示出甲工程队修900m所用时间和乙工程队修600m所用时间，再作两时间的比值即可求解． 【解答】解：甲工程队修900m所用时间为，乙工程队修600m所用时间为， 由题意可得： ， ∴甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍． 【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的乘除法运算，读懂题目，根据题意能列出分式是解题的关键． 5．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：0， 则乙筐水果价格低； （2）根据题意得：•． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024秋•新泰市期中）果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重（m﹣2）2kg，西瓜重（m2﹣4）kg，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元． （1）请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价； （2）凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？ 【分析】（1）根据钱数除去千克数求出各自的单价即可； （2）由凤梨的单价除以西瓜的单价即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：凤梨的单价为元；西瓜的单价为元； （2）根据题意得：凤梨的单价是西瓜单价的倍数为•． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 【分析】根据题意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根据完全平方公式求出a+b、ab，根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7， ∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48， ∴ab＝12， ∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b） ＝14． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 8．（2024秋•滦州市期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，当两块试验田的小麦都收获了7500千克． （1）“丰收1号”的单位面积产量　 　千克/米2，“丰收2号”的单位面积产量　 　千克/米2； （2）单位面积产量高的是　 　（填“丰收1号”或“丰收2号”）； （3）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.02倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【分析】（1）用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； （2）根据a＞1，并利用不等式的性质作出比较； （3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值． 【解答】解：（1）“丰收1号”小麦的试验田的面积为（a2﹣1）平方米， ∴“丰收1号”单位面积产量为（千克/米2）； “丰收2号”单位面积为（a﹣1）2平方米， ∴“丰收2号”单位面积产量为（千克/米2）； 故答案为：；； （2）∵a＞1， ∴a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）＞0，（a﹣1）2＞0， ∴a+1＞a﹣1， ∴a2﹣1＞（a﹣1）2， ∴， 即“丰收2号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：丰收2号； （3）根据题意，得：1.02， 得：a＝101， 经检验：a＝101是原方程的解且符合题意， ∴a的值是101， ∴a﹣1＝100， 答：“丰收2号”小麦的试验田的边长为100米． 【点评】本题考查分式的混合运算，列代数式，根据题意列出列代数式是解题关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$