第二章 平面向量及其应用（知识归纳与题型突破）（28题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第二章 平面向量及其应用 知识归纳与题型突破（34题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.向量的相关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 知识点2.向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点3.向量的夹角 条件 两个非零向量a，b 产生过程 O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ≤π 记法 〈a，b〉 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝π a与b反向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b 知识点4.向量的加法 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 知识点5.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点6.向量的减法 定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 [注意]　对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 知识点7.数乘运算的定义 向量的数乘 定义 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 知识点8.数乘运算的运算律 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b 知识点9.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb． 知识点10.直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向 向量． 知识点11.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [注意]　(1)基底不唯一．当基底确定时，分解形式唯一． (2)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (3)设{e1，e2}是平面内一个基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝0时，a与e2共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0. (4)对于平面内任意一点O，使P，A，B三点共线的充要条件是：存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 知识点12.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 知识点13.平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [注意]　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点14.中点坐标公式 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，则 知识点15.平面向量平行的坐标表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 知识点16.向量的数量积 已知条件 两个非零向量a与b，它们的夹角为θ 定义 数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 [注意]　向量的数量积是两个向量之间的一种运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零． 知识点17.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|． (4)a·a＝|a|2或|a|＝＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 知识点18.向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展]　(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d. 知识点19.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点20.向量模的坐标表示 1．向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝． 在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)， 则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离． 2．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 3．向量a的单位向量的坐标表示 因为向量a的单位向量a0＝±， 若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝±＝． 知识点21.两向量夹角余弦的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝ (|a||b|≠0)． 知识点22.余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点23.余弦定理的推论 cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点24.解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 知识点25.余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形． [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 知识点26.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知两角和一边，解三角形． ②已知两边和其中一边的对角，解三角形． [提示]　(1)设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④＝＝＝. (2)判定三角形形状通常有两种途径：①通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 知识点27.三角形面积公式 S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． 知识点28.涉及有关角的术语 1．仰角与俯角 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角． 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比． 2.方位角与方向角 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角． 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)××度． 北偏东m °或东偏北90 °－m ° 知识点29.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝． 知识点30.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 03 题型归纳 题型1.向量的相关概念 例题： 下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 巩固训练1.下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 巩固训练2.下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 巩固训练3.下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 状元随笔　与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线． 题型2.向量的几何表示 例题： 下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 巩固训练1.已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案. 【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确. 故选：D 巩固训练2.如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 方法归纳 用有向线段表示向量的步骤 题型3.相等向量、共线向量与向量的夹角 例题： 下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 巩固训练1.下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 巩固训练2.以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 方法归纳 (1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量． 题型4.向量的加法运算 例题： 已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论. 【详解】因为，所以三点共线， 故选：A． 化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 方法归纳 向量加法运算律的应用原则及注意点 (1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的． 题型5.向量的加减运算 例题：化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加减运算法则化简即可. 【详解】. 故选：D 巩固训练1.化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】由向量的加减运算法则即可求解. 【详解】解：， 故选：A. 方法归纳 向量加、减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式＝(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题． 题型6.向量数乘的定义 例题：已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】向量数乘的有关计算、基底的概念及辨析 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 题型7.向量的线性运算 例题：如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由题意：. 故选：B 巩固训练1.在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 方法归纳 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 题型8.用已知向量表示相关向量 例题：如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .    【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解. 【详解】由已知，则. 故答案为： 巩固训练1.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【详解】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 方法归纳 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 题型9.向量共线的判定 例题：如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误， 故选：D. 巩固训练1.已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误. 故选：C. 题型10.证明三点共线 例题：已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【知识点】向量加法的运算律、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，. 因为A，C，D三点共线，所以共线， 则，使得， 即， 整理可得. 因为，不共线， 所以有，解得. 故选：D. 巩固训练1.已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】向量减法的运算律、向量数乘的有关计算、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 方法归纳 三点共线的证明问题及求解思路 1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． 2．若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 题型11.由三点共线求参数的值 例题：在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果. 【详解】由，得出， 由得 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 方法归纳 利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数． 题型12.对平面向量基本定理的理解 例题：如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 巩固训练1.如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 方法归纳 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样． 题型13.用基底表示平面向量 例题：在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 巩固训练1.在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量. 【详解】如图所示，在中， 因为为边上的中线， 所以为的中点， 所以由平行四边形法则有： ， 又点在上，且 所以， 所以 ， 故选：A. 状元随笔　利用基底可以将所有的向量放到同一个标准下，这样更容易看出多个向量之间的关系. 就本题而言，在解题时，只需紧盯着目标，不断地利用三点共线的性质定理进行转化，最后通过任一向量用基表示的唯一性，即若＝λ1＋μ1，且 ＝λ2＋μ2，则来构建方程(组)，使得问题获解． 方法归纳 用基表示向量的两种基本方法 用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解． 题型14.平面向量的坐标表示 例题：已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 巩固训练1.设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 方法归纳 在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同． 题型15.平面向量的坐标运算 例题：已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 方法归纳 1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． 2．利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解． 题型16.平面向量共线、垂直的坐标表示的应用 例题：已知点，，则下列向量与平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、用坐标表示平面向量 【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可. 【详解】由已知， 存在实数，使， 存在实数，使， 存在实数，使， 不存在实数，使， 故选：ABC. 巩固训练1.已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量坐标运算公式直接计算求解即可. 【详解】因为，， 所以， ， 因为， 所以， 即，所以. 故选：B 巩固训练2.已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【详解】因向量，，且， 于是得：，解得， 所以实数的值为2. 故选：C 方法归纳 根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路 借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可． 题型17.向量的夹角 例题：已知向量，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【解析】根据，，利用平面向量的线性运算和数量积运算逐项判断. 【详解】因为，， 所以，， 所以，故A正确； 因为，所以与不平行，故B错误； 又，故C正确； 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ACD 巩固训练1.已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量是 B． C．向量与向量的夹角为 D． 【答案】BD 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】先利用向量垂直坐标表示验证选项D，选项B利用平面向量模的公式计算即可，选项C利用向量夹角的坐标表示求解即可；选项A利用向量坐标求解投影向量即可. 【详解】对于D，因为，所以， 所以，故D正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又，则，故C错误； 对于A，在方向上的投影向量为，故A错误. 故选：BD. 方法归纳 根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos θ＝，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<时，a·b>0且<1；当θ＝时，a·b＝0；当<θ<π时，a·b<0且>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|. 题型18.利用余弦定理解三角形---已知两边及一角解三角形 例题：在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用，可得为锐角，然后求出，根据三角形内角和定理，求出的值． 【详解】解：，，， 由正弦定理， 可得，， ，为锐角，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 巩固训练1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，可得，即. 故选：B 巩固训练2.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 方法归纳 1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． 2．已知两边及其夹角解三角形的方法 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 题型19.已知三角形三边及其关系 例题：已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数的取值范围. 【详解】显然边长x<x+1,所以只需和的对角均为锐角即可，由余弦定理得： ，解得：． 故选：A 【点睛】已知三边，判断是锐角三角形还是钝角三角形的方法： ①如果一个三角形的最长边平方=其他两边的平方和，这个三角形是直角三角形； ②如果一个三角形的最长边平方>其他两边的平方和，这个三角形是钝角三角形； ③如果一个三角形的最长边平方<其他两边的平方和，这个三角形是锐角三角形； ④特别地：如果一个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形，也是锐角三角形。 方法归纳 (1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择； (2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论． 题型20.判断三角形的形状 例题：在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 巩固训练1.在中，已知和，此时尚不足以确定的形状与大小.但是，只要再知道某些条件（例如：的长度），就可确定唯一的形状与大小，试选出正确的选项（    ） A．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 B．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 C．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 D．如果再知道的外接圆半径，就可确定唯一的形状与大小 【答案】AB 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理及辨析 【分析】利用余弦定理与二次方程的解可判断ABC选项，利用正弦定理可判断D选项. 【详解】设. 对于A选项，若确定的值，利用余弦定理可知能确定的长度，则可确定唯一的形状与大小，A选项满足条件； 对于B选项，由余弦定理可得， 整理可得，， 设方程的两根分别为、，则， 故方程只有唯一正根，即唯一确定，B选项满足条件； 对于C选项，由余弦定理可得， 整理可得， ，故为锐角，则， 当，设方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，， 即方程有两个不等的正根，此时的长不确定，C选项不满足条件； 对于D选项，因为，则为锐角， 若确定的外接圆半径，则角确定，但可为锐角，也可为钝角，故的形状和大小不确定，D选项不满足条件. 故选：AB. 方法归纳 利用余弦定理推断三角形形状时，采用角化边进行化简． 题型21.余弦定理与三角形面积公式的应用 例题：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由已知和面积求出，再由余弦定理求出. 【详解】因为A＝ ，b＝1，， 所以， 所以， 由余弦定理得， 所以， 故选：D. 【点睛】本题主要考查面积公式、余弦定理解三角形问题，要结合条件灵活转化已知之间的关系，从而达到解决问题的目的． 巩固训练1.记的内角的对边分别为，且，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得，， 因为，则 即， 因为的面积为，所以，即， 所以，即， 又因为， 代入化简得，， 则或（，舍去）， 故选：C 方法归纳 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式． 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个角的正弦值可求． 题型22.利用正弦定理解三角形---已知两角和任一边解三角形 例题：已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 解　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 巩固训练1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．，，，有两解 B．面积S满足，则 C．，，，则BC边上的高为 D．若，，则的值为 【答案】BCD 【知识点】余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】A由正弦定理判断三角形的解；B根据三角形面积公式、余弦定理整理化简得；C由余弦定理可得，进而求得，再求高；D应用正余弦边角关系整理化简已知等量关系求. 【详解】A：由，故无解，错； B：由，而，则， 即，，则，对； C：，故，即，而，则， 所以，故BC边上的高为，对； D：由，即， 所以，则，而， 所以，即的值为，对. 故选：BCD 方法归纳 已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边． 题型23.已知两边及其一边的对角解三角形 例题：在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用，可得为锐角，然后求出，根据三角形内角和定理，求出的值． 【详解】解：，，， 由正弦定理， 可得，， ，为锐角，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 巩固训练1.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 巩固训练2.在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】首先利用正弦定理求出的值，进一步求出的值，最后利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】在中，已知，，， 利用正弦定理得：，解得：，， ， 则：， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题. 巩固训练3.在中，已知，，且，则（    ） A． B． C．或 D．等 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得 ， 所以， 所以或. 故选：D 状元随笔　已知两边及一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．用正弦定理进行求解时，必须分情况讨论．利用余弦定理求解，就可避免分情况讨论． 方法归纳 已知两边及一边的对角解三角形时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理．利用正弦定理时，要先根据“大边对大角”对解的个数进行判断，再分别讨论．利用余弦定理时，可以得到关于某一条边长的一个一元二次方程，从而求得边长，再根据正弦定理和三角形内角和定理求得其他元素． 题型24.判断三角形的形状 例题：已知，，三点，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【答案】B 【知识点】向量在几何中的其他应用 【解析】由可判断出答案. 【详解】因为， 所以 为直角三角形 故选：B 巩固训练1.在中，，则的形状一定是（    ） A． 等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量的运算及数量积的运算法则可得，进而即得. 【详解】因为 ，即， 所以一定是直角三角形, 故选：C. 巩固训练2.已知，是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数量积的关系可得，进而得到，即可得出． 【详解】、是非零向量且满足，， ， ， ，． 是等边三角形， 故选：B 方法归纳 利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是：从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系，角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确判断． 题型25.正弦定理、余弦定理的综合应用----边角转化求值 例题：设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BD 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】利用正弦定理角化边结合余弦定理求出，再利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式转化为C的函数，结合锐角三角形求出C的范围求范围即可 【详解】由正弦定理得即 ，故B对，A错； 又 又锐角中解得 ，故 故选：BD 巩固训练1.在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．非等边三角形 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为，化，再通过三角恒等变形，即可得证. 【详解】由正弦定理知 (R为三角形外接圆的半径)， 故， 所以，即， 因为，所以, 所以，即．故为等腰三角形． 故选：B. 状元随笔　在与边角互化有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系求值． 题型26.范围与最值问题 例题：在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 巩固训练1.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，从而． 方法归纳 解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路，一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系，利用代数方法求解；二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系，利用三角中的方法求解． 题型27.在平面几何图形中的应用 例题：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积. 【详解】因为，所以. 设，则， 在中，由余弦定理可得，解得， 所以. 故答案为：. 巩固训练1.某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是 ． 【答案】4 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】画出图形，利用余弦定理即可求解. 【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示： 在中，千米，千米， 千米，， 由余弦定理得：，即， 解得：或（舍去）， 则x的值为4千米． 故答案为：4. 巩固训练2.如图，四边形中，已知对角线，且满足，． （1）求证：； （2）若△为锐角三角形，设四边形面积为，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【知识点】几何图形中的计算、三角形的面积公式 【分析】（1）利用已知条件及正弦定理及余弦定理证明得证； （2）由余弦定理得，由正弦定理得得解. 【详解】（1）设在△中， 先证明：， 由正弦定理及余弦定理得，需证明， 又， 即需证明， 即需证明， 由已知成立， ，， 或， 若，由三角形内角和定理得,， 由得，满足， 所以综上有； （2）设，， 由余弦定理（当且仅当时等号成立）. ， 设，， 因为△为锐角三角形，所以， 由正弦定理得， ， .， ，在单减，在单增， 在单增， . 状元随笔　题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解． 题型28.正、余弦定理在几何图形中的应用 例题：如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角的长方形木板，是直线段.木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时的长度为 m. 【答案】 【知识点】几何图形中的计算 【分析】根据题意，由，可得，由已知结合相似比求出，进一步可得的值． 【详解】解：如图所示，假设，则， 又由，，， 则有，即， 得，此时． 故答案为：2.4． 巩固训练1.如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长长为 ． 【答案】/ 【知识点】几何图形中的计算 【分析】利用相似三角形解方程计算即可. 【详解】如图，在等腰三角形ABC中， ，，取的角平分线交于点D， 则，， 则，且，设， 因为，即，解得（负值舍）， 则，正五角星的边长为． 故答案为： 巩固训练2.(多选题)已知O是四边形内一点，若，则下列结论错误的是（    ） A．四边形为正方形，点O是正方形的中心 B．四边形为一般四边形，点O是四边形的对角线交点 C．四边形为一般四边形，点O是四边形的外接圆的圆心 D．四边形为一般四边形，点O是四边形对边中点连线的交点 【答案】ABC 【知识点】向量在几何中的其他应用、平面向量共线定理证明点共线问题、向量加法法则的几何应用 【分析】对于A，由推不出四边形为正方形；对于BCD，设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则知，即O是EF的中点；同理，可知O是MN的中点，所以O是四边形对边中点连线的交点. 【详解】对于A，若四边形为正方形，点O是正方形的中心，则必有， 但反过来，由推不出四边形为正方形，故A错误； 对于BCD，如图所示，O是四边形内一点，且 设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则知，，，即O是EF的中点； 同理，设AD，BC的中点分别为M，N，由向量加法的平行四边形法则知，，即O是MN的中点； 所以O是EF，MN的交点，故BC错误，D正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查向量在几何图形中的应用，解题的关键是利用向量加法的平行四边形法则知O是EF的中点，同理O是MN的中点，考查学生的数形结合思想，属于一般题. 方法归纳 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程． 题型29.正、余弦定理与平面向量的结合应用 例题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式可得，再结合已知，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 而，所以. （2）由平分，得，而， 则，即，又， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以AD的最大值为. 巩固训练1.在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）本题首先可根据二倍角公式得出，然后再根据二倍角公式得出，通过计算得出或，最后根据即可得出结果； （2）本题首先可根据求出，然后根据解三角形面积公式即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以， 则，解得或， 因为，所以. （2）因为， 所以，即， ，，解得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查余弦定理解三角形以及三角形面积公式，考查计算能力，是中档题. 巩固训练2.在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【解析】（1）利用两角和、差的正弦公式化简求得的值，再由角为锐角可求得角的值； （2）利用为锐角三角形以及角的值可求得角的取值范围，利用三角形的面积公式与正弦定理可得出关于角的三角函数，由此可求得边的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以， 所以，因为为锐角，则，所以，； （2）因为是锐角三角形，所以，所以． 因为，所以． 在中，由正弦定理得，，则， 所以， 因为，所以，所以，所以，所以， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 方法归纳 当解三角形与平面向量综合时，往往只需利用平面向量的有关公式，就可把原问题转化为解三角形问题． 题型30.正、余弦定理在实际问题中的应用----　测量距离问题 例题：如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】根据题意分别求出、.则可求出. 【详解】如图所示：记于点. 由题意知：，.. 在中：. 在中：. 所以. 故选:C. 方法归纳 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解． 题型31.测量高度问题 巩固训练1.某学习小组的学习实践活动是测量图示塔的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得，，且基点，间的距离为，同时在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】设则，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设则. 由题得. . 在△中，由正弦定理得. 所以塔高m. 故选：A 方法归纳 测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算． 题型32.测量角度问题 巩固训练1.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 【答案】(1)海里/时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 【知识点】求二次函数的值域或最值、余弦定理解三角形、距离测量问题、角度测量问题 【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度； （2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案. 【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ， 当时，（海里），此时（海里/时）. ∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在处相遇，则， 故，又， ∴，即，解得. 又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为. 此时，在△中，有海里， 故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 方法归纳 与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角的大小关系，但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，从而利用正弦定理、余弦定理将这些边、角联系起来求解． 题型33.平面几何中的向量方法 例题：如图，是的中位线，用向量方法证明：，． 【答案】证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用 【解析】可以取为基底，用，表示，，证明即可． 【详解】证明：如图，因为是的中位线，所以，． 从而． 又，所以． 于是，． 【点睛】本题主要考查向量共线的证明，熟记向量的共线定理，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 巩固训练1.已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形． 故选：B 方法归纳 用向量方法解决平面几何问题的步骤 题型34.平面向量在物理中的应用 例题：已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B．10 C．20 D． 【答案】A 【知识点】力的合成 【解析】根据向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】设，的对应向量分别为、， 以、为邻边作平行四边形如图， 则，对应力，的合力 ，的夹角为，四边形是矩形， 在中，，， . 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用向量加法的平行四边形法则求解是解题关键. 巩固训练1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【知识点】速度、位移的合成 【分析】设静水中的速度为，水流速度为，合速度，将正交分解为，由已知条件知，，进而求，即得，则可求. 【详解】设客船在静水中的速度大小为，水流速度为，则， 则船实际航行的速度，，由题意得. 把船在静水中的速度正交分解为，即， ∵ km/h，而与同向，即， ∴ ∴. 故选：A. 方法归纳 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面向量及其应用 知识归纳与题型突破（34题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.向量的相关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 知识点2.向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点3.向量的夹角 条件 两个非零向量a，b 产生过程 O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ≤π 记法 〈a，b〉 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝π a与b反向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b 知识点4.向量的加法 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 知识点5.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点6.向量的减法 定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 [注意]　对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 知识点7.数乘运算的定义 向量的数乘 定义 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 知识点8.数乘运算的运算律 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b 知识点9.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb． 知识点10.直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向 向量． 知识点11.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [注意]　(1)基底不唯一．当基底确定时，分解形式唯一． (2)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (3)设{e1，e2}是平面内一个基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝0时，a与e2共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0. (4)对于平面内任意一点O，使P，A，B三点共线的充要条件是：存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 知识点12.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 知识点13.平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [注意]　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 知识点14.中点坐标公式 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点，则 知识点15.平面向量平行的坐标表示 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 知识点16.向量的数量积 已知条件 两个非零向量a与b，它们的夹角为θ 定义 数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 [注意]　向量的数量积是两个向量之间的一种运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零． 知识点17.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|． (4)a·a＝|a|2或|a|＝＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 知识点18.向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展]　(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d. 知识点19.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 知识点20.向量模的坐标表示 1．向量模的坐标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2+y2，或|a|＝． 在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)， 则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离． 2．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 3．向量a的单位向量的坐标表示 因为向量a的单位向量a0＝±， 若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝±＝． 知识点21.两向量夹角余弦的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝ (|a||b|≠0)． 知识点22.余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点23.余弦定理的推论 cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点24.解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 知识点25.余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形． [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 知识点26.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知两角和一边，解三角形． ②已知两边和其中一边的对角，解三角形． [提示]　(1)设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④＝＝＝. (2)判定三角形形状通常有两种途径：①通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 知识点27.三角形面积公式 S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． 知识点28.涉及有关角的术语 1．仰角与俯角 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角． 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比． 2.方位角与方向角 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角． 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)××度． 北偏东m °或东偏北90 °－m ° 知识点29.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝． 知识点30.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 03 题型归纳 题型1.向量的相关概念 例题： 下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 巩固训练1.下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 巩固训练2.下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 巩固训练3.下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 状元随笔　与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线． 题型2.向量的几何表示 例题： 下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练1.已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 巩固训练2.如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 方法归纳 用有向线段表示向量的步骤 题型3.相等向量、共线向量与向量的夹角 例题： 下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 巩固训练1.下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 巩固训练2.以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法归纳 (1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量． 题型4.向量的加法运算 例题： 已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 方法归纳 向量加法运算律的应用原则及注意点 (1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的． 题型5.向量的加减运算 例题：化简得（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.化简的结果为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 向量加、减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式＝(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题． 题型6.向量数乘的定义 例题：已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型7.向量的线性运算 例题：如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 题型8.用已知向量表示相关向量 例题：如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .    巩固训练1.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 方法归纳 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 题型9.向量共线的判定 例题：如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练1.已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10.证明三点共线 例题：已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 巩固训练1.已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法归纳 三点共线的证明问题及求解思路 1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． 2．若A，B，C三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 题型11.由三点共线求参数的值 例题：在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数． 题型12.对平面向量基本定理的理解 例题：如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 方法归纳 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样． 题型13.用基底表示平面向量 例题：在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 状元随笔　利用基底可以将所有的向量放到同一个标准下，这样更容易看出多个向量之间的关系. 就本题而言，在解题时，只需紧盯着目标，不断地利用三点共线的性质定理进行转化，最后通过任一向量用基表示的唯一性，即若＝λ1＋μ1，且 ＝λ2＋μ2，则来构建方程(组)，使得问题获解． 方法归纳 用基表示向量的两种基本方法 用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解． 题型14.平面向量的坐标表示 例题：已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 巩固训练1.设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 方法归纳 在向量的坐标表示中，一定要分清表示向量的有向线段的起点与终点的坐标，同时注意区分点的坐标与向量的坐标写法的不同． 题型15.平面向量的坐标运算 例题：已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用． 2．利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解． 题型16.平面向量共线、垂直的坐标表示的应用 例题：已知点，，则下列向量与平行的向量是（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路 借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可． 题型17.向量的夹角 例题：已知向量，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 巩固训练1.已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量是 B． C．向量与向量的夹角为 D． 方法归纳 根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos θ＝，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<时，a·b>0且<1；当θ＝时，a·b＝0；当<θ<π时，a·b<0且>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|. 题型18.利用余弦定理解三角形---已知两边及一角解三角形 例题：在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法归纳 1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． 2．已知两边及其夹角解三角形的方法 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 题型19.已知三角形三边及其关系 例题：已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 (1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择； (2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论． 题型20.判断三角形的形状 例题：在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 巩固训练1.在中，已知和，此时尚不足以确定的形状与大小.但是，只要再知道某些条件（例如：的长度），就可确定唯一的形状与大小，试选出正确的选项（    ） A．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 B．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 C．如果再知道的值，就可确定唯一的形状与大小 D．如果再知道的外接圆半径，就可确定唯一的形状与大小 方法归纳 利用余弦定理推断三角形形状时，采用角化边进行化简． 题型21.余弦定理与三角形面积公式的应用 例题：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【点睛】本题主要考查面积公式、余弦定理解三角形问题，要结合条件灵活转化已知之间的关系，从而达到解决问题的目的． 巩固训练1.记的内角的对边分别为，且，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式． 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个角的正弦值可求． 题型22.利用正弦定理解三角形---已知两角和任一边解三角形 例题：已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 巩固训练1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．，，，有两解 B．面积S满足，则 C．，，，则BC边上的高为 D．若，，则的值为 方法归纳 已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边． 题型23.已知两边及其一边的对角解三角形 例题：在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练2.在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练3.在中，已知，，且，则（    ） A． B． C．或 D．等 状元随笔　已知两边及一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．用正弦定理进行求解时，必须分情况讨论．利用余弦定理求解，就可避免分情况讨论． 方法归纳 已知两边及一边的对角解三角形时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理．利用正弦定理时，要先根据“大边对大角”对解的个数进行判断，再分别讨论．利用余弦定理时，可以得到关于某一条边长的一个一元二次方程，从而求得边长，再根据正弦定理和三角形内角和定理求得其他元素． 题型24.判断三角形的形状 例题：已知，，三点，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 巩固训练1.在中，，则的形状一定是（    ） A． 等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 巩固训练2.已知，是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 方法归纳 利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是：从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系，角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确判断． 题型25.正弦定理、余弦定理的综合应用----边角转化求值 例题：设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 巩固训练1.在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．非等边三角形 状元随笔　在与边角互化有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系求值． 题型26.范围与最值问题 例题：在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ． 方法归纳 解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路，一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系，利用代数方法求解；二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系，利用三角中的方法求解． 题型27.在平面几何图形中的应用 例题：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为 . 巩固训练1.某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是 ． 巩固训练2.如图，四边形中，已知对角线，且满足，． （1）求证：； （2）若△为锐角三角形，设四边形面积为，求证：． 状元随笔　题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解． 题型28.正、余弦定理在几何图形中的应用 例题：如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角的长方形木板，是直线段.木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时的长度为 m. 巩固训练1.如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长长为 ． 巩固训练2.(多选题)已知O是四边形内一点，若，则下列结论错误的是（    ） A．四边形为正方形，点O是正方形的中心 B．四边形为一般四边形，点O是四边形的对角线交点 C．四边形为一般四边形，点O是四边形的外接圆的圆心 D．四边形为一般四边形，点O是四边形对边中点连线的交点 方法归纳 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程． 题型29.正、余弦定理与平面向量的结合应用 例题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值． 巩固训练1.在中，角、、的对边分别为、、，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 巩固训练2.在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的取值范围． 方法归纳 当解三角形与平面向量综合时，往往只需利用平面向量的有关公式，就可把原问题转化为解三角形问题． 题型30.正、余弦定理在实际问题中的应用----　测量距离问题 例题：如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 方法归纳 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解． 题型31.测量高度问题 巩固训练1.某学习小组的学习实践活动是测量图示塔的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得，，且基点，间的距离为，同时在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算． 题型32.测量角度问题 巩固训练1.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 方法归纳 与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角的大小关系，但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，从而利用正弦定理、余弦定理将这些边、角联系起来求解． 题型33.平面几何中的向量方法 例题：如图，是的中位线，用向量方法证明：，． 巩固训练1.已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 题型34.平面向量在物理中的应用 例题：已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（    ） A． B．10 C．20 D． 巩固训练1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（    ） A． B．8 C． D．10 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$