21.3 用待定系数法确定一次函数表达式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(冀教版)

21.3 用待定系数法确定一次函数表达式 课题 用待定系数法确定一次函数表达式 课型 新授课 教学内容 教材第96-98页的内容 教学目标 1.了解通过坐标系里两点的坐标，可以确定过这两点的直线所对应的一次函数关系式. 2.会用待定系数法求一次函数的表达式. 教学重难点 教学重点：会用待定系数法求一次函数的表达式. 教学难点：能根据实际问题抽象一次函数，并写出对应的函数表达式. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 通过直接列式可以求一次函数的表达式.当然，还有其他的方法求一次函数的表达式.本节将探究用待定系数的方法来求一次函数的表达式. 【提出问题】 在图21-3-1中，直线PQ上两点的坐标分别为P(-20，5)，Q(10，20).怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 老师：一次函数的图像是一条直线，根据P，Q两点能不能确定一次函数的表达式？ 学生：能，过两点有且只有一条直线. 老师：根据函数图像，我们能不能直接写出b的值呢？ 学生：一次函数的图像与y轴交于（0，b）点，b的值是15. 老师：你能确定吗？不是14.9吗？或者15.1？ 学生：好像不能直接看出来. 老师：那么k的值呢？ 学生：也不能直接看出来. 老师：那我们该如何求出这个一次函数的表达式呢？我们一起来看看小惠的解答过程吧. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 阅读下面小惠对此问题的解答过程，并验证小惠求得的一次函数表达式是否正确. 小惠的解答过程如下： 设这个一次函数的表达式为. 因为P，Q为直线上两点，所以这两个点的坐标都满足表达式，即 解这个关于k和b的二元一次方程组，得 所以这个一次函数的表达式为. 老师：你认为上面的解答过程合理吗？ 老师：小惠求出的b是15，根据图像看也是15，画图准确性重要不重要啊？ 老师：你们还有什么方法求出k的值吗？ 【课堂小结】像这样先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 【做一做】 1.已知A（-20,5）为正比例函数y=kx图像上的一点，求这个正比例函数的表达式. 老师：我们先看一下函数表达式，y=kx中有几个未知数？ 学生：只有一个未知数k. 老师：只给出图像上的一个点A（-20,5），能求出这个正比例函数的表达式吗？ 学生：把x=-20,y=5代入函数表达式求出k的值. 老师：试着自己列方程，解一下吧. 学生：…… 2.已知一个一次函数的图像经过点M（0,1）和N（1,0），求这个一次函数的表达式. 老师：一次函数的表达式，我们可以怎么设？ 学生：设一次函数的表达式为y=kx+b. 老师：很好，那么我们可以利用什么条件列方程呢？ 学生：图像经过点M（0,1）和N（1,0）. 老师：很对，图像上的点都适合一次函数表达式，自己试着列一下方程组吧. 老师：大家都做完了吗？我们一起来做一下吧. 【例题讲解】 【例】一辆汽车匀速行驶，当行驶了20 km时，油箱剩余58.4L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义. 【思路分析】 （1）一次函数的表达式，我们可以怎么设？ （2）根据题意，可以看作哪两个点在函数图像上？ （3）根据实际，汽车行驶路程x越大，剩余油量y越大还是越小？据此我们可以判断，k的值应该大于0还是小于0？ （4）如何求解函数自变量的取值范围？需要注意什么？ （5）常数项的意义是什么？ 【规范解答】 解：设一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意，把已知的两组对应值（20,58.4）和（50,56）代入y=kx+b，得 解得 这个一次函数表达式为y=-0.08x+60. 因为剩余油量y≥0，所以-0.08x+60≥0，解得x≤750. 因为路程x≥0，所以0≤x≤750. 因为当x=0时，y=60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L. 【大家谈谈】 用待定系数法求一次函数表达式的步骤有哪些？与同学交流你的看法. 【课堂小结】 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b. （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组. （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 3.随堂训练，巩固新知 1.一次函数的图像经过点A（1,2）和点B（-2,1），求这个函数的表达式. 【解题思路】 （1）如何设一次函数的表达式？ （2）如何列方程组求出k和b的值？ 2.某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用.场地费b（元）是固定不变的.耗材费用与参赛人数x（人）成正比例函数关系.这两部分的总费用为y（元）.已知当x=20时，y=1600；当x=30时，y=2000. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 【解题思路】 （1）本题中的数量关系是什么？总费用有哪两部分组成？ （2）耗材费用与参赛人数之间的函数表达式可以如何表示？ （3）y与x之间的函数表达式可以如何表示？ （4）求一次函数表达式时，可以使用的点的坐标是哪两个？ （5）当支出总费用为3200元时，如何计算有多少人参加了比赛？ 4.布置作业 1.课本P98习题A组第1，2，3题. 2.课本P98习题B组. 首先提出问题——如何求解一次函数的表达式，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数表达式的求解.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 一次函数y=kx+b与坐标系里不平行于坐标轴的直线(即该函数的图像)是一一对应的;当坐标系里一条与坐标轴不平行的直线上两点的坐标,满足某一关系式y=kx+b时,则该直线上所有点的坐标，也一定都满足这一关系式. “观察与思考”这一活动的目的是让学生感悟用待定系数法求一次函数表达式的合理性. 求k的值还可以从以下角度思考：横坐标每增加1个单位长度，纵坐标增加几个单位长度，k的值就是几，这属于拓展内容，不用要求所有同学都掌握. “做一做”的目的是让学生自己试着使用待定系数法，来求出一次函数的关系式. 正比例函数属于特殊的一次函数，求正比例函数的表达式，只需要一个点的坐标就可以了. 回忆一次函数的图像及作法,指出每一个一次函数的图像都是直角坐标系里的一条不与坐标轴平行的直线，且不同的一次函数，它们的图像也不相同;反过来，坐标系里每一条不与坐标轴平行的直线,也必然是某一个一次函数的图像.这层意思,可由教师以学生易于理解的方式扼要说明. 在实际问题中，整理已知条件非常重要.本题中，找出一次函数上的两个点显得尤为重要，老师在授课过程中要积极引导学生整理已知条件. 在授课时，要引导学生认识:用待定系数法求一次函数表达式，不管条件是以什么形式给出的,都必须满足:(1)能确定要求的函数是一次函数,(2)知道该函数的两组对应值. 解决求一次函数的表达式问题时，可先引导学生思考: (1)若该直线是某一个一次函数的图像，那么这个函数的表达式的基本形式应当是怎样的? (2)怎样由直线上已知的两点的坐标,求出对应的一次函数中k和b的值呢?(想方程) 1.. 2.(1)y=40x+800. (2)40x+800=3200, 解得x=60. 因此，有60人参加了比赛. 通过解题思路引导学生自己发现解题步骤，并正确解答，可以通过组内讨论写出正确的解题步骤. 板书设计 21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式 先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b. （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组. （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $$