空间几何体的表面积与体积专题训练-2025届高三数学一轮复习题

空间几何体的表面积与体积专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知圆锥的底面半径为1，且其轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C．3 D． 4．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．在长方体中，，过点与直线AM垂直的平面将长方体分成两个部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆台内有一个表面积为1的球，该球与圆台的侧面和底面均相切，则该圆台的表面积的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果是边长为的正方形，则这个八面体的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（    ） A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值 B．对于任意，平面 C．动点到直线的距离最小值为 D．满足的的轨迹长度为 10．如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（   ） A．平面 B． C．四棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的正弦值为 11．如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（   ）    A．与一定异面 B．的最小值为 C．三棱锥体积的最小值为 D．与不可能垂直 三、填空题 12．球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 13．如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为 . 14．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为 四、解答题 15．如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 16．如图，在多面体中，四边形是菱形，．平面， ，．    (1)求多面体的体积； (2)求平面与平面的夹角余弦值． 17．如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，E，F，G分别是线段，，的中点，若平面交于点H．    (1)求多面体的体积； (2)求证：四边形是正方形． 18．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为. (1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则： ①求证： ②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《空间几何体的表面积与体积专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A B A A A ACD BC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据题设确定圆锥母线长、底面周长，应用侧面积公式求圆锥侧面积. 【详解】由题设，圆锥的母线长为2，底面周长为，故圆锥的侧面积为. 故选：A 2．B 【分析】根据正三棱锥的定义和侧面与底面所成二面角的定义求出三棱锥的高，代入体积公式即可. 【详解】如下图所示： 由正三棱锥的定义，底面为正三角形，且边长为，作正三棱锥的高，垂足为的中心，连接并延长，交于点； 由正三棱锥的几何的性质可知：，，就是侧面与底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，. 根据正三角形的性质，，即正三棱锥的高为. 三棱锥的体积为：. 故选：B 3．A 【分析】过点作底面的射影，利用条件推理证明点为的中点，利用求出即得. 【详解】 如图，过点作底面的射影，因，则点为的外心， 又因，，故点为的中点， 连接，则三棱锥的外接球的球心必在上， 连接，则， ， 在中，， 因平面，故球心到平面的距离为. 故选：A. 4．A 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，利用相似即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 5．B 【分析】分别取，，的对应三等分点，， ，利用空间向量证明共面，再通过向量数量积证明平面，最后采用割补法求解出较小部分的体积，从而体积比可求. 【详解】分别取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 连接，建立如下图所示空间直角坐标系，    不妨设， 所以， 所以， 所以， 又∵不共线，∴共面， 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，平面， 所以平面， 较小部分的几何体如下图所示，    其体积为， 由正四棱柱结构特点易知平面，平面， 所以， 所以较大部分体积， 所以较小部分与较大部分的体积比为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键一方面是确定平面与正四棱柱各条棱的交点，根据交点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，将复杂几何体转化为简单几何体再去计算. 6．A 【分析】设圆台的下底面半径为，上底面半径为，球的半径为，根据几何体的特征可得，根据基本不等式可得，从而可得正确的选项. 【详解】不妨设圆台的下底面半径为，上底面半径为，球的半径为， 如图，作出圆台的轴截面，过点作于点， 由题意知圆与梯形的四条边均相切，则， 又， 故，化简可得， 设圆台与球的表面积分别为， 则，（，故取不到等号） 故．由于，，都不大于，，故圆台的表面积的可能取值为． 故选：A. 【点睛】思路点睛：解决几何体与球相切问题的基本逻辑是找空间关系或找一个特殊截面，将问题转化为平面问题进行解决．求内切球半径的两种方法：①等体积法，先将几何体的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，运用等体积法就有（为几何体各表面的面积），于是就有，其中为几何体内切球的半径，为几何体的体积，为几何体的表面积；②平面化，通过找特殊截面（一般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径． 7．A 【分析】由题意可知当圆锥的底面与相切时，圆锥体积最大，利用圆锥的体积公式和几何关系求解即可. 【详解】由题意可知当圆锥的底面与相切时，圆锥体积最大， 因为是棱长为6的正四面体， 设底面圆半径为，中点为， 则，解得， 圆锥的高， 所以圆锥体积， 故选：A 8．A 【分析】由八面体有外接球知球体半径为正方形对角线的一半，再应用球体表面积公式求面积. 【详解】由题设，八面体有外接球，且关于面对称， 则球体半径必为正方形对角线的一半，为2， 所以这个八面体的外接球的表面积为. 故选：A 9．ACD 【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D． 【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确； 对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误； 对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确； 对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确． 故选：ACD． 10．BC 【分析】根据线面垂直可计算长度，即可判断A，根据梯形的边角关系即可求解B，利用等面积法可得长度，即可根据锥体体积公式求解C，根据线面垂直，可得为平面与平面的夹角，即可利用锐角三角函数求解D. 【详解】对于A选项，由，可得， 则四边形为直角梯形， 可得与不平行，故不平行于平面，故A选项错误； 对于B选项，由， 可得，故B选项正确； 对于C选项，如图，过点作，由， 有， 由于在平面内的射影故平面, 平面,故， 又，平面, 故平面， 又由四边形的面积为， 可得四棱锥的体积为，故C选项正确； 对于D选项，取的中点，连接，由， 有， 由平面，平面，则， 又由，平面, 平面，平面，可得，故为平面与平面的夹角， 又由，故D选项错误． 故选：BC． 11．BC 【分析】取为的中点，结合中位线的性质可判断A选项；将、延展为同一个平面，可知当、、三点共线时，取最小值，结合平面几何相关知识可判断B选项；取、的中点、，求出点的轨迹为线段，可得出面积的最小值，结合锥体的体积公式可判断C选项；取为的中点，利用等腰三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，则为的中点，    当为的中点时，由于四边形为正方形，则也为的中点， 此时，，A错； 对于B选项，易知是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形， 且， 将、延展为同一个平面，如下图所示：    当、、三点共线时，取最小值， 在和中，，，， 所以，，所以，， 因为，，则为的中点，且， 则，， 所以，的最小值为，B对； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、、、，    因为，，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为，，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，，则四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，故平面平面， 当点时，平面，则平面， 所以，点的轨迹为线段， 当点与点重合时，点到直线的距离取最小值， 此时，的面积取最小值，且最小值为， 则，即三棱锥体积的最小值为，C对； 对于D选项，因为，同理可得，即， 当点为线段的中点时，， 又因为，此时，，D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 12． 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 13． 【分析】利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R，即可得出外接球的表面积. 【详解】因为，， 所以，， 过点P作平面于点D，则， 由，可知平分， 设与的交点为O，则， 所以，所以四边形是正方形， 故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体， 则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的一条直径， 设该外接球的半径为R，则，即， 则其表面积为. 故答案为： 14． 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由几何关系得到四边形是直角梯形，再求出其面积，然后由棱锥的体积公式求出体积即可； 【详解】（1）证明：因为，所以. 又因为平面平面，所以平面. （2）由题意知为四棱锥的高. 因为是圆O的直径，点C在圆锥底面圆O上，所以. 由（1）知，，所以四边形是直角梯形. 在中，，所以. 在等腰直角三角形中，因为，所以. 在直角梯形中，， 所以直角梯形的面积. 所以四棱锥的体积. 16．(1) (2)0 【分析】（1）利用“切割法”和等积变换求几何体的体积. （2）判断平面与平面的垂直关系，可得两平面夹角的余弦. 【详解】（1）因为. 又四边形是菱形，且，，所以. 所以， 又. 所以. （2）如图：    因为四边形为菱形，所以， 又平面，平面，所以. ，平面，，所以平面. 取中点，设，连接，. 因为且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以. 所以平面. 又平面，所以平面平面. 所以平面与平面的夹角为，余弦值为0. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出多面体与正三棱锥的比例，然后设出底面中心为， 利用勾股定理求出高，再根据锥体体积公式即可计算求解. （2）利用三角形中位线得且，再有直线与平面平行的性质得出，从而证得四边形是平行四边形，最后利用线面垂直的性质推出，从而得证. 【详解】（1）如图：    取 的中点 ,连接 ， 因为，E，F分别是线段 ，，的中点， 所以， 因为E，F，G分别是线段，，的中点， 所以且， 平面,平面, 所以平面, 又因为平面交于点H． 则平面与平面的交线为， 所以，而，所以， 又因为G是线段的中点，则H是线段的中点， 所以,而， 所以几何体为三棱柱，设正三棱锥的高为 ，则三棱柱的高为 ，三棱锥的高也为 ，， 则多面体的体积=三棱柱的体积与三棱锥的体积之和； 所以， 而， 所以， 由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体， 取中点，连接，，取的中点，底面中心为，如图：   ，， 则， 所以多面体的体积：． （2）由（1）可知，H是线段的中点， 所以,而 所以四边形是平行四边形， 又， 如图，    于是为菱形，取的中点，而，， ，平面， 则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平行四边形再应用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合线面垂直判定定理及线面平行判定定理应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）异面直线与所成角为，则 又因为平面，则平面， 平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， . 19．(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可. （2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点，再利用空间向量求球心O到平面AEC距离，结合球的性质分析求解. 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）①由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆的半径为r，则， 所以截面圆面积为. 【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路 直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即； 2. 利用空间向量求点到平面距离的方法 设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面的法向量，则B到平面的距离. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$