20.3 函数的表示-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(冀教版)

20.3 函数的表示 课题 函数的表示 课型 新授课 教学内容 教材第69-73页的内容 教学目标 1.通过实例,进一步了解函数关系的三种表示方法. 2.了解函数各种表示方法的特点，能选择适当的方法表示实际问题中的函数关系，发展符号感. 3.体会并认识函数关系的三种表示方法的关系,初步体会数形结合的思想方法. 教学重难点 教学重点：函数图像的画法. 教学难点：理解三种函数表示形式之间的联系. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 【师生互动】 老师：同学们，还记得我们在“函数”这一节学过，表示函数有哪几种方法吗？ 学生：记得，有数值表、图像和表达式三种方法. 老师：针对问题（1），选择哪种方法最合适？ 学生：图像法. 老师：针对问题（2）中的不同情境，我们应该选择哪种方法？ 学生：…… 2.类比探究，学习新知 函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问题情境，帮助我们分析和解决问题. 我们知道，用表达式、图形和表格等都可以表示两个变量之间的函数关系.现在，我们对这些表示方法作进一步的探究. 声音在空气中传播的速度(简称声速)与气温之间具有函数关系.某研究者通过实验得到了如下一组关于气温x与声速y对应的数值： 【师生互动】 老师：上面表示的是哪两个变量之间的函数关系？ 学生：气温x与声速y的函数关系. 老师：哪个是自变量？ 学生：气温x是自变量. 老师：这是用什么方法表示的两个变量之间的函数关系？ 学生：数值表法. 老师：根据上面的表格你能直接说出x=-5时的声速吗？ 学生：328.36 m/s. 【做一做】 老师：我们按照下面的要求，自己画一画： 以横轴表示气温，每5°C为一个单位长度，纵轴表示声速，每100 m/s为一个单位长度，建立直角坐标系以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标和纵坐标. 老师：坐标系画好了吗？继续下面的步骤： 在直角坐标系中描点. 老师：点描完了吗？我们进行最后一步： 连线(用平滑的曲线连点)，画出图形. 老师：同学们，都画好了吗？看一下老师画的吧. 老师：大家看一下，这个函数的图像是不是一条直线啊？ 学生1：是. 学生2：不是. 老师：好，我们看一下表格中的数据，从-10℃到-5℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：328.36-325.36=3（m/s）. 老师：再看一下从-5℃到0℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：331.36-328.36=3（m/s）. 老师：自己仔细看一下，气温每升高5℃，对应的声速是不是增加3 m/s？ 学生：是的. 老师：根据这个特点，结合画出的图像，试着自己写一写声速y(m/s)和气温x(°C)之间的函数关系式. 老师：好了，大家一起来看一下，函数关系式能不能表示声速y(m/s)和气温x(°C)之间的函数关系？ 学生：能. 老师：好，我们一起看一下课本上的内容. 通过上面的“做一做”，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表表示，也可以用图20-3-1中的图像表示，还可以用函数表达式来表示. 数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像(image). 如图20-3-1中的图形就是函数的图像. 观察可知，函数的图像为一条直线. 【大家谈谈】 由函数的数值表、图像和表达式三种方法给出的函数关系各有怎样的特点？ 老师：我们先来看一下数值表，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的数值表： 老师：根据这个数值表，你能不能直接说出10℃时对应的声速？ 学生：能，337.36m/s. 老师：那12℃时对应的声速呢？ 学生：不知道. 老师：好，我们总结一下数值表的优缺点吧. 优点:具有很强的操作性,数据很具体,便于作深入的统计分析,对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便. 缺点:它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出,而且从表中看不出变量间的对应规律. 老师：好，下面我们继续看一下图像，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数图像： 老师：根据画出的图像，你能不能判断，随着气温的升高，声速的变化规律？ 学生：能，随着气温的升高，声速越来越快. 老师：你能直接说出气温是12℃时的声速吗？ 学生：不能. 老师：好，我们总结一下图像法的优缺点吧. 优点:能形象直观地显示出函数的变化规律,把抽象的函数概念形象化,为研究函数的性质提供方便. 缺点:所画的图像是近似的、局部的,从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. 老师：下面我们继续看一下表达式，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数表达式：.根据这个表达式，你能直接说出10℃是的声速吗？ 学生：不能. 老师：你能算出12℃时的声速吗？ 学生：可以.把x=12代入表达式就可以算出来. 老师：好，我们总结一下表达式法的优缺点吧. 优点:简单明了,能从解析式中清楚地看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算. 缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算. 老师：好了，我们一起看下面这个例题. 例 在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像. 解:(1)取值. 根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表: (2)描点. 根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点. (3)连线. 用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图像，如图20-3-2. 老师：同学们，根据上面的做法，自己试着画一画吧. 3.随堂训练，巩固新知 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x，显示的结果为y，程序如图20-3-3所示. (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (2)根据函数关系式，填写表格: (3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像. 4.布置作业 1.课本P71练习第1题和第2题. 2.课本P71习题A组第1，2，3题. 3.课本P72习题B组第1，2题. 引入生活中常见的实际问题，结合之前学过的表示函数的方法，讨论选择合适的表示方法，引出本节课所要讲的函数表示的问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上，引出本节课的知识. 这是用数值表的形式来表达声速y与气温x之间的函数关系. 在前面学习的函数知识的基础上,探索把数值表表示的函数关系用图像和表达式来表示. 通过对函数关系表示方法的进一步研究,使学生加深对函数概念的理解,认识到三种表示方法能使数和形统一起来,三者各有特点,有时又可互相转换. 对“做一做”的内容，应根据学生不同的基础,给学生提供探索的空间,视探索进程进行适当地引导,在学生画出函数图像后,引导学生归纳、体会图像表示函数关系的特点. 给出问题背景中的数据后,让学生尝试完成以下任务: (1)除用数值表表示这个函数外,还可以用哪些形式表示这个函数关系? (2)气温每升高(或降低)1 °C,对应的声速增加(或降低)多少?当x=0时,y的值是多少?如何用表达式表示声速y与气温x之间的关系? (3)如何求气温为-4 °C,28 °C时声速y的值?引导或组织学生进行合作交流,教师作适当的引导. 充分调动学生学习的积极性，展开思考和交流活动,引导学生归纳三种函数表示方法的特点，明确由表达式画函数图像的方法、步骤. 例题是在前面学习、分析函数三种表示方法的特点的基础上,进一步学习用图像表示函数的方法. 画图像的三个主要步骤： （1）取值. （2）描点. （3）连线. 通过学生的探究和交流,用表达式、数值表、图像表示问题中的函数关系. （1）（x≥0）. （2） 板书设计 20.3 函数的表示 数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $$