21.4 一次函数的应用（第1课时）-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(冀教版)

21.4 一次函数的应用 第1课时 课题 一次函数的应用 课型 新授课 教学内容 教材第99-102页的内容 教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 3.经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识，发展函数的模型观念. 教学重难点 教学重点：经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识. 教学难点：学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 老师：根据前面我学习的一次函数的知识，做一做下面这些题目： 1.一次函数表达式的形式为 ，当b=0时，一次函数的形式变为 ，也就是正比例函数. 2.已知一个正比例函数的图像经过点（2，-1），则这个正比例函数的表达式为 . 3.中国航天邮票每套50元，如果买这种邮票x套，共花去y元，那么y与x之间的函数关系式为 . 4.一棵杞柳树苗的高为30厘米，在生长期间，每月长高20厘米，试写出杞柳的高度y(厘米)与月份x之间的函数关系式 ,半年后杞柳的高度是 . 老师：大家再回忆一下上面的第3题和第4题，都是利用一次函数解决实际问题的题目.实际上，利用一次函数这一数学模型，可以解决许多与其相关的实际问题和数学自身的问题，我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【试着做做】 某公司与销售人员签订了这样的工作合同：工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品，奖励工资10元. 1.设某销售员月销售产品x件，他应得的工资记为y元.求y与x之间的函数关系式. 2.用求出的函数关系式，尝试解决下列问题： （1）该销售员某月的工资为4100元，他这个月销售了多少件产品？ （2）要想使月工资超过4500元，该月的销售量应当超过多少件？ 【师生互动】 老师：销售人员的工资组成是怎样的？用数量关系表示一下. 学生：工资=基本工资+奖励工资. 老师：基本工资是多少？奖励工资怎么算？ 学生：基本工资是3000元，奖励工资是销售的产品数量×10元. 老师：如果销售了x件产品，那么奖励工资是多少？ 学生：奖励工资是10x元. 老师追问：那么工资是多少？ 学生：工资是（3000+10x）元. 老师：试着自己写一下y与x之间的函数关系式吧. 学生：y=3000+10x. 老师：根据函数关系式，该销售员某月的工资为4100元，要求他这个月销售了多少件产品，如何求？ 学生：当y=4100时，求x的值. 老师：“工资超过4500元”是什么意思？ 学生：就是y>4500. 老师：那如何计算销售量呢？ 学生：列不等式，3000+10x>4500. 老师：很好，自己试着做一下吧. 在上面的问题中，销售员的月工资数y(元)与他当月销售产品数x(件)之间的函数关系式为y=10x+3000. 当销售员的月工资为4100元时，有4100=10x+3000,解得x=110. 要想使月工资超过4500元，只要使10x+300>4500即可,解得x>150. 【一起探究】如图21-4-1，某种称量体重的台秤，最大称量是150kg.称重时，体重x（kg）与指针按顺时针方向转过的角y（°）有如下一些对应数值： （1）请你在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图像. （2）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。 （3）当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ 【师生互动】 老师：画函数图像的一般步骤有哪些？ 学生：列表、描点、连线. 老师：好，同学们自己按照课本上提供的数据画一画. 老师：好了，大家看一下老师画的图像，图像是一个什么形状啊？ 学生：是一条直线. 老师：很好，再仔细看一下，这条直线过原点吗？ 学生：经过原点. 老师：很对，这是我们学过的什么函数的图像啊？ 学生：正比例函数. 老师：那我们设出它的函数表达式，代入一组数值求出它的函数表达式，然后小组内讨论一下，求出的函数表达式是不是一样的？ 老师：好了，大家都做完了吧，老师求出来的函数表达式是，是不是这样的啊？ 学生：还需要标准自变量的范围. 老师：啊，你们真聪明，自变量的取值范围是多少呢？ 学生：0≤x≤150. 老师：当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？ 学生：…… 老师：当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ 学生：…… 由这些对应值画出的函数图像，如图21-4-2所示. 由表格给出的数据可以看出，体重为0 kg时，台秤指针指向0"，每增加5 kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°，所以y是x的正比例. 根据条件可得. 当y=180时，，解得x=75. 当x=50时，. 即当体重为75 kg时，台秤的指针恰好转到180°的位置；当体重为50 kg时，台秤的指针转过的角度是120°. 3.随堂训练，巩固新知 1.某水库在春季播种前，向下游灌溉区开闸放水.放水量V（m3）与放水时间t(min)之间有如下对应数据： (1)求放水量V(m3)与放水时间t(min)之间的函数关系式. (2)求放水24 h的放水量. 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说V与t是什么函数关系？ （2）如何找出V与t之间的函数关系？ （3）求放水24 h的放水量，如何求？ 2.某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的印数不少于5千册时，该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为一次函数关系，并有下表中的对应值: (1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式. (2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册？ 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说y与x是什么函数关系？ （2）如何求y与x之间的函数关系式？ （3）当出版社投入成本4.1万元时，求能印该书多少千册，如何求？ 4.布置作业 1.课本P101习题A组第1，2，3题. 2.课本P101习题B组. 根据前面学习的一次函数的知识给出题目，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 首先应让学生就所述情境涉及的数量及数量关系作深入分析，然后再去完成“试着做做”中提出的问题. 函数是刻画两个变量之间的对应关系的，这是现实中极为普遍的一种数量关系的抽象，因而有着广泛的应用. 应用一次函数解决实际问题的基本过程是: (1)根据问题情境的数量关系建立相应的一次函数表达式；(2)利用一次函数的相关性质解决需要解决的问题. 显然完成(1)是最为关键的一步.而要得到一次函数的表达式，可通过直接列式，也可以借助待定系数法. “一次函数的应用”这节课的教学重点，就是要使学生把握如何地落实好以上两个过程. “一起探究”重要的是，感悟到体重与指针转过的角度具有函数关系，且由“匀速”变化，推测出具有一次函数关系. 一次函数是对于自变量为“匀速”变化的函数，其反映的实际问题不仅大量存在，并且和我们的生活与生产密切相关，这决定了一次函数有着广泛的应用. 当有了函数的表达式之后，要求某一函数值对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程;要求函数值大于(或小于)某确定的值时自变量的取值范围，就是解这些函数值所对应的自变量的不等式. 在学习本节内容与解决方法的基础上，应引导学生体会函数、方程、不等式之间的关系. 在许多情况下，函数反映的是某个过程中两个变量之间的对应关系，而方程反映的是这个过程中某一特定值(即刻)之间的对应；不等式反映的是这个过程中某一段落(区间)两个量之间的对应. 解答一次函数的应用问题时，当写表达式时，首先需要关注的是“匀速”变化这个点. 解答实际情景函数图像的信息 （1）根据题意先求出表达式. （2）结合函数图像，转化为数学问题. （3）利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”. （4）解决问题，检验结果. 一次函数表达式确定后，由自变量的值求其对应的函数值，就是“求代数式的值”;由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程. 板书设计 21.4 一次函数的应用 解答实际情景函数图像的信息 1.根据题意先求出表达式. 2.结合函数图像，转化为数学问题. 3.利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”. 4.解决问题，检验结果. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $$