1.1 第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(北师大版)

1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形 课题 第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P5-7 教学目标 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段； ②进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观目标 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲； ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 教学重难点 重点：熟练推导等腰三角形中相等的线段，理解等边三角形的性质 难点：灵活利用等腰三角形的性质解决问题，规范证明过程. 教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 下面是我们日常生活中经常能见到的事物，观察下面图形：（课件播放） 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师提问：1.等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 2.回忆一下，怎样的三角形叫做等边三角形？ （板书课题：第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形） 通过生活中的具体图片，激发学生学习兴趣，引出等边三角形的概念，为后续研究等边三角形的性质作铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究1】探索等腰三角形中的相等线段 在回顾等腰三角形的性质的基础上，提出问题： 等腰三角形中除了“三线”之外还有一些角平分线、中线、高等，在等腰三角形中画出它们，观察并比较它们的大小. 师生活动：观察在等腰三角形中作出的线段(如角平分线、中线、高等)，请找出其中有哪些相等的线段. 通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论. 【归纳总结】 通过作图观察，我们可以发现： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 【探究2】证明等腰三角形中的相等线段 教师提问：如何检验你认为相等的线段确实相等？尝试给出证明. 1.证明：等腰三角形两腰上的中线相等. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两腰上的中线相等.教师注意适时引导. 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的中线. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD和CE是△ABC的中线， ∴CD=AC， BE=AB ，即CD=BE. 在△BDC和△CEB中， ∵BC=CB，∠ABC=∠ACB ， CD=BE， ∴△BDC≌△CEB（ SAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等） 2.证明：等腰三角形两腰上的高相等. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两腰上的高相等.教师注意适时引导. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD和CE是△ABC的高， ∴∠BDC=∠CEB. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC=∠CEB，∠ABC=∠ACB，BC=CB， ∴△BDC≌△CEB（ AAS ）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 【探究3】等腰三角形中相等线段的拓展 教师提问：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？ 教师引导：由上可知把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢? 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC和AB上. 如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢？由此，你能得到一个什么结论? 教师点拨：在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB,所以∠ABD=∠ACE．那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似． 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明BD=CE.教师注意适时引导. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 又∵∠ABD=∠ABC, ∠ACE=∠ACB, ∴∠ABD=∠ACE． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC, ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 学生归纳：如果在△ABC中，AB=AC, ∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE． 教师追问：如果∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB呢？ 学生归纳：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立． 教师追问：如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论? 学生归纳：在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE． 教师追问：为什么等腰三角形有类似的性质？一般三角形有类似的性质吗？ 学生归纳：等腰三角形是轴对称图形. 【归纳结论】 1.在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立． 2.在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，就一定有BD=CE成立． 【教材例题】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等腰三角形两底角的平分线相等.教师注意适时引导. 已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB， ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 【探究4】等边三角形的性质 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC. 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等边三角形的性质.教师注意适时引导. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）. 又∵AC=BC， ∴∠A=∠B（等边对等角）. ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）. ∴∠A=∠B=∠C=60°. 【归纳总结】 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 回顾等腰三角形的性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容。同时让学生让学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的. 通过此探究检验学生的掌握情况，锻炼学生的思维能力和知识的整合能力。提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。 通过例题讲解，证明等腰三角形的的两底角的平分线相等的特殊性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过证明等边三角形的性质让学生进一步体会证明的必要性，牢记性质，并能灵活应用. 3.学以致用，应用新知 考点1 等腰三角形中的相等线段 例 在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( ) A. BC边上的高和中线互相重合 B. AB，AC边上的中线相等 C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等 D. AB，BC边上的高相等 答案：D 变式训练 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点，则BM，CM的数量关系是 . 答案：BM=CM 考点2 等边三角形的性质定理 例 如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 答案：B 变式训练 如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝4，则AD的长为 . 答案：4 通过例题讲解，巩固理解等腰三角形的性质。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用等腰三角形的性质解决相关计算。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 . 答案：3 2.如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E. 求证:DE=DF. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠BFD=∠CED=90°， 在△BDF和△CDE中， BD=DC，∠B=∠C， ∠BFD=∠CED， ∴△BDF≌△CDE（AAS），∴DE=DF. 3.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE； （2）求∠DFC的度数． 证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC． 又∵AE＝BD， ∴△AEC≌△BDA（SAS）． ∴AD＝CE. （2）∵△AEC≌△BDA， ∴∠ACE＝∠BAD， ∴∠DFC＝∠FAC+∠ACF＝∠FAC+∠BAD＝∠BAC＝60°． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 证明两个三角形全等的方法： 两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P4习题1.2中的T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质 一、全等三角形的判定 二、等腰三角形的性质 投影区 1性质 2.推论 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力． 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$