20.1 常量和变量-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(冀教版)

第二十章 函 数 章 节 备 课 第二十章 本章所需课时数 6课时 课标要求 1.了解常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,进一步发展学生的抽象思维和符号感. 2.了解变量和常量的意义、函数的概念能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值. 3.了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系. 4.能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析. 教材分析 本章的主要内容是,在实际问题中认识变量和常量,通过实例分析建立函数模型,确定函数自变量的取值范围,研究函数的表示方法,函数模型的简单应用，以及以变化的观点对两个量之间的关系作进一步研究.函数概念是学习一次函数、反比例函数和二次函数等内容的基础,它所体现的模型化思想沟通了许多数学内容之间的联系,为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效的途径. 主要内容 1.突出函数在现实生活中的广泛应用,在“常量和变量”“函数”“函数的表示”等内容的学习中,通过大量的具体实例让学生来认识和理解这些概念,激发学生的学习兴趣.通过“观察与思考”“一起探究”“大家谈谈”等学习活动,让学生参与到知识的形成过程中,充分认识和体会函数的概念,发展学生的发现问题、提出问题、解决问题的能力,使学生感受“函数思想”,积累数学活动经验. 2.在问题引入过程中,将问题用表格、图像、柱状图等形式表述,使学生体会实际问题表述的多样化,通过学生的探究、交流,理解现实问题的数学本质,逐步积累从事数学活动的经验,感悟归纳、概括等数学思想. 3.通过开放问题的设置,激发学生发散思维,从多个角度领会用数学知识解决问题的作用. 4.使学生经历问题的解决的过程,让学生体会函数自变量与函数值的对应关系,体会函数概念的本质. 5.在“函数的表示”一节中，不仅体现了函数的三种表示方法，还特别关注了函数的三种表示方法之间的关系. 教学目标 1.让学生经历常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感. 2.通过实例,让学生了解变量和常量的意义、函数的概念;能举出现实生活中具有函数关系的例子,并能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值;了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系. 3.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量的变化规律进行预测,并能解决--些简单的问题. 4.让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,体会数学的价值,增强学生学习数学的信心. 课时分配 20.1 常量与变量 1课时 20.2 函数 2课时 20.3 函数的表示 1课时 20.4 函数的初步应用 1课时 回顾与反思 1课时 教与学建议 1.让学生充分经历建立函数模型的过程.函数模型的建立需要经历对实际情境的理解，变量之间关系的探究,问题本质的抽象,共同本质的概括等一系列过程,这是对实际情境亲身感受的积累、提炼与升华.应让学生在教科书设计的活动中去亲身体验和理解两个变量间的对应关系.在教学中，根据实际需要,可以对前面的实例进行分析,也可以再补充一些实例,但不要把问题作为概念的引例直接讲授,不要让学生去机械记忆概念. 2.教师在组织教学活动的过程中,应充分发扬民主，为学生提供自主学习及探索的空间与时间.在建立变量与常量、函数的概念时,应让学生结合具体实例进行辨析,加深对概念的理解,促使学生在课堂上积极思考、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知,提高数学思考的能力. 3.注意知识间的前后联系.函数关系及三种表示方法,在前面的教学中已有渗透和体现，在教学中应注意与前面知识的联系.对于今后相关函数的学习,本章知识作了必要的知识思想和方法的铺垫,函数关系的分析,图像的研究,函数模型的建立等都是将来学习的基础,在本章教学中应给予关注. 20.1 常量和变量 课题 常量和变量 课型 新授课 教学内容 教材第60-62页的内容 教学目标 1.通过实例，让学生了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 2.通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义. 3.发展学生的抽象思维和符号意识. 教学重难点 教学重点：了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 教学难点：通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？我们一起来看下面的问题： （1）一列高速行驶的动车，速度为280千米/时，它行驶的路程与时间有什么关系呢？ （2）一个文具盒15元，购买的文具盒的数量和总价有什么关系呢？ 【师生活动】 老师：我们先看第（1）个问题，还记得路程、时间、速度的数量关系吗？ 学生：路程=速度×时间. 教师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：速度是固定不变的. 老师：1小时动车能跑多少千米？2小时呢？ 学生：1小时动车能跑280千米，2小时跑560千米. 老师：回答的很好.我们再来看第（2）个问题，还记得总价、数量、单价的数量关系吗？ 学生：总价=单价×数量. 老师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：单价是固定不变的. 老师：购买2个文具盒多少钱？4个呢？ 学生：购买2个文具盒30元钱，购买4个60元钱. 老师：好了，同学们，数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．本节课我们就来研究一下数学问题中常量和变量． 2.类比探究，学习新知 在实际生活中，人们常需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程，这会涉及一些量，其中，一些量是不变的，一些量是变化的. 我们知道，在一个匀速运动过程中,路程=速度×时间. 这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢？ 我们一起来进行下面的探究. 【一起探究】 1.小明在上学的途中，骑自行车的平均速度为300 m/min. （1）填写下表: (2)在这个问题中，哪些量是不变的，哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：小明上学的过程可以看作一个匀速运动的过程吗？ 学生：可以. 老师：速度、时间、路程的关系是什么来？ 学生：路程=速度×时间. 老师：骑自行车的平均速度为300 m/min，按照数量关系填一下表格吧. 学生：填好了. 老师：好，我们再回顾一下这个问题.在这个问题中，有哪些量？ 学生：速度、时间、路程三个量. 老师：哪些量是不变的？ 学生：速度是不变的. 老师：那哪些量是变化的呢？ 学生：时间和路程是变化的. 老师：同学们回答的很对.那你们知道变化的量之间存在着怎样的关系吗？ 学生：路程=30×时间. 老师：回答的很好.我们用字母表示就是s=300t. 老师：我们接着看下面一道题目. 2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元，计划从今年开始逐年增加收入3500万元. 在这个问题中，一共有几个量？其中哪些量是不变的，哪些量是变化的？变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：这个问题中，一共有几个量啊？ 学生：一共有四个量. 老师：哪四个量呢？ 学生：去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收人. 老师：去年的总收入是变化的量吗？ 学生：不是变化的量. 老师：还有不变的量吗？ 学生：还有，以后每年增加的收入也是不变的量. 老师：那变化的量有哪些？ 学生：第几年和第几年的总收入都是变化的量. 老师：变化的量之间存在着怎样的关系？ 学生：第几年的总收入=去年的总收入+几×每年增加的收入. 老师：回答的很好，如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年，用W表示第n年的总收入，试着写一写它们之间的关系吧. 学生：W=25000+3500n. 老师：回答的非常对. 老师：类似地，请你再举出两个实际问题的例子，并分别说明它们各含有几个不同的量，其中哪些量是不变的，哪些量是变化的.试着跟同桌一起说一说. 【课堂小结】 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量(variable)，而数值保持不变的量叫做常量(constant). 【大家谈谈】 根据上面大家自己举出的两个例子，说一说这两个例子中常量和变量. 3.随堂训练，巩固新知 在下列各问题中，分别各有几个量，其中哪些量是常量，哪些量是变量？这些量之间具有怎样的关系？ (1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票，票房收入为y元. (2)一台小型台秤最大称重为6 kg，每添加0.1 kg重物，指针就转动6°的角.添加重物质量为m kg时，指针转动的角度为α. (3)用10 m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小，长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化. 【师生互动】 老师：在第（1）个问题中，有几个量？ 学生：有三个量. 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：10元是常量，x张和y元是变量. 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：y=10x. 老师：在第（2）个问题中，有几个量？ 学生：…… 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：…… 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：…… 老师：在第（3）个问题中，有几个量？ 学生：…… 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：…… 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：…… 4.布置作业 1.课本P62练习第1题和第2题. 2.课本P62习题A组第1，2，3题. 3.课本P62习题B组第1，2题. 引入生活中的实际问题，联想小学知识：路程=速度×时间、总价=单价×数量，此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过生活中的动车运动、购物问题，变换动车的运动时间、购买的数量，让学生直观感受变量和常亮的存在. 通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,变量之间存在一定的关系. 本节课是用变化的观点研究数量,重点是认识在变化过程中,常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列,让学生充分体会其中的变量和常量. 对于“一起探究”中的问题1,可按下列问题展开分析: (1)小明行驶5 min时，自行车的行驶速度是多少?行驶路程是多少?10 min时呢?60 min时呢? (2)自行车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化?若不变,它们对应的数值是多少?若变化,是怎样变化的? (3)行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系，它们之间具有怎样的关系? 对于“一起探究”中的问题2,是以学生已经学习过的条形统计图呈现的,学习过程可设计以下环节进行: (1)先让学生结合问题情境,独立思考、探索条形统计图所蕴含的信息. (2)组织同学间互动、交流、研讨,扩充获得的信息. (3)整合获得的信息,将信息归纳为几个量,这些量哪些是变化的,哪些是不变的? (4)这些量之间具有怎样的关系? “一起探究"中的问题3和“大家谈谈”是开放性问题,应给学生充分思考、交流的时间,尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例,进一步让学生了解常量与变量,激发学生的发散思维. 通过实例，加深对常量、变量以及量与量之间关系的初步认识. (1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x. (2)有五个量,6 kg, 0.1 kg和6°是常量,m kg和α是变量,α=60m(m≤6). (3)有三个量,10 m是常量,x和S是变量，S=x(5-x). 板书设计 20.1 常量和变量 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量(variable)，而数值保持不变的量叫做常量(constant). 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $$